Newtons pooler

Newtons pooler , Newtons fraktaler är ett slags algebraiska fraktaler .

Områden med fraktala gränser uppstår när rötterna till en olinjär ekvation ungefär hittas av Newtons algoritm på det komplexa planet (för en funktion av en reell variabel kallas Newtons metod ofta tangentmetoden , som i detta fall är generaliserad till komplext plan) [1] .

Vi tillämpar Newtons metod för att hitta nollpunkten för en funktion av en komplex variabel med hjälp av proceduren:

z_{n+1}=z_{n}-{\frac {f(z_{n})}{f'(z_{n)))))

Valet av den initiala uppskattningen är av särskilt intresse. Eftersom en funktion kan ha flera nollor kan metoden konvergera till olika värden i olika fall. Men vilka områden kommer att säkerställa konvergens till en viss rot? $z_{0}$

Historik

Denna fråga intresserade Arthur Cayley redan 1879 , men det var bara möjligt att lösa den på 70 -talet av 1900-talet med tillkomsten av datorteknik. Det visade sig att i skärningspunkterna mellan dessa regioner (de kallas vanligtvis attraktionsregioner ) bildas så kallade fraktaler - oändliga självliknande geometriska figurer.

På grund av det faktum att Newton tillämpade sin metod uteslutande på polynom , blev fraktalerna som bildades som ett resultat av en sådan ansökan kända som Newtons fraktaler eller Newtons pooler .

Tre rötter

Tänk på ekvationen:

p(z)=0

p(z)=z^{3}-1

Den har tre rötter. När du väljer olika kommer processen att konvergera till olika rötter (attraktionsregioner). Arthur Cayley satte i uppdrag att beskriva dessa regioner, vars gränser, som det visade sig, har en fraktal struktur. $z_{0}$

Byggnad

Enligt följande formel:

z_{i+1}=z_{i}-{\frac {p(z_{i})}{p'(z_{i))}}=z_{i}-{\frac {z_{ i}^{3}-1}{3\,z_{i}^{2}}}

Skalning

Om du flyttar mitten av skärmen till en punkt och skala ( ), kan du istället för att ersätta polynomet ändra själva polynomet. Sedan , och , då . Sedan dess . $z_{0}$ $z=z_{0}+{\cfrac {Z}{\alpha }}$ $z$ $P(z)$ $z_{n+1}=F(z_{n})=>(z_{0}+{\cfrac {Z_{n+1}}{\alpha }})=F(z_{0}+ {\cfrac {Z_{n}}{\alpha }})$ $F(z)=z-{\cfrac {p(z)}{p'(z)}}=>F(z_{0}+{\cfrac {Z_{n}}{\alpha }} )=z_{0}+{\cfrac {Z_{n}}{\alpha }}-{\cfrac {p(z(Z))}{p'_{z}(z(Z))))$ $Z_{n+1}=Z_{n}+\alpha \cdot {\cfrac {p(z(Z_{n})}{p'_{z}(z(Z_{n))))) )$ $p'_{Z}(z(Z))=p'_{z}(z(Z))\cdot z'_{Z}(Z)={\cfrac {p'_{z} (z(Z))}{\alpha }}$ $p'_{z}(z(Z))=\alpha \cdot p'_{Z}(z(Z))$

Sedan

$Z_{n+1}=Z_{n}+{\cfrac {p(z(Z_{n})}{p'_{Z}(z(Z_{n)))))$ , räknar det nya polynomet , får vi $P(Z)=p(z(Z))$ $Z_{n+1}=Z_{n}+{\cfrac {P(Z_{n})}{P'(Z_{n))}}$

Litteratur

Akulich I. L. Matematisk programmering i exempel och uppgifter: Proc. bidrag för studenters ekonomi. specialist. universitet. - M . : Högre. skola, 1986.
Amosov A. A., Dubinsky Yu. A., Kopchenova N. P. Beräkningsmetoder för ingenjörer. — M .: Mir, 1998.
Bakhvalov N. S., Zhidkov N. P. , Kobelkov G. G. Numeriska metoder. - 8:e uppl. - M . : Laboratory of Basic Knowledge, 2000.
Vavilov S. I. Isaac Newton . - M. : Ed. USSR:s vetenskapsakademi, 1945.
Volkov E. A. Numeriska metoder. — M .: Fizmatlit, 2003.
Gill F., Murray W., Wright M. Praktisk optimering. Per. från engelska. — M .: Mir, 1985.
Korn G., Korn T. Handbok i matematik för vetenskapsmän och ingenjörer. - M . : Nauka, 1970. - S. 575-576.
Korshunov Yu. M., Korshunov Yu. M. Matematiska grunder för cybernetik. - Energoatomizdat, 1972.
Maksimov Yu. A., Filippovskaya EA Algoritmer för att lösa problem med olinjär programmering. — M .: MEPhI, 1982.
Morozov AD Introduktion till teorin om fraktaler. — MEPhI, 2002.
Mandelbrot B. Naturens fraktalgeometri. - M .: "Institutet för datorforskning", 2002.
Paytgen H.-O., Richter P. H. Fraktalernas skönhet. - M .: "Mir", 1993.
Feder E. Fractals. - M: "Mir", 1991.
Fomenko A. T. Visuell geometri och topologi. - M .: MSU förlag, 1993.
Fraktaler i fysik. Proceedings of the 6th International Symposium on Fractals in Physics, 1985. - M .: Mir, 1988.
Schroeder M. Fraktaler, kaos, maktlagar. Miniatyrer från ett oändligt paradis. - Izhevsk: "RHD", 2001.
Morozov AD Introduktion till teorin om fraktaler. - Moskva-Izhevsk: Institutet för datorforskning, 2002, 109-111.
Kronover R. M. Fraktaler och kaos i dynamiska system. Grunderna i teorin. Moskva: Postmarket, 2000. 248-251.

Anteckningar

↑ Newtons fraktal . Hämtad 12 november 2009. Arkiverad från originalet 20 december 2016. (obestämd)

Länkar

fraktaler
Egenskaper	fraktal dimension Hausdorff dimension Lebesgue dimension rekursion självlikhet
De enklaste fraktalerna	Fern Barnsley Kantor set drakekurva Koch kurva Svamp Menger Sierpinski matta Sierpinski triangel Utrymmesfyllande kurva
konstig attraktion	Multifraktal
L-system	Utrymmesfyllande kurva
Bifurkationsfraktaler	Julia set Lyapunov fraktal Mandelbrot set Newtons pooler
Slumpmässiga fraktaler	Brownsk rörelse brunt träd fraktal yta Perkolationsteori
människor	Georg Kantor Felix Hausdorff Gaston Julia Helge von Koch Paul Levy Alexander Lyapunov Benoit Mandelbrot Lewis Richardson Vaclav Sierpinski
Relaterade ämnen	Hur lång är Storbritanniens kust? » Kustlinjeparadox