Gammafunktion

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 23 maj 2021; kontroller kräver 9 redigeringar .

Gammafunktionen är en matematisk funktion . Den introducerades av Leonhard Euler , och gammafunktionen har sin beteckning till Legendre [1] .

Gammafunktionen används extremt flitigt inom vetenskapen. Bland dess huvudsakliga användningsområden är matematisk analys , sannolikhetsteori , kombinatorik , statistik , atomfysik , astrofysik , hydrodynamik , seismologi och ekonomi . I synnerhet används gammafunktionen för att generalisera begreppet faktoriell till uppsättningar av reella och komplexa argumentvärden.

Definitioner

Integral definition

Om den reella delen av det komplexa talet är positiv, definieras gammafunktionen genom den absolut konvergerande integralen $z$

\Gamma (z)=\int \limits _{0}^{+\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt,\quad z\in \mathbb {C} ,\quad \mathrm {Re} (z)>0

Denna definition härleddes av Legendre från Eulers ursprungliga definition (1730)

\Gamma (z)=\int \limits _{0}^{1}(-\ln {x})^{{z-1}}\,dx

genom en förändring av variabel , och idag är det Legendres definition som är känd som den klassiska definitionen av gammafunktionen. Genom att integrera den klassiska definitionen i delar är det lätt att se att . ${\displaystyle x=e^{-t))$ $\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$

För en ungefärlig beräkning av gammafunktionens värden är den tredje formeln mer bekväm, också erhållen från Eulers definition genom att tillämpa likhet och ändra variabeln : $\Gamma (z)=\Gamma (z+1)/z$ $x=y^{2}$

\Gamma (z)={\frac {2^{z+1}}{z}}\int \limits _{0}^{1}y(-\ln {y})^{z} \,dy

Integralen i denna formel konvergerar vid , även om den vanligtvis används för positiva reella värden av argumentet (värden runt 1 är att föredra). I fallet med ett verkligt argument har integranden en enda singulär punkt - en diskontinuerlig diskontinuitet vid , och om den förlängs vid denna punkt med värdet , blir den kontinuerlig över hela intervallet . Således är integralen egenvärde, vilket förenklar numerisk integration . $\mathrm {Re} (z)>-1$ $z>0$ $y=0$ $0$ $[0; ett]$

Det finns en direkt analytisk fortsättning av den ursprungliga formeln till hela det komplexa planet , förutom heltal, kallad Riemann- Hankel-integralen:

\Gamma (z)={\frac {1}{e^{i2\pi z}-1}}\int \limits _{L}\!t^{\,z-1}e^{ -t}\,dt,\quad z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} .

Här är en kontur vilken kontur som helst på det komplexa planet som går runt en punkt moturs, vars ändar går till oändlighet längs den positiva reella axeln. $L$ $t = 0$

Följande uttryck fungerar som alternativa definitioner för gammafunktionen.

Gauss definition

Det är sant för alla komplexa tal utom 0 och negativa heltal. $z$

\Gamma (z)=\lim \limits _{{n\to \infty }}{\frac {(n-1)!\,n^{z}}{z(z+1)(z+2) \cdots (z+n-1)}},\quad z\in {\mathbb {C}}\setminus \{0,-1,-2,\ldots \}.

Eulers definition

\Gamma (z)={\frac {1}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(1+{\frac {1}{n} }\right)^{\mathrm {z} }}{1+{\frac {\mathrm {z} }{n)))),\quad z\in \mathbb {C} \setminus \{0,- 1,-2,\ldots\}.

Definition enligt Weierstrass

\Gamma(z)=\frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{- 1} e^{z/n},\quad z\in\mathbb{C}\setminus\{0,-1,-2,\ldots\}.

var är Euler-Mascheroni-konstanten [1] . $\gamma=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln{n}\right)\approx 0,57722$

Notera: ibland används ett alternativ, den så kallade pi-funktionen , som är en generalisering av faktorialen och relateras till gammafunktionen genom relationen . Det var denna funktion (och inte -funktionen) som Gauss, Riemann och många andra tyska matematiker från 1800-talet använde. $\Pi (z)=\Gamma (z+1)$ $\Gamma$

Egenskaper

För varje positivt n gäller följande:

\Gamma (n+1)=n!

Den huvudsakliga egenskapen hos gammafunktionen är dess rekursiva ekvation

\Gamma (z+1)=z\Gamma (z),

som, under ett fixerat initialtillstånd, unikt definierar en logaritmiskt konvex lösning, det vill säga själva gammafunktionen ( unikhetssats ) [2] .

För gammafunktionen är Euler-komplementformeln giltig:

\Gamma(1-z)\Gamma(z)={\pi\over\sin\pi z}

Gauss multiplikationsformel är också giltig:

\Gamma (z)\Gamma \left(z+{\frac {1}{n}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\frac {n-1}{n}}\right)=n^ {{{\frac {1}{2}}-nz}}\cdot (2\pi )^{{{\frac {n-1}{2}}}}\Gamma (nz),

Ett specialfall av denna formel för n=2 erhölls av Legendre:

\Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\ Gamma(2z).

Gammafunktionen har inga nollor i hela det komplexa planet. är meromorf på det komplexa planet och har enkla poler vid punkter [1] $\Gamma(z)$ $z=0,\;-1,\;-2,\;-3,\;\ldots$

Gammafunktionen har en första ordningens pol in för alla naturliga och noll; avdraget vid denna tidpunkt ges enligt följande: $z=-n$ $n$

\operatörsnamn{\mathrm{Res}}_{z=-n}\,\Gamma(z)=\frac{(-1)^n}{n!}

En användbar egenskap som kan erhållas från gränsdefinitionen:

\overline{\Gamma(z)} = \Gamma(\overline{z})

Gammafunktionen är differentierbar ett oändligt antal gånger, och , där , hänvisas ofta till som "psy-funktionen" eller digammafunktionen . Gammafunktionen och betafunktionen är relaterade av följande relation: $\Gamma^\prime(x)=\psi(x)\Gamma(x)$ $\psi(x)$

\Beta(x,\;y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}

Logaritm för gammafunktionen

Av ett antal skäl, tillsammans med gammafunktionen, anses logaritmen för gammafunktionen ofta - antiderivatan av digammafunktionen . Den har följande integrerade representationer:

\ln \Gamma (z)\,=\,\left(z-{{\frac {1}{\,2\,}}}\höger)\!\ln z-z+{{\frac {1} {\,2\,}}}\ln 2\pi +\!\int \limits _{0}^{{\,\infty }}\!\left[{\frac {1}{e^{x }-1}}-{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{2}}\right]{\frac {e^{{-xz}}}{x}}\,dx \,,\qquad \operatörsnamn {Re}{z}>0

och

\ln \Gamma (z)\,=\,\left(z-{{\frac {1}{\,2\,}}}\höger)\!\ln z-z+{{\frac {1} {\,2\,}}}\ln 2\pi +2\!\int \limits _{0}^{{\,\infty }}\!{\frac {\,\operatörsnamn {arctg}(x /z)\,}{e^{{2\pi x}}-1}}\,dx\,,\qquad \operatörsnamn {Re}{z}>0

ges av Jacques Binet 1839 (dessa formler kallas ofta den första respektive andra Binet-formeln för logaritmen för gammafunktionen) [3] . Något olika integralformler för gammafunktionens logaritm förekom också i Malmstens , Lerchs och flera andras arbete. Därmed fick Malmsten en formel liknande Binets första formel [3]

\ln \Gamma (z)\,=\int \limits _{0}^{{\,\infty }}\!\left[z-1-{\frac {1-e^{{-(z- 1)x}}}{1-e^{{-x}}}}\right]{\frac {e^{{-x}}}{x}}\,dx\,,\qquad \operatörsnamn { Re}{z}>0

och Lerkh visar att alla integraler av formen

\int \limits _{0}^{{\,\infty }}\!{\frac {\,e^{{2\pi x}}\!\cos \varphi -1\,}{e^{ {4\pi x}}-2e^{{2\pi x}}\!\cos \varphi +1}}\operatörsnamn {arctg}{\frac {u}{x}}\;dx\,,\ qquad 0<u\leqslant 1\,,\quad 0<\varphi <2\pi u

reducera även till gammafunktionens logaritmer. I synnerhet har en formel som liknar Binets andra formel med en "konjugerad" nämnare följande form:

\ln \Gamma (z)=-{\biggl (}z-{{\frac {1}{2}}}{\biggr )}\cdot \left\{1-\ln {\biggl (}z- {{\frac {1}{2}}}{\biggr )}\!\right\}+{{\frac {1}{2}}}\ln 2\pi -\,2\!\int \ gränser _{0}^{{\infty }}\!{\frac {\operatörsnamn {arctg}{\big [}x/{\big (}z-{\tfrac {1}{2)){\big )}{\big ]}}{e^{{2\pi x}}+1}}\,dx,\qquad \operatörsnamn {Re}{z}>{\frac {1}{2}}

(se övning 40 i [4] )

Dessutom fick Malmsten även ett antal integralformler för logaritmen för gammafunktionen innehållande hyperboliska funktioner med logaritmen i integranden (eller, ekvivalent, logaritmen för logaritmen med polynom). Särskilt,

\ln \Gamma (z)=\,{\frac {1}{2}}\ln \pi \,-\,{\frac {1}{2}}\ln \sin \pi z\,-\ ,{\frac {2z-1}{2}}\ln 2\pi \,-\,{\frac {\sin 2\pi z}{2\pi }}\!\int \limits _{0} ^{\infty }\!\!{\frac {\,\ln {x}\,}{\,\operatörsnamn {ch}{x}-\cos 2\pi z\,}}\,dx\, ,\qquad 0<\operatörsnamn {Re}z<1

(se övning 2, 29-h, 30 in [4] )

Yaroslav Blagushin visade att för ett rationellt argument , där och är positiva heltal som inte överstiger , gäller följande representation: $z=k/n$ $k$ $n$ $k$ $n$

\ln \Gamma {\biggl (}\!{\frac {k}{n}}\!{\biggr )}={\frac {(n-2k)\ln 2\pi }{2n}}+{ \frac {1}{2}}\left\{\ln \pi -\ln \sin {\frac {\pi k}{n}}\right\}+

+{\frac {1}{\pi }}\!\sum _{{r=1}}^{{n-1}}{\frac {\gamma +\ln {r}}{r}}\ cdot \sin {\frac {2\pi rk}{n}}-{\frac {1}{2\pi }}\sin {\frac {2\pi k}{n}}\cdot \!\int \limits _{0}^{\infty }\!\!{\frac {\,e^{{-nx}}\!\cdot \ln {x}\,}{\,\operatörsnamn {ch}{ x}-\cos {\dfrac {2\pi k}{n}}\,}}\,dx\,,\qquad k\neq {\frac {n}{2}}

(se bilaga C [5] och även övning 60 och 58 [4] )

Dessutom, och i mer allmänna fall, reduceras ofta integraler som innehåller hyperboliska funktioner med en logaritm (eller arctangens) i integranden till logaritmerna för gammafunktionen och dess derivator , inklusive det komplexa argumentet, se t.ex. ex. 4-b, 7-a och 13-b i [4] .

Logaritmen för gammafunktionen är också nära relaterad till den analytiska fortsättningen av den generaliserade zetafunktionen

\ln \Gamma (z)=\zeta '(0,z)-\zeta '(0)=\zeta '(0,z)+{\frac {1}{2}}\ln 2\pi

Detta viktigaste förhållande, härlett av Lerkh , gör att du kan få ett stort antal integralrepresentationer för logaritmen för gammafunktionen genom de kända formlerna för den generaliserade zetafunktionen .

Fourierserien för logaritmen för gammafunktionen har följande form

\ln \Gamma (x)=\left({\frac {1}{2}}-x\right)(\gamma +\ln 2)+(1-x)\ln \pi -{\frac {1 }{2}}\ln \sin \pi x+{\frac {1}{\pi }}\summa _{{n=1}}^({\infty }}{\frac {\sin 2\pi nx \cdot \ln {n}}{n}}\,,\qquad 0<x<1

Denna formel tillskrivs vanligtvis Ernst Kummer , som härledde den 1847 (i den auktoritativa litteraturen [3] [6] [7] kallas denna serie till och med Kummer-serien för logaritmen av gammafunktionen). Man har dock nyligen upptäckt att denna formel erhölls redan 1842 av Carl Malmsten (se Yaroslav Blagushin [4] [8] ).

Förutom Fourier-serieexpansionerna finns det andra serieexpansioner. En av de mest kända är Stirling -serien.

\ln \Gamma (z)=\left(z-{\frac {1}{\,2\,}}\right)\!\ln z-z+{\frac {1}{\,2\,} }\ln 2\pi +\summa _{{n=1}}^{N}{\frac {B_{{2n}}}{2n(2n-1)z^{{2n-1}}}} +O(z^{{-2N-1)))\,,\qquad |\arg z|<{\frac {\pi }{2))

I sin standardversion

\ln \Gamma (z)=z\ln z+O(z)

där koefficienterna betyder Bernoulli-talen . $B_{2n}$

Från definitionen av gammafunktionen enligt Weierstrass följer en annan viktig representation [9]

\ln \Gamma (z)=-\gamma z-\ln z+\sum _{{n=1}}^{\infty }\left[{\frac {z}{n}}-\ln \!\ vänster(1+{\frac {z}{n}}\höger)\höger]

Privata värden

Gammafunktionen för heltals- och halvheltalsargumenten uttrycks i termer av elementära funktioner . Särskilt

\Gamma(1)=0!=1

\Gamma(2)=1!=1

\Gamma(3)=2!=2

\Gamma(4)=3!=6

\Gamma(5)=4!=24

\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}.

\Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}.

\Gamma \left({\tfrac {5}{2}}\right)={\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}.

\Gamma \left({\tfrac {7}{2}}\right)={\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}.

\Gamma \left(-{\tfrac {1}{2}}\right)=-2{\sqrt {\pi )).

\Gamma \left(-{\tfrac {3}{2}}\right)={\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\pi )).

\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+n\right)={(2n)! \över 4^{n}n!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}\,{\sqrt {\pi }}= {\sqrt {\pi }}\cdot \left[{n-{\frac {1}{2}} \choose n}n!\right]

\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}-n\right)={(-4)^{n}n! \over (2n)!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(-2)^{n}}{(2n-1)!!}}\,{\sqrt {\pi }}= {\sqrt {\pi }}/\left[{-{\frac {1}{2}} \choose n}n!\right]

Sökandet efter värdet på gammafunktionen vid punkterna 1/4 och 1/3 var föremål för detaljerad forskning av Euler, Gauss och Legendre, men de misslyckades med att beräkna dessa värden i en sluten form [1] .

Det finns följande representationer i icke-stängd form för Γ(1/4)

\Gamma ({\tfrac 14})={\sqrt {\frac {(2\pi )^{({\frac {3}{2))))}{{\mathrm {AGM))({\sqrt 2},1)}}}

\Gamma ({\tfrac 14})=(2\pi )^{({\frac {3}{4))))\prod _{{k=1))^{\infty }{\mathrm {th }}\left({\frac {\pi k}{2}}\right)

\Gamma ({\tfrac 14})=A^{3}e^{{-{\frac {G}{\pi }}}}{\sqrt {\pi }}2^{{{\frac {1 }{6}}}}\prod _{{k=1}}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{2k}}\right)^{{k(-1)^{ k}}}

där AGM är den aritmetiskt-geometriska medelvärdefunktionen , G är den katalanska konstanten och A är Glaisher-Kinkelin-konstanten .

Generaliseringar

I den klassiska integraldefinitionen av gammafunktionen är integrationens gränser fasta. Den ofullständiga gammafunktionen beaktas också , som definieras av en liknande integral med en variabel övre eller nedre integrationsgräns. En skillnad görs mellan den övre ofullständiga gammafunktionen, ofta betecknad som gammafunktionen för två argument:

\Gamma(a,z)=\int\limits_{\mathrm z}^\infty\!{e^{-t}t^{a-1}\,dt}

och den lägre ofullständiga gammafunktionen, på liknande sätt betecknad med den gemena bokstaven "gamma":

\gamma(a,z)=\int\limits_0^{\mathrm z}\!{e^{-t}t^{a-1}\,dt}

Ibland definieras den ofullständiga gammafunktionen som [10] :

I(z,a)={\frac {1}{\Gamma (a)))\int \limits _{0}^{\mathrm {z} }\!{e^{-t}t ^{a-1}\,dt}

Beräkning av integraler

En viktig tillämpning av gammafunktionen är reduktionen till den av integraler av följande form, där är konstanta parametrar $a,\alpha ,\beta$

\int _{0}^{\infty }x^{\alpha }\exp(-ax^{\beta })\,dx=a^{-{\frac {\alpha +1}{\ beta ))}\cdot {\frac {1}{\beta }}\Gamma \left({\frac {\alpha +1}{\beta }}\right)

Bevis

Efter inställning av parametern:

\int _{0}^{\infty }x^{\alpha }\exp(-ax^{\beta })\,dx=a^{-{\frac {\alpha +1}{\ beta ))}\int _{0}^{\infty }\left(a^{1/\beta}x\right)^{\alpha }\exp {\Big [}-(a^{1/\ beta }x)^{\beta }{\Big ]}\,d\left(a^{1/\beta}x\right)

Differentialinjektioner:

a^{-{\frac {\alpha +1}{\beta ))}\int _{0}^{\infty }\kappa ^{\alpha }\exp(-\kappa ^{\beta })\,d\kappa ={\dfrac {a^{-{\frac {\alpha +1}{\beta }}}}{\beta }}\int _{0}^{\infty }\kappa ^{\alpha +1-\beta }\exp(-\kappa ^{\beta })\,d\kappa ^{\beta }

Och variabla substitutioner:

{\dfrac {a^{-{\frac {\alpha +1}{\beta }}}}{\beta }}\int _{0}^{\infty }\varkappa ^{{\frac {\alpha +1}{\beta }}-1}\exp(-\varkappa )\,d\varkappa =a^{-{\frac {\alpha +1}{\beta }}}\cdot {\ frac {1}{\beta }}\Gamma \left({\frac {\alpha +1}{\beta }}\right)

■

Speciellt för integraler av Gaussisk typ som förekommer allmänt i fysiktillämpningar:

\int _{0}^{\infty }x^{\alpha }\exp(-x^{2}/a^{2})\,dx=a^{\alpha +1}\cdot {\frac {1}{2}}\Gamma \left({\frac {\alpha +1}{2}}\right)

Och Euler-integraler:

\int _{0}^{\infty }x^{\alpha }\exp(-x/a)\,dx=a^{\alpha +1}\cdot \Gamma \left(\alpha + 1\höger)

Se även

Lista över föremål uppkallade efter Leonhard Euler
K-funktion
Barnes G-funktion
betafunktion
Gammafördelning
Ofullständig gammafunktion

Anteckningar

↑ 1 2 3 4 Davis, PJ Leonhard Eulers integral: En historisk profil av gammafunktionen // American Mathematical Monthly : journal . - 1959. - Vol. 66 , nr. 10 . - P. 849-869 . - doi : 10.2307/2309786 . — .
↑ Kingman, JFC A Convexity Property of Positive Matrices // The Quarterly Journal of Mathematics : journal. - 1961. - Vol. 12 , nr. 1 . - S. 283-284 . - doi : 10.1093/qmath/12.1.283 . - .
↑ 1 2 3 Harry Bateman och Arthur Erdélyi Högre transcendentala funktioner [i 3 volymer] . Mc Graw-Hill Book Company, 1955.
↑ 1 2 3 4 5 Iaroslav V. Blagouchine Återupptäckt av Malmstens integraler, deras utvärdering genom konturintegreringsmetoder och några relaterade resultat. The Ramanujan Journal, vol. 35, nr. 1, sid. 21-110, 2014. Arkiverad 12 december 2017 på Wayback Machine PDF Arkiverad 7 maj 2021 på Wayback Machine
↑ Iaroslav V. Blagouchine Ett teorem för utvärderingen i sluten form av den första generaliserade Stieltjes-konstanten vid rationella argument och några relaterade summeringar Journal of Number Theory (Elsevier), vol. 148, sid. 537-592, 2015. . Hämtad 1 februari 2018. Arkiverad från originalet 24 september 2015. (obestämd)
↑ ET Whittaker och GN Watson En kurs i modern analys. En introduktion till den allmänna teorin om oändliga processer och om analytiska funktioner, med redogörelse för de huvudsakliga transcendentala funktionerna (tredje upplagan). Cambridge vid University Press, 1920.
↑ HM Srivastava och J. Choi -serien associerad med Zeta och relaterade funktioner . Kluwer Academic Publishers. Nederländerna, 2001
↑ Blagouchine, Iaroslav V. Erratum och tillägg till "Återupptäckt av Malmstens integraler, deras utvärdering genom konturintegreringsmetoder och några relaterade resultat" // Ramanujan J. : journal. - 2016. - Vol. 42 , nr. 3 . - s. 777-781 . - doi : 10.1007/s11139-015-9763-z .
↑ D.S. Kuznetsov. Specialfunktioner (andra upplagan). Högre skola, Moskva, 1965.
↑ Ofullständig gammafunktion - artikel från Encyclopedia of Mathematics

Litteratur och referenser

V. Ya. Arsenin. Matematisk fysik: grundläggande ekvationer och specialfunktioner , kapitel X, ss. 225-233. Nauka, Moskva , 1966.
M. A. Evgrafov. Analytiska funktioner , kapitel VI, ss. 267-273. Nauka, Moskva, 1968.
M. A. Evgrafov et al. Samling av problem i teorin om analytiska funktioner , s. 307-316. Nauka, Moskva, 1969.
G. M. Fikhtengolts. En kurs i differential- och integralkalkyl (7:e uppl.), kapitel XIV, ss. 750-794. Nauka, Moskva, 1969.
A. I. Markushevich. Theory of analytic functions (2nd ed.), vol. 2, ss. 303-324. Nauka, Moskva, 1968.
N. N. Lebedev. Specialfunktioner och deras tillämpningar (2:a uppl.), I kap., ss. 11-27. FM, Moskva, 1963.
A. F. Nikiforov och V. B. Uvarov. Matematisk fysiks specialfunktioner , ss. 263-268. Nauka, Moskva, 1978.
Pagurova V. I. Tabeller över ofullständig gammafunktion. (Redaktör Ditkin V.A.). Moskva, Publishing House of the Computing Center of the Academy of Sciences of the USSR, 1963. 236 sid. [ett]
R. Campbell. Les integrales eulériennes et leurs applications , Dunod, Paris, 1966.
M. Godefroy. Lafonction Gamma; Théorie, Histoire, Bibliographie , Gauthier-Villars, Paris, 1901.
E. Artin. Einführung in die Theorie der Gammafunktion , Teubner, Leipzig, 1931.
N. Nielson. Handbuch der Theorie der Gammafunktion , Teubner, Leipzig, 1906.

Ordböcker och uppslagsverk	Brockhaus och Efron Britannica (online) Universalis
I bibliografiska kataloger	NDL : 00562231

↑ L. N. Bolshev, "V. I. Pagurova. Tabeller över den ofullständiga gammafunktionen. Recension”, Zh Vychisl. matematik. och matta. Fiz., 4:5 (1964), 977–978// http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=zvmmf&paperid=9070&option_lang=rus Arkiverad 9 augusti 2021 på Wayback Machine