Divisor (algebraisk geometri)

Inom algebraisk geometri är divisorer en generalisering av subvarieteter av någon algebraisk variation av kodimension 1. Det finns två olika sådana generaliseringar - Weyl divisors och Cartier divisors (uppkallade efter André Weyl och Pierre Cartier ), dessa begrepp är likvärdiga när det gäller varieteter ( eller scheman ) utan singulariteter .

Weil divisors

Definition

En Weyl divisor på en algebraisk variation (eller, mer allmänt, på ett Noetherian schema ) är en finit linjär kombination av , där är irreducible slutna delmängder och är heltalskoefficienter. Uppenbarligen bildar Weyl-divisorerna en Abelsk grupp med avseende på addition; denna grupp kallas . En divisor av formen kallas enkel , och en divisor för vilken alla koefficienter är icke-negativa kallas effektiv . $X$ ${\summa _{i}n_{i}[Z_{i}]}$ $[Z_{i}]$ $X$ $n_{i}$ ${\mathrm {Weil}}\,X$ $[Z]$ $n_{i}$

Delningsklassgrupp

Antag att schemat är helt , separerbart och regelbundet i kodimension 1 (i synnerhet gäller dessa egenskaper för jämna algebraiska varianter). Regelbundenhet i kodimension 1 betyder att den lokala generiska punktringen för varje irreducerbar sluten delmängd av kodimension 1 är regelbunden (och Noetherian, eftersom det är en lokalisering av en Noetherian ring), och därför är en diskret värderingsring . Varje rationell funktion på (ett element i fältet av kvoter av ringen av reguljära funktioner ) har någon norm i denna ring. Om normen för en rationell funktion är större än noll för någon irreducerbar delmängd , sägs den rationella funktionen ha en noll på , och om den är mindre än noll har den en pol. Eftersom schemat är Noetherian, följer det att normen för en rationell funktion inte är lika med noll endast för ett ändligt antal irreducerbara delmängder, så varje rationell funktion är associerad med en divisor betecknad med . Divisorer som kan erhållas på detta sätt kallas för principal divisorer . $X$ $X$ $K[X]$ $Y$ $Y$ $(f)$

Eftersom huvuddelare bildar en undergrupp i . En faktorgrupp av en undergrupp av huvuddelare kallas en divisorklassgrupp och betecknas med . Själva divisorklassgruppen är ett intressant schema invariant (trivialiteten i klassgruppen för ett affint schema är ett kriterium för faktoraliteten hos en ring förutsatt att den är Noetherian och integrerat sluten ) [1] , och även, i vissa fall, tillåter en att klassificera alla endimensionella buntar över ett givet schema. $(fg)=(f)+(g)$ ${\mathrm {Weil}}\,X$ ${\mathrm {Cl}}\,X$ ${\mathrm {Spec}}A$ $A$ $A$

Weil divisors och linjebuntar

Låta vara en linjebunt över ett (helt, Noetherian, regelbundet i kodimension 1) schema ; det motsvarar en bunt av sektioner lokalt isomorfa till ringen av reguljära funktioner på . Genom att använda dessa isomorfismer kan vilken rationell sektion som helst av en given bunt (det vill säga en sektion över någon öppen tät delmängd) associeras med en divisor av dess nollor och poler, betecknad med [2] . Två olika rationella sektioner skiljer sig åt i multiplikation med en rationell funktion, så denna jämförelse definierar en väldefinierad mappning från Picardgruppen till divisorklassgruppen: . Man kan också kontrollera att denna mappning är en homomorfism (summan av divisorer motsvarar tensorprodukten av buntar), i fallet med ett normalt schema är det injektivt, och i fallet med lokal faktoralitet av schemat är det surjektivt [3 ] . I synnerhet är alla dessa villkor uppfyllda för smidiga algebraiska varianter, vilket ger en klassificering av linjebuntar över dem upp till isomorfism. Till exempel är alla endimensionella buntar över ett affint lokalt faktoriellt schema triviala, eftersom dess divisorklassgrupp är trivial. ${\mathcal L}$ $X$ $X$ $s$ ${\mathrm {div}}\,s$ ${\mathrm {div}}:{\mathrm {Pic}}\,X\to {\mathrm {Cl}}\,X$

Cartier divisors

För att arbeta med godtyckliga scheman som har singulariteter är en annan generalisering av begreppet en undergren av kodimension 1 ofta mer bekväm [4] . Låt vara en täckning av ett schema med affina scheman, och vara en familj av rationella funktioner på motsvarande (i det här fallet betyder en rationell funktion en del av den kompletta ringen av kvoter). Om dessa funktioner är kompatibla, i den meningen att de skiljer sig åt genom multiplikation med en inverterbar reguljär funktion, så definierar denna familj en Cartier divisor. $U_{i}$ $X$ $f_{i}$ $U_{i}$ $f_{i}$ $f_{j}$ $U_{i}\cap U_{j}$

Mer exakt, låt vara den kompletta ringen av fraktioner av ringen av vanliga funktioner (där är en godtycklig affin [5] öppen delmängd). Eftersom de affina delmängderna utgör basen för topologin , definierar de alla unikt en presheaf på , och motsvarande sheaf betecknas med . En Cartier divisor är en global sektion av kvotkärven , där är en bunt av reversibla reguljära funktioner. Det finns en exakt sekvens , genom att applicera den vänstra exakta funktionorn för globala sektioner , får vi den exakta sekvensen . Cartier divisorer som ligger i bilden av en mappning från kallas huvuddivisorer . $K(U)$ ${\mathcal O}_{X}(U)$ $U$ $X$ $K(U)$ $X$ ${\mathcal K}_{X}^{*}$ ${\mathcal K}_{X}^{*}/{\mathcal O}_{X}^{*}$ ${\mathcal O}_{X}^{*}$ $0\till {\mathcal O}_{X}^{*}\to {\mathcal K}_{X}^{*}\to {\mathcal K}_{X}^{*}/{\mathcal O}_{X}^{*}\till 0$ $0\till \Gamma (X,{\mathcal O}_{X}^{*})\till \Gamma (X,{\mathcal K}_{X}^{*})\till \Gamma (X, {\mathcal K}_{X}^{*}/{\mathcal O}_{X}^{*})\till H^{1}(X,{\mathcal O}_{X}^{* })$ $\Gamma (X,{\mathcal K}_{X}^{*})$

Det finns en naturlig homomorfism från gruppen Cartier-delare (gruppoperationen motsvarar multiplikationen av funktioner) till gruppen Weyl-delare; om är ett helt separerbart Noetherian-schema vars alla lokala ringar är faktoriella, är denna kartläggning en isomorfism. I det fall då villkoret för lokal faktorialitet inte är uppfyllt, motsvarar Cartier-divisorer lokalt huvudsakliga Weyl-divisorer (divisorer som definieras som nollor för någon rationell funktion i närheten av varje punkt). Ett exempel på en Weil divisor som inte är en Cartier divisor är en linje i en kvadratisk kon som går genom dess vertex. $X$ ${\mathbb R}[x,y,z]/(x^{2}+y^{2}-z^{2})$

En Cartier divisor, som en Weyl divisor, kan associeras med en linjebunt (eller, motsvarande, en inverterbar bunt ). Kartläggningen från faktorgruppen Cartier-delare över undergruppen av huvuddelare till Picard-gruppen är en injektiv homomorfism, och i fallet med projektiva eller hela scheman är den surjektiv.

Effektiva Cartier-delare

En Cartier divisor sägs vara effektiv om alla funktioner som definierar den är regelbundna på motsvarande mängder . I det här fallet är den inverterbara bunten som motsvarar divisorn bunten av ideal , det vill säga bunten av funktioner som försvinner på något slutet underschema. Omvänt definierar detta slutna delschema unikt en effektiv divisor, så effektiva Cartier-delare kan definieras som slutna delscheman som lokalt kan definieras som uppsättningen nollor för en enda funktion som inte är en nolldelare [6] . På ett helt separerbart Noetherian-schema vars lokala ringar är faktoriella, motsvarar de effektiva Cartier-divisorerna exakt de effektiva Weyl-divisorerna [7] . $f_{i}$ $U_{i}$ $X$ $X$

Anteckningar

↑ Hartshorne, 1981 , sid. 174.
↑ Ravi Vakil , sid. 388.
↑ Ravi Vakil , sid. 389, 391.
↑ Hartshorne, 1981 , sid. 185.
↑ Kleiman, 1979 .
↑ Ravi Vakil , sid. 236, 396.
↑ Hartshorne, 1981 , sid. 191.

Litteratur

R. Hartshorne. Algebraisk geometri. — M .: Mir, 1981.
Kleiman, Steven. Missuppfattningar om K X // L'Enseignment Mathématique. - 1979. - Nr 25 . — S. 203-206. - doi : 10.5169/seals-50379 .

Länkar

Ravi Vakil. MATH 216: Grunder för algebraisk geometri (version 06/11/2013) . - anteckningar om kursen i algebraisk geometri, läst vid Stanford University.