Differentialgeometri för kurvor

Differentialgeometri av kurvor är en gren av differentialgeometri som behandlar studiet av släta rumsliga och plana kurvor i det euklidiska rummet med analytiska metoder.

Sätt att definiera en kurva

Det mest allmänna sättet att ställa in ekvationen för en rymdkurva är parametrisk :

x=x(t),\quad y=y(t),\quad z=z(t)\qquad \qquad

(ett)

var är jämna funktioner för parametern , och (regelbundenhetstillstånd). $x(t),\ y(t),\ z(t)$ $t$ $(x')^{2}+(y')^{2}+(z')^{2}\ >0$

Det är ofta bekvämt att använda en invariant och kompakt notation av ekvationen för en kurva med hjälp av en vektorfunktion :

{\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(t)

där på vänster sida är radievektorn för kurvans punkter, och den högra sidan bestämmer dess beroende av någon parameter . Genom att expandera denna notation i koordinater får vi formel (1). $t$

Beroende på differentieringsegenskaperna hos funktionerna som definierar kurvan, talar man om graden av jämnhet (regelbundenhet) hos kurvan. En kurva kallas regelbunden om den för någon av dess punkter, med ett lämpligt val av ett rektangulärt kartesiskt koordinatsystem , tillåter att, i närheten av denna punkt, ges av ekvationer av formen: $x(t),\ y(t),\ z(t)$ $x,\y,\z$

y=y(x),\ z=z(x)

var och är differentierbara funktioner. $y(x)\$ $z(x)\$

För att en punkt på kurvan som ges av den allmänna ekvationen (1) ska vara en vanlig punkt (inte en singular punkt ), är det tillräckligt att följande olikhet gäller vid denna punkt

(x')^{{2}}+(y')^{{2}}+(z')^{{2}}\ >0.

Differentialgeometri tar också hänsyn till bitvis jämna kurvor, som består av släta sektioner åtskilda av singulära punkter. På singulära punkter uppfyller de definierande funktionerna antingen inte regularitetsvillkoren eller är inte alls differentierbara.

Platta kurvor

En viktig klass av kurvor är plana kurvor, det vill säga kurvor som ligger i ett plan. En plan kurva kan också specificeras parametriskt med de två första av de tre ekvationerna (1). Andra metoder:

Explicit uppdrag: . $y=f(x)\$
Implicit uppdrag: . $F(x,\y)=0$

Funktionerna antas vara kontinuerligt differentierbara. Med en implicit tilldelning kommer en punkt på kurvan att vara vanlig om funktionen i dess grannskap har kontinuerliga partiella derivator som inte är lika med noll samtidigt. $f,\F$ $F(x,y)\$ $F_{x}',\ F_{y}'$

Låt oss ge exempel på singulära punkter för plana kurvor.

Halvkubisk parabel : Båda derivatorna är noll vid ursprunget. Detta är en singulär punkt (en spets av det första slaget), där tangentvektorn plötsligt ändrar riktning till den motsatta. $x=t^{2};\ \ y=at^{3}.$
Ekvationen definierar en kurva som består av en rät linje och en isolerad singular punkt vid origo. $(x-1)(x^{2}+y^{2})\ =0$ $x=1\$

Bernoullis lemniscat är en singulär punkt vid självkorsning. Vid singularpunkten är funktionen differentierbar, men regularitetsvillkoret bryts.

Kontakt

Ett antal grundläggande begrepp i kurvteorin introduceras med hjälp av begreppet kontakt av mängder , som består av det följande. Låt och vara två set med en gemensam punkt . En uppsättning sägs ha kontakt med vid en beställningspunkt om $M$ $m$ $O$ $M$ $m$ $O$ $\alpha \geqslant 1$

{\frac {\delta (X)}{\left|XO\right|^({\alpha ))))\till 0

vid ,

X\ till O

var är avståndet för börvärdet från . $\delta (X)$ $X$ $M$ $m$

Tillämpat på kurvor betyder detta följande: två kurvor vid en gemensam punkt har en tangensgrad som inte är lägre än k: te ordningen om deras derivator vid den gemensamma punkten, upp till k: te ordningen inklusive, sammanfaller.

Tangent

Om vi tar en kurva som en, och en rät linje som går genom en punkt i kurvan, bestämmer under kontaktvillkoren tangenten till kurvan vid punkten (fig. 1). Tangenten vid en punkt på kurvan kan också definieras som gränsläget för sekanten som passerar genom och nära den punkt då den tenderar att . $M$ $m$ $O$ $\alpha \geqslant 1$ $O$ $P$ $P$ $P_1$ $P_1$ $P$

En jämn regelbunden kurva har en bestämd tangent vid varje punkt. Tangentens riktning vid den punkt av kurvan som ges av ekvation (1) sammanfaller med vektorns riktning . I vektornotation är detta derivatan . $t_0$ $\{x'(t_{0}),\ y'(t_{0}),\ z'(t_{0})\}$ ${\frac {d{\mathbf {r}}}{dt}}(t_{0})$

I differentialgeometri härleds tangentekvationer för olika sätt att analytiskt specificera en kurva. Speciellt, för kurvan som ges av ekvation (1), kommer ekvationerna för tangenten vid den punkt som motsvarar värdet på parametern att vara $t_0$

{\frac {X-x_{0}}{x_{0}'}}={\frac {Y-y_{0}}{y_{0}'}}={\frac {Z-z_{0} }{z_{0}'}}

där indexet anger värdet av funktionerna och deras derivator vid punkten . ${}_{0}\$ $x,y,z\$ $t_{0}\$

För en plan kurva har tangentekvationen vid en punkt följande form. $(x_{0},\ y_{0})$

Parametrisk uppgift: $Y=y_{0}+{\frac {y_{0}'}{x_{0}'}}(X-x_{0})$
Explicit uppdrag: $Y=y_{0}+f_{0}'(X-x_{0})\$
Implicit jobb: $Y=y_{0}-{\frac {(F_{x}')_{0}}{(F_{y}')_{0}}}(X-x_{0})$

Sammanhängande plan och normaler

Om vi tar som ett plan som passerar genom punkten av kurvan , då kontaktvillkoret vid bestämmer kontaktplanet för kurvan (Fig. 1). En dubbelt differentierbar kurva har ett sammanhängande plan vid varje punkt. Det är antingen unikt, eller så är vilket plan som helst som passerar genom kurvans tangent tangent. $m$ $O$ $M$ $\alpha \geqslant 2$

Låt vara ekvationen för kurvan. Sedan bestäms ekvationen för dess angränsande plan från relationen där och inom parentes är den blandade produkten av vektorer. I koordinater ser det ut så här: ${\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(t)$ $(\mathbf {R} -\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',\mathbf {r} '')=0,$ $\mathbf {R} =(X,Y,Z)$

{\begin{vmatrix}Xx&Y-y&Z-z\\x'&y'&z'\\x''&y''&z''\end{vmatrix}}=0

En linje som är vinkelrät mot tangenten och som går genom kontaktpunkten kallas normalen till kurvan . Planet vinkelrätt mot tangenten vid en given punkt av kurvan kallas normalplanet ; alla normaler för en given punkt ligger i normalplanet. Normalen som ligger i kontaktplanet kallas huvudnormalen och normalen vinkelrät mot beröringsplanet kallas binormal [1] . För korthets skull kan enhetsvektorer längs dessa linjer också kallas normala och binormala (i detta fall väljs vanligen riktningen för huvudnormalvektorn för att sammanfalla med riktningen för kurvans krökningsvektor [2] ).

Vektorekvationen för det binormala vid den punkt som motsvarar värdet på parametern har formen: $t_0$ $t$

{\boldsymbol {r}}(\lambda )={\boldsymbol {r}}(t_{0})+\lambda [{\boldsymbol {r}}'(t_{0}),~{\boldsymbol {r }}''(t_{0})].

Huvudnormalens riktning kan erhållas som en dubbelkorsprodukt : . $[[\mathbf {r} ',\ \mathbf {r} ''],\ \mathbf {r} ']$

För en plan kurva sammanfaller planet som innehåller den med tangentplanet. Normalen, upp till tecknet, är bara en - den huvudsakliga, och dess ekvation vid en punkt har följande form. $(x_{0},\ y_{0})$

Parametrisk uppgift: $Y=y_{0}-{\frac {x_{0}'}{y_{0}'}}(X-x_{0})$
Explicit uppdrag: $Y=y_{0}-{\frac {X-x_{0}}{f_{0}'}}$
Implicit jobb: $Y=y_{0}+{\frac {(F_{y}')_{0}}{(F_{x}')_{0}}}(X-x_{0})$

Sammanhängande cirkel

Cirkeln som berör kurvan vid en given punkt har ordningskontakt med kurvan (fig. 2). Det finns vid varje punkt av en dubbelt differentierbar kurva med krökning som inte är noll (se nedan) och är också gränsen för en cirkel som passerar genom och två punkter nära den när den tenderar att . $P$ $\alpha \geqslant 2$ $P$ $P_{1},\ P_{2}$ $P_{1},\ P_{2}$ $P$

Mitten av den sammanhängande cirkeln kallas krökningscentrum och radien kallas krökningsradien . Krökningsradien är den reciproka krökningen (se nedan). Mitten av en rörande cirkel ligger alltid på huvudnormalen; därav följer att denna normal alltid är riktad mot kurvans konkavitet .

Platsen för krökningscentrum i en kurva kallas evolutionen . En kurva som ortogonalt skär kurvans tangenter kallas en involut . Konstruktionen av en evolution och en evolvent är ömsesidigt omvända operationer, det vill säga för evolutionen av en given kurva är evolutionen själva kurvan.

Kurvbågslängd

För att mäta längden på en sektion (båge) av en godtycklig kurva ersätts denna kurva av en polylinje som innehåller kurvpunkter som brytpunkter, och den maximala summan av längderna av alla sådana polylinjer tas som längden på kurvan (Fig. 3). I en invariant form är formeln för att beräkna längden på en båge ( räta ut en kurva ):

s=\int \limits _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}|{\mathbf {r'}}(t)|\,dt

Samma i kartesiska koordinater:

s=\int \limits _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}{\sqrt {(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2 }+(z'(t))^{2}}}\,dt.

I polära koordinater för en platt kurva:

s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {r^{2}+\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}}}\, d\theta .

Parametrisering

Kurvan tillåter ett oändligt antal olika sätt för parametrisk tilldelning genom ekvationer av formen (1). Bland dem är den så kallade naturliga parametriseringen av särskild betydelse , när längden på kurvans båge, mätt från någon fast punkt, fungerar som en parameter.

Bland fördelarna med denna parameterisering:

${\mathbf {r))'$ har enhetslängd och sammanfaller därför med tangentens enhetsvektor.
${\mathbf {r))''$ sammanfaller i längd med krökningen och i riktning med huvudnormalen.

Krökning

När man rör sig längs en kurva ändrar dess tangent riktning. Hastigheten för denna rotation (förhållandet mellan tangentens rotationsvinkel under en oändligt liten tidsperiod till detta intervall) med enhetlig, med enhetshastighet, rörelse längs kurvan kallas kurvans krökning . Tidsderivatan av tangentens positiva enhetsvektor kallas i detta fall kurvans krökningsvektor . Båda är funktioner av en punkt på kurvan. Krökning är det absoluta värdet av krökningsvektorn.

I fallet med en godtycklig parametrisk specifikation av en kurva [3] bestäms kurvans krökning i tredimensionellt utrymme av formeln

k_{1}={\frac {\left|[\mathbf {r} '(t)\times \ \mathbf {r} ''(t)]\right|}{\left|\mathbf { r} '(t)\right|^{3}}}

var är en vektorfunktion med koordinater . ${\mathbf {r}}(t)$ $x(t),\ y(t),\ z(t)$

I koordinater:

k_{1}={\frac {{\sqrt {(z''y'-y''z')^{2}+(x''z'-z''x')^{2}+( y''x'-x''y')^{2}}}}{(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2})^{{3/2}} }}

För en kurva i ett högre dimensionellt utrymme kan man ersätta korsprodukten , här betecknad med hakparenteser, med den yttre produkten .

För en kurva i ett utrymme av valfri dimension kan du också använda krökningsvektorformeln:

{\mathbf k}={\frac {d{\mathbf \tau }}{dl}}

och det faktum att krökningen är dess modul, såväl som uttrycket för enhetstangensvektorn

{\mathbf \tau }={\frac {d{\mathbf r}}{dl}}={\frac {r'}{|r'|}}

och

dl=|{\mathbf r}'|dt,

och få formeln för krökning:

k=\left|{\frac {1}{|{\mathbf r}'|}}\left({\frac {{\mathbf r}'}{|{\mathbf r}'|}}\right) '\right|,

eller öppna parenteser:

k=\left|{\frac {{\mathbf r}''}{({\mathbf r}')^{2))}-{\mathbf r}'{\frac {({\mathbf r}' ',{\mathbf r}')}{({\mathbf r}')^{4))}\right|.

Raka linjer och bara raka linjer har noll krökning överallt. Därför visar krökningen tydligt hur (vid en given punkt) kurvan skiljer sig från en rät linje: ju närmare krökningen är noll, desto mindre är denna skillnad. Krökningen av en cirkel med radien R är 1/R.

En dubbelt differentierbar kurva vid varje punkt där krökningen inte är noll har ett enda sammanhängande plan.

För plana kurvor kan man urskilja tangentens rotationsriktning när man rör sig längs kurvan, så krökningen kan tilldelas ett tecken beroende på rotationsriktningen. Krökningen av en plan kurva som ges av ekvationerna bestäms av formeln $x=x(t),\ y=y(t)$

k=\pm {\frac {y''x'-x''y'}{(x'^{2}+y'^{2})^{{3/2))))

Tecknet eller är taget enligt konvention, men bevaras längs hela kurvan. $+$ $-$

Torsion

När man rör sig längs en kurva i närheten av en given punkt, roterar kontaktplanet, och tangenten till kurvan är den momentana axeln för denna rotation. Rotationshastigheten för kontaktplanet under enhetlig, med enhetshastighet, rörelse kallas torsion . Rotationsriktningen bestämmer tecknet på vridningen.

En tre gånger differentierbar kurva har en viss vridning vid varje punkt med krökning som inte är noll. I fallet med en godtycklig parametrisk specifikation av kurvan genom ekvationer (1), bestäms kurvans vridning av formeln

k_{2}={\frac {(\mathbf {r} ',\mathbf {r} '',\mathbf {r} ''')}{\left|[\mathbf {r} '\ gånger \ \mathbf {r} '']\right|^{2}}},

här betecknar den blandade produkten och är vektorprodukten , dvs. $(*,*,*)$ $[*,*]$

k_{2}={\frac {x'''(y'z''-y''z')+y'''(x''z'-x'z'')+z'''( x'y''-x''y')}{(y'z''-y''z')^{2}+(x''z'-x'z'')^{2}+ (x'y''-x''y')^{2}}}.

För en rät linje är torsion inte definierad, eftersom tangentplanet är tvetydigt definierat. En plan kurva har noll vridning vid varje punkt. Omvänt är en kurva med identisk nolltorsion platt.

Frenets formler

En figur som består av en tangent, en huvudnormal och en binormal, samt tre plan som innehåller dessa linjer i par, kallas en naturlig trihedron ( Frenets trihedron , se fig. 4). Tangent- och normalplanen har redan nämnts; det tredje planet som innehåller tangenten och det binormala kallas likriktaren .

Om kanterna på en naturlig trihedron vid en given punkt av kurvan tas som axlarna för ett rektangulärt kartesiskt koordinatsystem, expanderar ekvationen för kurvan i den naturliga parametriseringen i närheten av denna punkt till en serie längs koordinaten längs kurvan:

x=s+\dots ,\qquad y={\frac {k_{1}}{2}}s^{2}+\dots ,\qquad z=-{\frac {k_{1}k_{ 2}}{6}}s^{3}+\dots ...,

var och är kurvans krökning och vridning vid den angivna punkten. $k_{1}\$ $k_{2}\$

Enhetsvektorerna för kurvans tangent, huvudnormal och binormal ändras när man rör sig längs kurvan. Med ett lämpligt val av riktningen för dessa vektorer erhålls följande formler från definitionen av krökning och torsion: ${\boldsymbol {{\vec t}}},\ {\boldsymbol {{\vec n}}},\ {\boldsymbol {{\vec b}}}$

{\frac {d{\boldsymbol {{\vec t)))){ds}}=k_{1}{\boldsymbol {{\vec n}}}

((2))

{\frac {d{\boldsymbol {{\vec n)))){ds}}=-k_{1}{\boldsymbol {{\vec t}}}+k_{2}{\boldsymbol {{\vec b}}}\qquad

{\frac {d{\boldsymbol {{\vec b)))){ds}}=-k_{2}{\boldsymbol {{\vec n}}}

där differentieringen går längs kurvans båge. Formler (2) kallas Frenet - formler eller Frenet- Serret - formler .

Kinematisk tolkning

Vi kommer att betrakta längden på bågen för en given kurva som tid, och Frenet-triedern som en stel kropp som rör sig längs kurvan. Då består denna rörelse vid varje tidpunkt av translationell (längs tangenten) och momentan rotation med vinkelhastighet ( Darboux-vektorn ). Frenets formler innebär: ${\boldsymbol {{\vec \omega ))}$

{\boldsymbol {{\vec \omega }}}=k_{1}\ {\boldsymbol {{\vec b}}}+k_{2}\ {\boldsymbol {{\vec t}}}

Detta innebär att den momentana rotationsvektorn ligger i likriktarplanet och är uppdelad i 2 komponenter: rotation runt det binormala med hastighet (rotation) och rotation runt tangenten med hastighet (torsion). $k_{1}\$ $k_{2}\$

Naturliga kurvekvationer

En kurva med icke-noll krökning definieras fullständigt (upp till position i rymden) genom att specificera dess krökning och vridning som funktioner av kurvans båge. I detta avseende, ekvationssystemet $s$

k_{1}=k_{1}(s),~~k_{2}=k_{2}(s)

kallas kurvans naturliga ekvationer .

Exempel

Betrakta en helix (fig. 4) som ges av ekvationerna:

x(t)=a\ \cos t

y(t)=a\ \sin t

z(t)=b\t

Enligt ovanstående formler får vi:

k_{1}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}

k_{2}={\frac {b}{a^{2}+b^{2))}

Således är krökningen och vridningen av helixen konstanta. Eftersom naturliga ekvationer unikt bestämmer formen på en kurva, finns det inga andra kurvor med konstant krökning och vridning. Begränsningsfallen för en spiral är en cirkel (den erhålls vid ) och en rät linje ( ). $b=0\,\!$ $a=0\,\!$

Anteckningar

↑ Binormal // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : i 86 volymer (82 volymer och ytterligare 4). - St Petersburg. 1890-1907.
↑ Planet som berör kurvan vid en given punkt är alltså det plan i vilket tangentvektorn och krökningsvektorn ligger, förutsatt att var och en av dessa vektorer har sitt ursprung i den givna punkten på kurvan.
↑ dvs. när man rör sig längs kurvan, generellt sett, inte med konstant hastighet då parametern t ökar .

Se även

Litteratur

Pogorelov A. V. Differentialgeometri (6:e upplagan). Moskva: Nauka, 1974.
Rashevsky P. K. En kurs i differentialgeometri (3:e upplagan). M.-L.: GITTL, 1950.
Toponogov, V. A. Differentialgeometri för kurvor och ytor . - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 978-5-89155-213-5 .