Parameterberoende integral

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 3 november 2014; kontroller kräver 5 redigeringar .

En integral beroende på en parameter är ett matematiskt uttryck som innehåller en bestämd integral och beror på en eller flera variabler ("parametrar").

Parameterberoende egenintegral

Låt en domän ges i ett tvådimensionellt euklidiskt rum där en funktion av två variabler definieras. $\overline{G}=\left\{\left (x,y\right )|a \leq x \leq b, c \leq y \leq d \right\}$ $f(x,y)$

Låt vidare, . $\forall y\in \left[c;d\right]\, \exists I\left(y\right)=\int\limits_a^bf\left(x,y\right)\, dx$

Funktionen och kallas en integral beroende på parametern. $I(y)$

Egenskaper för en integral beroende på en parameter

Kontinuitet

Låt funktionen vara kontinuerlig i domänen som funktion av två variabler. Då är funktionen kontinuerlig på segmentet . $f(x,y)$ $\overline{G}$ $I\left(y\right)=\int\limits_a^bf\left(x,y\right )\, dx$ $[c;d]$

Bevis

Tänk på inkrementens inkrement beroende på parametern. $\Delta I\left(y\right) = I\left(y+\Delta y\right)-I\left(y\right )=\int\limits_a^bf\left(x,y+\Delta y\right) \,dx-\int\limits_a^bf\left(x,y\höger)\,dx=$

$=\int\limits_a^b \left(f\left(x,y+\Delta y\right)-f\left(x,y\right)\höger)\,dx$ .

Enligt Cantors sats är en funktion kontinuerlig på en kompakt mängd enhetligt kontinuerlig på den, d.v.s. $\forall \epsilon >0 \, \exists \delta = \delta\left(\epsilon\right )>0\, \forall M_1(x_1,y_1),M_2(x_2,y_2)\i \overline{G}:$

$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}<\delta \, \left|f(M_1)-f(M_2)\right|<\epsilon$ .

Därför, för , vilket betyder kontinuiteten i funktionen $\Delta I(y) < \epsilon(ba)$ $\Delta y < \delta$

Differentiering under integraltecknet

Låt nu inte bara funktionen vara kontinuerlig på domänen , utan också dess partiella derivata . $\overline{G}$ $f(x,y)$ $\frac {\partial f} {\partial y} \left (x,y\right )$

Sedan , eller, som är samma, $\frac {d} {dy} I(y) = \int\limits_a^b \frac {\partial f} {\partial y} \left(x,y\right) \, dx$ $\frac {d} {dy} \int\limits_a^bf(x,y)\,dx = \int\limits_a^b \frac {\partial f} {\partial y} \left(x,y\right) \, dx$

Bevis

$\frac {\Delta I(y)} {\Delta y} = \frac {1} {\Delta y} \int\limits_a^b (f(x,y+\Delta y) - f(x,y)) dx = \int\limits_a^b \frac {\partial f} {\partial y} (x,\eta ) dx = \int\limits_a^b \frac {\partial f} {\partial y} (x,y+ \Theta \Delta y)dx$ $( \eta \in [y;y+\Delta y], \Theta \in [0;1])$ Dessa transformationer utfördes med hjälp av Lagranges medelsats . Betrakta nu uttrycket . $\frac {\Delta I(y)} {\Delta y} - \int\limits_a^b \frac {\partial f} {\partial y} \left(x,y\right) \, dx = \int\ limits_a^b \left(\frac {\partial f} {\partial y} \left(x,y+\Theta \Delta y \right) - \frac {\partial f} {\partial y} \left(x, y\right) \right) \, dx$

Använder igen Cantors sats , men för funktionen får vi det för , vilket bevisar denna sats $\frac {\partial f} {\partial y}$ $\frac {\Delta I(y)} {\Delta y} - \int\limits_a^b \frac {\partial f} {\partial y} \left(x,y\right) \, dx = o(1 )$ $\Delta(y) \till 0$