Keplers lagar

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 28 juni 2022; kontroller kräver 4 redigeringar .

Keplers lagar är tre empiriska samband etablerade av Johannes Kepler på basis av långtidsastronomiska observationer av Tycho Brahe [1] . Utlagt av Kepler i tidningar publicerade mellan 1609 [2] och 1619 [3] år. Beskriv planetens idealiserade heliocentriska omloppsbana .

Keplers relationer tillät Newton att postulera lagen om universell gravitation , som blev grundläggande i klassisk mekanik. Inom dess ram är Keplers lagar en lösning på tvåkroppsproblemet när det gäller en försumbart liten massa av planeten, det vill säga i gränsövergången , där , är planetens respektive stjärnans massor. $m_{p}/m_{s}\högerpil 0$ $m_{p}$ $Fröken}$

Formuleringar

Keplers första lag (ellipslagen)

Varje planet i solsystemet rör sig i en ellips med solen i en av sina brännpunkter .

Ellipsens form och graden av dess likhet med en cirkel kännetecknas av förhållandet , där är avståndet från mitten av ellipsen till dess fokus (brännvidd), är halvstoraxeln . Storleken kallas ellipsens excentricitet . När , och därför ellipsen förvandlas till en cirkel. $e=\frac{c}{a}$ $c$ ${a}$ $e$ $c=0$ $e=0,$

Keplers andra lag (områdenas lag)

Varje planet rör sig i ett plan som passerar genom solens centrum, och under lika långa tidsperioder beskriver radievektorn som förbinder solen och planeten lika stora ytor.

I förhållande till vårt solsystem är två begrepp förknippade med denna lag: perihelion - den punkt i omloppsbanan som är närmast solen, och aphelion - den mest avlägsna punkten i omloppsbanan. Av Keplers andra lag följer alltså att planeten rör sig ojämnt runt solen och har en högre linjär hastighet vid perihelium än vid aphelium.

Varje år i början av januari rör sig jorden snabbare när den passerar genom perihelium, så solens skenbara rörelse österut längs ekliptikan är också snabbare än årsgenomsnittet. I början av juli rör sig jorden, som passerar aphelion, långsammare, därför saktar solens rörelse längs ekliptikan. Arealagen indikerar också att kraften som styr planeternas omloppsrörelse är riktad mot solen.

Keplers tredje lag (harmonisk lag)

Kvadraterna för rotationsperioderna för planeterna runt solen är relaterade som kuberna för de halvstora axlarna i planeternas banor .

\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{a_1^3}{a_2^3}

$T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{GM}}a^{3}$

var och är rotationsperioderna för de två planeterna runt solen, och och är längderna på de halvstora axlarna i deras banor. Påståendet gäller även för satelliter. $T_{1}$ $T_{2}$ $a_{1}$ $a_{2}$

Newton fann att tyngdkraften hos en planet med en viss massa beror bara på dess avstånd, och inte på andra egenskaper som sammansättning eller temperatur. Han visade också att Keplers tredje lag inte är helt korrekt - i själva verket inkluderar den även planetens massa:

\frac{T_1^2(M+m_1)}{T_2^2(M+m_2)} = \frac{a_1^3}{a_2^3}

var är solens massa och och är planeternas massor. $M$ $m_1$ $m_2$

Eftersom rörelse och massa är relaterade, används denna kombination av Keplers harmoniska lag och Newtons tyngdlag för att bestämma massorna av planeter och satelliter om deras omloppsbanor och omloppsperioder är kända.

Härledning av Keplers lagar från den klassiska mekanikens lagar

Härledning av Keplers första lag

Betrakta rörelsen i polära koordinater , vars centrum sammanfaller med systemets masscentrum (sammanfaller ungefär med solen). $(r,\theta )$

Låt vara radievektorn till planeten, låt oss beteckna enhetsvektorn som anger dess riktning. På samma sätt introducerar vi — en enhetsvektor, vinkelrät mot , riktad i riktning mot ökande polarvinkel . Vi skriver tidsderivatorna och betecknar dem med prickar: $\mathbf {r}$ ${\hat {\mathbf {r} }}=\mathbf {r} /r$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta ))))$ $\mathbf {r}$ $\theta$

{\dot {\mathbf {r} }}={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol { \theta }}}

{\ddot {\mathbf {r} }}=({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {\mathbf {r} }}+ (r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\hat {\boldsymbol {\theta }}}

Newtons universella gravitationslag säger att "varje föremål i universum attraherar alla andra föremål längs en linje som förbinder föremålens massacentrum, proportionell mot varje föremåls massa och omvänt proportionell mot kvadraten på avståndet mellan föremålen." Så accelerationen ser ut så här:

\mathbf{a} = \frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} = f(r)\hat{\mathbf{r}}.

Eller i koordinatform:

{\begin{cases}{\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}=f(r),\\r{\ddot {\theta }}+2{ \dot {r}}{\dot {\theta }}=0;\end{cases}}

I den andra ekvationen skriver vi och : ${\ddot {\theta ))$ $\prick-r$

r { d \dot\theta \over dt } + 2 {dr \over dt} \dot\theta = 0,

Att bli av med tiden och separera variablerna får vi:

\frac{d\dot\theta}{\dot\theta} = -2\frac{dr}{r}.

Vars integration kommer att ge:

\ln {\dot {\theta }}=-2\ln r+C,

Om vi antar och förenklar logaritmerna har vi äntligen $C=\ln \ell$

r^{2}{\dot {\theta }}=\ell

Konstantens betydelse är den specifika rörelsemängden ( ). Vi har visat att det finns bevarat inom centrala krafter. $\aln$ $\ell=\mathbf{r}\times \mathbf{v}$

För att arbeta med den första ekvationen är det bekvämt att göra substitutionen:

r = \frac{1}{u},

Och skriv om derivaten och samtidigt bli av med tiden

{\dot {r}}=-{\frac {1}{u^{2}}}{\dot {u}}=-{\frac {1}{u^{2}}}{ \frac {du}{dt}}=-{\frac {1}{u^{2}}}{\frac {d\theta }{dt}}{\frac {du}{d\theta }}= -\ell {\frac {du}{d\theta )),

{\ddot {r}}=-\ell {\frac {d}{dt}}{\frac {du}{d\theta }}=-\ell {\frac {d^{2}u }{dt\,d\theta }}\cdot {\frac {d\theta }{d\theta }}=-\ell {\dot {\theta }}{\frac {d^{2}u}{ d\theta ^{2}}}=-\ell ^{2}u^{2}{\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}.

Rörelseekvationen i riktningen kommer då att skrivas: $\hat{\mathbf{r}}$

\frac{d^2u}{d\theta^2} + u = - \frac{1}{\ell^2u^2}f\left(\frac{1}{u}\right).

Newtons universella gravitationslag relaterar kraft per massenhet till avstånd som

f \left( {1 \over u} \right) = f(r)= - \, { GM \over r^2 } = - GM u^2

var är den universella gravitationskonstanten och är stjärnans massa. $G$ $M$

Som ett resultat:

\frac{d^2u}{d\theta^2} + u = \frac{GM}{\ell^2}.

Denna differentialekvation kan skrivas om i totala derivator:

{\frac {d}{du}}\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {du}{d\theta }}\right)^{2}+{ \frac {1}{2}}u^{2}\right)={\frac {d}{du}}\left({\frac {GM}{\ell ^{2}}}u\right)

Att bli av med det vi får:

\left({\frac {du}{d\theta }}\right)^{2}+u^{2}-{\frac {2GM}{\ell ^{2}}}u=C

Och slutligen:

{\frac {du}{d\theta }}=\pm {\sqrt {C+{\frac {2GM}{\ell ^{2}}}uu^{2}}}

Genom att dividera variablerna och utföra elementär integration får vi den allmänna lösningen:

u = \frac{GM}{\ell^2} \left[ 1 + e\cos(\theta-\theta_0) \right] .

för integrationskonstanterna och beroende på initialförhållandena. $e$ $\theta _{0}$

Genom att ersätta med 1/ och introducera , har vi äntligen: $u$ $r$ $p={\frac {\ell ^{2}}{GM}}$

p=r\,(1+e\cos(\theta -\theta _{0}))

Vi har erhållit ekvationen för en konisk sektion med en parameter och en excentricitet och ursprunget för koordinatsystemet vid en av brännpunkterna. Således följer Keplers första lag direkt av Newtons lag om universell gravitation och Newtons andra lag. $sid$ $e$

Härledning av Keplers andra lag

Per definition skrivs rörelsemängden för en punktkropp med massa och hastighet som: $\mathbf{L}$ $m$ $\mathbf{v}$

\mathbf{L} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \mathbf{r} \times \mathbf{p} = \mathbf{r} \times ( m \mathbf{v} )

var är kroppens radievektor och är dess rörelsemängd. Arean som svepas av radievektorn under tiden från geometriska överväganden är lika med $\mathbf {r}$ $\mathbf{p} = m \mathbf{v}$ $\mathbf {r}$ $dt$

dS={\frac {1}{2}}r\sin \phi vdt={\frac {1}{2}}|\mathbf {r} \times \mathbf {v} |dt={\ frac {\mathbf {|L|} }{2m}}dt={\frac {\ell }{2}}dt

var är vinkeln mellan vektorerna och . $\phi$ $\mathbf {r}$ $\mathbf{v}$

När den första lagen härleddes visades det att . Detsamma kan erhållas genom enkel differentiering av vinkelmomentet: $\ell =const$

\frac{d\mathbf{L}}{dt} = (\mathbf{r} \times \mathbf{F}) + \left( \frac{d\mathbf{r}}{dt} \times m\frac {d\mathbf{r}}{dt} \right) = ( \mathbf{r} \times \mathbf{F} ) + ( \mathbf{v} \times \mathbf{p} ) = 0

Den sista övergången förklaras av likheten med noll av vektorprodukten av kolinjära vektorer. I själva verket är kraften här alltid riktad längs radievektorn, medan rörelsemängden är riktad längs hastigheten per definition.

Vi förstår att det inte beror på tid. Detta betyder att den är konstant, och därför är hastigheten för att svepa området proportionell mot den konstant. $\mathbf L$ $|\mathbf{L}|$ $\frac{dS}{dt}$

Härledning av Keplers tredje lag

Keplers andra lag säger att radievektorn för en cirkulerande kropp sveper ut lika stora ytor med lika tidsintervall. Om vi nu tar mycket små tidsperioder i det ögonblick då planeten är vid punkterna ( perihelion ) och ( aphelion ), så kan vi approximera arean med trianglar med höjder lika med avståndet från planeten till solen, och en bas lika med produkten av planetens hastighet och tid. $P$ $A$

{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot (1-\varepsilon )a\cdot V_{A}\,dt={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matris}}\cdot (1+\varepsilon )a\cdot V_{B}\,dt

(1-\varepsilon )\cdot V_{A}=(1+\varepsilon )\cdot V_{B}

V_{A}=V_{B}\cdot {\frac {1+\varepsilon }{1-\varepsilon }}

Med hjälp av lagen om bevarande av energi för den totala energin av planeten vid punkter och , vi skriver $A$ $B$

\frac{mV_A^2}{2}-\frac{GmM}{(1-\varepsilon)a} =\frac{mV_B^2}{2}-\frac{GmM}{(1+\varepsilon)a }

\frac{V_A^2}{2}-\frac{V_B^2}{2} =\frac{GM}{(1-\varepsilon)a}-\frac{GM}{(1+\varepsilon)a }

{\frac {V_{A}^{2}-V_{B}^{2}}{2}}={\frac {GM}{a}}\cdot \left({\frac {1}{( 1-\varepsilon )}}-{\frac {1}{(1+\varepsilon )))\right)

\frac{\left ( V_B\cdot\frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon}\right ) ^2-V_B^2}{2}=\frac{GM}{a}\cdot \left ( \frac{1+\varepsilon-1+\varepsilon}{(1-\varepsilon)(1+\varepsilon)} \right )

V_{B}^{2}\cdot \left({\frac {1+\varepsilon }{1-\varepsilon }}\right)^{2}-V_{B}^{2}={\frac { 2GM}{a}}\cdot \left({\frac {2\varepsilon }{(1-\varepsilon )(1+\varepsilon )))\right)

V_{B}^{2}\cdot \left({\frac {(1+\varepsilon )^{2}-(1-\varepsilon )^{2}}{(1-\varepsilon )^{2} }}\right)={\frac {4GM\varepsilon }{a\cdot (1-\varepsilon )(1+\varepsilon )))

V_{B}^{2}\cdot \left({\frac {1+2\varepsilon +\varepsilon ^{2}-1+2\varepsilon -\varepsilon ^{2}}{(1- \varepsilon )^{2}}}\right)={\frac {4GM\varepsilon }{a\cdot (1-\varepsilon )(1+\varepsilon )))

V_{B}^{2}\cdot 4\varepsilon ={\frac {4GM\varepsilon \cdot (1-\varepsilon )^{2}}{a\cdot (1-\varepsilon )(1+ \varepsilon)}}

V_{B}={\sqrt {\frac {GM\cdot (1-\varepsilon )}{a\cdot (1+\varepsilon )}}}.

Nu när vi har hittat kan vi hitta sektorhastigheten. Eftersom den är konstant kan vi välja vilken punkt som helst på ellipsen: till exempel för punkt B får vi $V_B$

\frac{dA}{dt}=\frac{\frac{1}{2}\cdot(1+\epsilon)a\cdot V_B \,dt}{dt}= \begin{matrix}\frac{1} {2}\end{matris} \cdot(1+\epsilon)a\cdot V_B

={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot (1+\varepsilon )a\cdot {\sqrt {\frac {GM\cdot (1- \varepsilon )}{a\cdot (1+\varepsilon )}}}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot {\sqrt {GMa\cdot ( 1-\varepsilon )(1+\varepsilon )}}

Emellertid är den totala arean av ellipsen (vilket är lika med eftersom ). Tiden för en fullständig revolution är alltså $\pi a{\sqrt {(1-\varepsilon ^{2})}}a$ $\pi ab$ $b={\sqrt {(1-\varepsilon ^{2})}}a$

T\cdot {\frac {dA}{dt}}=\pi a{\sqrt {(1-\varepsilon ^{2}})))a

T\cdot {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot {\sqrt {GMa\cdot (1-\varepsilon )(1+\varepsilon )} }=\pi {\sqrt {(1-\varepsilon ^{2})}}a^{2}

T=\frac{2\pi \sqrt{(1-\epsilon^2)}a^2}{\sqrt{GMa\cdot(1-\epsilon)(1+\epsilon)}} =\frac{2 \pi a^2}{\sqrt{GMa}}= \frac{2\pi}{\sqrt{GM}}\sqrt{a^3}

T^2=\frac{4\pi^2}{GM}a^3.

Observera att om massan inte är försumbar jämfört med , så kommer planeten att kretsa runt solen med samma hastighet och i samma bana som en materialpunkt som kretsar runt massan (se reducerad massa ). I detta fall måste massan i den sista formeln ersättas med : $m$ $M$ $M+m$ $M$ $M+m$

T^2=\frac{4\pi^2}{G(M+m)}a^3.

Alternativ beräkning Låt oss betrakta planeten som en masspunkt som roterar i en elliptisk bana i två positioner:

m

perihelion med radievektor , hastighet ; $r_{1}=ac$ $V_{1}$
aphelion med radievektor , hastighet . $r_{2}=c+a$ $V_{2}$

Låt oss skriva lagen om bevarande av rörelsemängd

mV_{1}r_{1}=mV_{2}r_{2}

och lagen om energibevarande

{\displaystyle {\frac {mV_{1}^{2}}{2}}-{\frac {GmM}{r_{1}}}={\frac {mV_{2}^{2}}{2 ))-{\frac {GmM}{r_{2))))

där M är solens massa.

Genom att lösa systemet är det lätt att få förhållandet för planetens hastighet vid "perihelion"-punkten:

V_{1}={\sqrt {2GM{\frac {r_{2}/r_{1}}{r_{1}+r_{2}}}}}

Vi uttrycker sektorhastigheten (som, enligt Keplers andra lag, är ett konstant värde):

V_{s}=1/2\cdot V_{1}r_{1}={\sqrt {GM{\frac {r_{2}r_{1}}{2(r_{1}+r_{ 2})}}}}

Låt oss beräkna arean av ellipsen längs vilken planeten rör sig. En sida:

S_{ellips}=\pi ab

där är längden på den stora halvaxeln, är längden på den mindre halvaxeln i omloppsbanan. $a$ $b$

Å andra sidan, genom att dra fördel av det faktum att för att beräkna arean för en sektor kan du multiplicera sektorhastigheten med omsättningsperioden:

S_{ellips}=V_{s}\cdot T=T\cdot {\sqrt {\frac {GMr_{2}r_{1)){2(r_{1}+r_{2)))) ) }

Följaktligen,

T\cdot {\sqrt {\frac {GMr_{2}r_{1}}{2(r_{1}+r_{2})))}=\pi ab

För ytterligare transformationer använder vi ellipsens geometriska egenskaper. Vi har relationer

c^{2}=a^{2}-b^{2}

r_{1}+r_{2}=2a

{\displaystyle r_{1}\cdot r_{2}=a^{2}-c^{2}=b^{2))

Ersätt i formeln för arean av en ellips:

T\cdot {\sqrt {GM{\frac {b^{2}}{4a}}}}=\pi ab

Därifrån får vi äntligen:

{\frac {T}{a^{3/2}}}=const

eller på traditionellt sätt

{\frac {T^{2}}{a^{3}}}=konst.

Anteckningar

↑ Holton, Gerald James. Physics, the Human Adventure: From Copernicus to Einstein and Beyond / Holton, Gerald James, Brush, Stephen G.. — 3:e pocketbok. - Piscataway, NJ: Rutgers University Press, 2001. - S. 40-41. - ISBN 978-0-8135-2908-0 . Arkiverad 12 december 2021 på Wayback Machine
↑ Astronomia nova Aitiologitis, seu Physica Coelestis tradita Commentariis de Motibus stellae Martis ex observationibus GV Tychnonis. Prag 1609.
↑ Johannes Kepler, Harmonices Mundi [Världens harmoni] (Linz, (Österrike): Johann Planck, 1619), bok 5, kapitel 3, sid. 189.

Se även

Litteratur

Keplers lagar // Encyclopedic Dictionary of a Young Astronomer / komp. N.P. Erpylev . - 2:a uppl. - M . : Pedagogy, 1986. - S. 121 -122. — 336 sid.
Smorodinsky Ya. A. Planeter rör sig i ellipser // Kvant . - 1979. - Nr 12 . - S. 13-19 .
Trefil, J. Keplers lagar : [ arch. 28 mars 2016 ] // Elements. - Från boken. Trefil J. Vetenskapens natur. Universums 200 lagar. (Geleos, 2007.) = Vetenskapens natur. (2003) = James Trefil. Cassels naturlagar: En A–Ö av lagar och principer som styr hur vårt universum fungerar. (2002).

Ordböcker och uppslagsverk	Stor dansk Stor katalanska stor kines Stor norsk Stor ryss runt världen Britannica (online) Britannica (online) Britannica (online) Britannica (online) Universalis
I bibliografiska kataloger	BNF : 12445155q GND : 4365820-9 J9U : 987007537148305171 LCCN : sh94003544 SUDOC : 033600619

Himmelsk mekanik

Lagar och uppgifter	Newtons lagar Tyngdlagen Keplers lagar Två kroppsproblem Tre kroppsproblem Gravitationsproblem med N-kroppar Bertrands problem Keplers ekvation
Himmelssfär	Himmelskt koordinatsystem galaktisk horisontell ekvatorial ekliptika Internationellt himmelsk koordinatsystem Sfäriskt koordinatsystem världsaxeln Himmelska ekvatorn rätt uppstigning deklination Ekliptika Dagjämning Solstånd grundplan
Orbitparametrar _	Kepleriska element i omloppsbanan excentricitet halvstor axel betyda anomali stigande nod longitud periapsis argument Apocenter och periapsis Orbital hastighet Orbit nod Epok
Rörelse av himlakroppar	Solens och planeternas rörelse i himmelssfären Efemerid Planetkonfigurationer konfrontation förening kvadratur förlängning parad av planeter Förmörkelse solförmörkelse månförmörkelse saros Metonisk cykel Beläggning Genomgång klimax siderisk period synodisk period Rotationsperiod orbital resonans Equinox Prelude Närmande librering Tyngdkraftens omfattning Kozai effekt Yarkovsky effekt Dzhanibekov-effekt

Astrodynamik

Rymdfärd	rymdhastighet första (cirkulär) andra (parabolisk) tredje fjärde Tsiolkovskys formel Tyngdkraftsmanöver Hohmanns bana Metod för att oskulera element Tidvattenacceleration Orbital lutning förändring Interplanetära transportnät Dockning Lagrange poäng Pionjäreffekt
SC -banor	geostationär bana Heliocentrisk bana geosynkron bana geocentrisk bana geoöverföringsbana Låg jordbana polär bana Bana "Tundra" Solsynkron bana Orbit "Lightning" Oskulerande bana

Astronomis historia
forntida period	Babylon Forntida Egypten Gamla Kina Indien Inkafolket Maya Azteker australiska aboriginer Antikens Grekland
Medeltiden	Indien Islamiska östern Medeltida Europa Kosmologi i judendomen
Bildandet av teoretisk astronomi	Heliocentriska systemet i världen Keplers lagar
1600-talet	Tyngdlagen
1700-talet	Edmund Halley William Herschel
1800-talet	Upptäckten av Neptunus
1900-talet	Hubble-teleskop

Johannes Kepler
Vetenskapliga landvinningar	Keplers hypotes Keplers lagar Kepleriska element i omloppsbanan Kepler triangel Keplers ekvation Kepler-Poinsot kropp Supernova Kepler
Publikationer	Mysterium Cosmographicum (1596) Astronomia nova (1609) Epitome Astronomiae Copernicanae (1617–21) Harmonices Mundi (1619) Rudolfinbord (1627) somnium (1634)
En familj	Katharina Kepler (mamma) Jacob Barch (svärson)