En isogonal eller vertextransitiv polytop är en polytop vars alla hörn är likvärdiga. I synnerhet är alla hörn omgivna av samma sorts fasetter i samma (eller omvänd) ordning och med samma vinklar mellan respektive ytor. Termen kan också tillämpas på polygoner eller plattsättningar och så vidare.
Formellt säger vi att det för vilka två hörn som helst finns en polytopsymmetri som mappar den första hörnen isometriskt till den andra. Ett annat sätt att säga samma sak är att en polytops automorfismgrupp är transitiv på sina hörn , eller att hörnen ligger inuti samma symmetribana .
Alla hörn av en finit n - dimensionell isogonal figur finns på en (n-1)-sfär .
Termen isogonal har länge använts i samband med polyedrar. Termen vertex-transitive är en synonym lånad från moderna idéer om symmetrigrupper och grafteori .
Den fyrsidiga roterade kupolen - som inte är isogonal - visar att påståendet "alla hörn ser likadana ut" inte är lika restriktivt som definitionen ovan, som involverar en isometrigrupp som bevarar en polyeder eller plattsättning.
| Isogonala oändligheter |
|---|
| Isogonal rumslig oändlighet |
Alla vanliga polygoner , oändligheter och vanliga stjärnpolygoner är isogonala . Den dubbla siffran för en isogonal polygon är en isotoxal polygon .
Vissa polygoner med ett jämnt antal sidor och oändligheter med omväxlande två sidlängder, såsom en rektangel , är isogonala .
Alla plana isogonala 2n-goner har dihedrisk symmetri (D n , n =2,3,...) med symmetriaxlar genom sidornas mittpunkter.
| D2 _ | D3 _ | D4 _ | D7 _ |
|---|---|---|---|
Isogonala rektanglar och korsade rektanglar har samma vertexarrangemang |
Isogonalt hexagram med 6 identiska hörn och två kantlängder [1] |
Isogonal konvex oktagon med blå och röda radiella symmetriaxlar |
En isogonal "stjärna" quadradecagon med en typ av vertex och två typer av kanter [2] . |
| Deformerad kvadratisk mosaik |
| Deformerad trunkerad fyrkantig mosaik |
En isogonal polyeder (3D) och en 2D-platta har en enda vertexvy. En isogonal polyeder med regelbundna ytor är också en enhetlig polyeder och kan representeras av vertexkonfigurationsnotation , genom att räkna upp ytorna runt varje vertex i sekvens. Geometriskt deformerade varianter av enhetliga polyedrar och plattsättningar kan också specificeras med en vertexkonfiguration.
| D 3d , order 12 | T h , order 24 | O h , order 48 | |
|---|---|---|---|
| 4.4.6 | 3.4.4.4 | 4.6.8 | 3.8.8 |
Deformerat sexkantigt prisma |
Deformerad rhombicuboctahedron |
Något stympad cuboctahedron |
Supertrunkerad kub |
Isogonala 3D-polytoper och 2D-plattor kan klassificeras ytterligare
Definitionerna av isogonala figurer kan utökas till högre dimensionella polytoper och bikakor . I allmänhet är alla enhetliga polyedrar isogonala , såsom enhetliga 4-polytoper och konvexa enhetliga honeycombs .
Den dubbla polytopen för en isogonal polytop är isotopisk , dvs. facett transitiv .
En polytop eller honungskaka sägs vara k-isogonal om dess hörn bildar k transitivitetsklasser. En mer restriktiv term, k-homogen definieras som en k-isogonal figur som endast består av regelbundna polygoner . De kan representeras visuellt av olika färger av enhetlig färg .
Denna trunkerade rombiska dodekaeder är 2-isogonal eftersom den innehåller två vertextransitivitetsklasser. Denna polyeder består av fyrkanter och oblate hexagoner . |
Denna semi-regelbundna plattsättning är också 2-isogonal (och 2-homogen ). Denna mosaik består av regelbundna triangulära och regelbundna sexkantiga ytor. |
2-isogonalt 9/4 enneagram |