Isoperimetriskt problem

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 14 november 2021; kontroller kräver 2 redigeringar .

Isoperimetrisk olikhet är en geometrisk olikhet som relaterar omkretsen av en stängd kurva på ett plan och arean av en sektion av planet som begränsas av denna kurva. Termen används också för olika generaliseringar av denna ojämlikhet.

Isoperimetrisk betyder bokstavligen "att ha samma omkrets ". I synnerhet anger den isoperimetriska ojämlikheten att, givet längden L av en sluten kurva och arean A av det platta området som begränsas av denna kurva,

4\pi A\leqslant L^{2},

och denna ojämlikhet blir en likhet om och bara om kurvan är en cirkel.

Syftet med det isoperimetriska problemet är att hitta figuren för största möjliga yta, vars gräns har en given längd [1] .

Det isoperimetriska problemet har generaliserats på många sätt till andra ojämlikheter mellan egenskaper hos figurer, mängder och grenrör. Det isoperimetriska problemet inkluderar också uppskattningar av kvantiteter av fysiskt ursprung (tröghetsmoment, vridstyvhet hos en elastisk stråle, grundfrekvens hos membranet, elektrostatisk kapacitans, etc.) genom geometriska egenskaper. Till exempel finns det generaliseringar för kurvor på ytor och för domäner i högre dimensionella utrymmen.

Den kanske mest kända fysiska manifestationen av den isoperimetriska 3D-ojämlikheten är formen av en vattendroppe. Droppen får nämligen en generellt rund form. Eftersom mängden vatten i en droppe är fixerad, gör ytspänningen att droppen får en form som minimerar droppens yta, med minsta yta som en sfär.

Historik

I Didos problem , som är nära till innehållet , krävs det att hitta ett område med maximal yta som begränsas av en rät linje och en krökt båge, vars ändar ligger på denna räta linje. Uppgiften är relaterad till den antika legenden om grundandet av Kartago av Dido , syster till kungen av den feniciska staden Tyrus.

Lösningen på det isoperimetriska problemet är en cirkel , och detta var känt redan i antikens Grekland . I sin avhandling "Om isoperimetriska figurer" ( forngrekiska Περὶ ἰσοπεριμέτρων σχημάτων ) löser Zenodorus ( II århundradet f.Kr. ) de isoperimetriska resultaten i rymden och erhåller det partiella planimetriska problemet. Det första matematiskt rigorösa beviset för den isoperimetriska ojämlikheten i rymden erhölls 1884 av Hermann Schwartz . Sedan dess har mycket mer bevis dykt upp.

Isoperimetriskt problem på planet

Det klassiska isoperimetriska problemet går tillbaka till antiken. Problemet kan formuleras enligt följande: Bland alla stängda kurvor i ett plan med en given omkrets, vilken kurva (om någon) maximerar området i regionen som avgränsas av den? Denna fråga kan visas vara likvärdig med följande problem: Av alla slutna kurvor i planet som avgränsar ett område av ett givet område, vilken (om någon) minimerar omkretsen?

Problemet är begreppsmässigt relaterat till principen om minsta åtgärd i fysiken och kan omformuleras enligt denna princip: vilka handlingar inkluderar ett stort område med maximal stödekonomi? 1400-talsfilosofen och vetenskapsmannen, kardinal Nicholas av Cusa , diskuterade rotation , processen där cirklar skapas , som den mest direkta återspeglingen av de processer där universum skapades. Den tyske astronomen och astrologen Johannes Kepler använde den isoperimetriska principen när han diskuterade solsystemets struktur i Universums hemlighet (1596).

Även om cirkeln är en uppenbar lösning på problemet, är det inte en lätt uppgift att bevisa detta. De första framstegen längs bevisets väg gjordes av den schweiziska geometern Jakob Steiner 1838 med en geometrisk metod som senare kallades Steinersymmetriseringen [2] . Steiner visade att om det finns en lösning måste det vara en cirkel. Steiners bevis avslutades senare av några andra matematiker.

Steiner börjar med några geometriska konstruktioner som är lätta att förstå. Till exempel kan det visas att varje sluten kurva som omsluter ett område som inte är helt konvext kan modifieras för att ha en större yta genom att "reflektera" de konkava delarna så att de blir konvexa. Det kan då visas att varje sluten kurva som inte är perfekt symmetrisk kan "lutas" på ett sådant sätt att den omsluter ett större område. Den enda figuren som är helt konvex och symmetrisk är cirkeln, även om detta resonemang inte ger ett rigoröst bevis (se externa referenser).

Isoperimetrisk ojämlikhet

Lösningen av ett isoperimetriskt problem uttrycks vanligtvis som en olikhet som relaterar längden L av en sluten kurva och arean A av planet som begränsas av denna kurva. Den isoperimetriska ojämlikheten säger att

4\pi A\leqslant L^{2},

och att denna ojämlikhet blir en jämlikhet om och bara om kurvan är en cirkel. Faktum är att arean av en cirkel med radien R är π R 2 , och omkretsen är 2π R , så båda sidor av olikheten blir 4π 2 R 2 .

Man kan hitta dussintals bevis för den isoperimetriska ojämlikheten. År 1902 publicerade Hurwitz ett kort bevis med Fourier-serien , som är tillämplig på godtyckliga korrigerbara kurvor (inte nödvändigtvis jämna). Ett elegant direkt bevis baserat på en jämförelse av en slät enkel sluten kurva med en lämplig cirkel gavs av E. Schmidt 1938 . Beviset använder bara kurvlängdsformeln , flatareaformeln från Greens teorem och Cauchy-Bunyakovsky-olikheten .

För en given sluten kurva definieras den isoperimetriska koefficienten som förhållandet mellan arean av en figur och arean av en cirkel med samma omkrets. Det är

Q={\frac {4\pi A}{L^{2}}},

och den isoperimetriska olikheten säger att Q ⩽ 1.

Den isoperimetriska koefficienten för en regelbunden n - gon är

Q_{n}={\frac {\pi }{n\operatörsnamn {tg} {\frac {\pi }{n))))

Isoperimetrisk ojämlikhet på sfären

Låt C vara en enkel sluten kurva på en sfär med radie 1. Beteckna med L längden på kurvan C och med A området för området som begränsas av kurvan C . Den sfäriska isoperimetriska ojämlikheten säger att

L^{2}\geqslant A(4\pi -A),

och denna ojämlikhet blir en likhet om och bara om kurvan är en cirkel. Det finns faktiskt två sätt att mäta arean av en sfärisk region, men ojämlikheten är symmetrisk för valet av komplement.

Denna ojämlikhet upptäcktes av Paul Levy (1919), som generaliserade den till högre dimensioner och mer allmänna ytor .

För fallet med en godtycklig radie R är det känt [3] att

L^{2}\geqslant 4\pi AA^{2}/R^{2}.

Isoperimetrisk ojämlikhet i utrymmen med högre dimensioner

Den isoperimetriska satsen är generaliserad till ytor i det tredimensionella euklidiska rummet . Bland alla enkla slutna ytor med en given yta innehåller sfären regionen med maximal volym . Liknande påståenden gäller i euklidiska rum av vilken dimension som helst.

I allmän form [4] anger den isoperimetriska olikheten att för varje mängd S ⊂ Rn vars stängning har ändligt Lebesgue-mått ,

n\omega _{n}^{1/n}L^{n}({\bar {S)))^{(n-1)/n}\leqslant M_{*}^{n- 1}(\partialS),

där M * n −1 är den ( n − 1)-dimensionella Minkowski-kapaciteten , Ln är det n -dimensionella Lebesgue - måttet och ω n är volymen av enhetskulan i R n . Om gränsen S är likriktbar är Minkowski-kapaciteten lika med det ( n − 1)-dimensionella Hausdorff-måttet .

En isoperimetrisk ojämlikhet i dimension n kan snabbt bevisas med Brunn-Minkowski-ojämlikheten [3] [4] .

Den isoperimetriska ojämlikheten i n -dimensionell rymd är ekvivalent (för tillräckligt jämna domäner) med Sobolev-olikheten i R n med en optimal konstant:

\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}|u|^{\frac {n}{n-1}}\right)^{\frac {n-1}{n }}\leqslant n^{-1}\omega _{n}^{-1/n}\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u|

för alla u ∈ W 1,1 ( Rn ) .

Isoperimetrisk ojämlikhet i måttutrymmen

Det mesta av arbetet med det isoperimetriska problemet görs inom ramen för släta domäner i euklidiska utrymmen , eller för mer allmänna Riemannska grenrör . Det isoperimetriska problemet kan emellertid i huvudsak generaliseras med begreppet Minkowski-kapacitet . Låta vara ett metriskt utrymme med mått : X är ett metriskt utrymme med metriskt d och μ som Borelmåttet på X. Gränsmåttet , eller Minkowski - kapaciteten , för en mätbar delmängd A av X definieras som lim inf : $(X,\,\mu ,\,d)$

\mu ^{+}(A)=\liminf _{\varepsilon \to 0+}{\frac {\mu (A_{\varepsilon })-\mu (A)}{\varepsilon )),

var

{\displaystyle A_{\varepsilon }=\{x\in X\mid d(x,A)\leqslant \varepsilon \))

är en ε-förlängning av mängden A .

Det isoperimetriska problemet i X frågar hur litet det kan vara för en given kvantitet μ( A ). Om X är ett euklidiskt plan med det vanliga avståndet och Lebesgue-måttet , då generaliserar denna fråga det klassiska isoperimetriska problemet till områden i planet vars gränser inte nödvändigtvis är jämna, även om svaret är detsamma. $\mu ^{+}(A)$

Fungera

{\displaystyle I(a)=\inf\{\mu ^{+}(A)\mid \mu (A)=a\))

kallas den isoperimetriska profilen för ett metriskt mätbart utrymme . Isoperimetriska profiler har studerats för Cayley-grafer av diskreta grupper och speciella klasser av Riemannska grenrör (där domäner A med vanliga gränser vanligtvis betraktas). $(X,\,\mu ,\,d)$

Isoperimetrisk olikhet för grafer

I grafteorin är isoperimetriska ojämlikheter i centrum för studiet av expanderare , glesa grafer som har stark anslutning. Konstruktionen av expanders har gett upphov till forskning inom ren och tillämpad matematik med tillämpningar inom beräkningskomplexitetsteori , utformningen av robusta datornätverk och teorin om korrigerande koder [5] .

Isoperimetriska olikheter för grafer relaterar storleken på delmängder av hörn till storleken på gränserna för dessa delmängder, vilket vanligtvis förstås som antalet kanter som lämnar delmängden eller antalet angränsande hörn. För en graf och ett tal finns det två isoperimetriska standardparametrar för grafen [6] . $G$ $k$

Edge isoperimetrisk parameter:

\Phi _{E}(G,k)=\min _{S\subseteq V}{\big \{}|E(S,{\överlinje {S)))|:|S|=k {\big \))).

Vertex isoperimetrisk parameter:

\Phi _{V}(G,k)=\min _{S\subseteq V}{\big \{}|\Gamma (S)\setminus S|:|S|=k{\big \ }}.

Här betecknar uppsättningen av kanter som lämnar , och betecknar uppsättningen av hörn som har grannar i . Det isoperimetriska problemet är att förstå hur parametrarna och beter sig i graffamiljer. $E(S,{\overline {S)))$ $S$ $\Gamma (S)$ $S$ $\Phi _{E}$ $\Phi _{V}$

Exempel: Isoperimetrisk olikhet för hyperkuber

$d$ -dimensionell hyperkub är en graf vars hörn är booleska vektorer med längd , det vill säga en uppsättning av . Två sådana vektorer är förbundna med en kant om de skiljer sig åt i en enda position, det vill säga Hamming-avståndet mellan dem är exakt ett. ${\displaystyle Q_{d))$ $d$ ${\displaystyle \{0,1\}^{d))$ ${\displaystyle Q_{d))$

Nedan finns två isoperimetriska olikheter för den booleska hyperkuben [7] .

Isoperimetrisk olikhet för kanter

Den isoperimetriska olikheten för kanterna på en hyperkub lyder: . $\Phi _{E}(Q_{d},k)\geqslant k(d-\log _{2}k)$

Isoperimetrisk olikhet för hörn

Harpers teorem [8] säger att Hamming-kulor har den minsta vertexgränsen bland alla uppsättningar av en given storlek. Hammingbollar är set som innehåller alla punkter med Hamming-vikten som inte överstiger för något heltal . Det följer av satsen att vilken mängd som helst med tillfredsställer [9] $r$ $r$ $S\subseteq V$ $|S|\geqslant \sum _{i=0}^{r}{\binom {n}{i))$ $|S\cup \Gamma (S)|\geqslant \sum _{i=0}^{r+1}{\binom {n}{i)).$

I det speciella fallet när storleken på mängden har formen för något heltal , följer det av ovanstående att den exakta vertex isoperimetriska parametern är [5] . $k=|S|$ $k={\binom {d}{0}}+{\binom {d}{1}}+\dots +{\binom {d}{r}}$ $r$ $\Phi _{V}(Q_{d},k)={\binom {d}{r+1}}$

Isoperimetrisk olikhet för trianglar

Den isoperimetriska olikheten för trianglar i termer av omkrets p och area T anger att [10]

p^{2}\geqslant 12{\sqrt {3}}\cdot T,

med likhet i fallet med en vanlig triangel .

Anteckningar

↑ Blåsjö, 2005 , sid. 526-566.
↑ Steiner, 1838 , sid. 281-296.
↑ 12 Osserman , 1978 .
↑ 1 2 Federer, 1987 .
↑ 1 2 Hoory, Linial, Widgerson, 2006 .
↑ Definitioner 4.2 och 4.3 i Hoory, Linial, Widgerson, 2006 .
↑ Se Bollobás, 1986 och avsnitt 4 i Hoory, Linial, Widgerson, 2006 .
↑ Se Calabro, 2004 eller Bollobás, 1986 .
↑ Leader, 1991 .
↑ Chakerian, 1979 .

Litteratur

Viktor Blasjö. Evolutionen av det isoperimetriska problemet (engelska) // Amer. Matematik. En gång i månaden. - 2005. - Vol. 112 .
Blaschke , Leichtweiss. Elementare Differentialgeometrie (tyska) . - 5:a, fullständigt reviderad av K. Leichtweiß. - New York Heidelberg Berlin: Springer-Verlag , 1973. - Bd. 1. - (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften). — ISBN 0-387-05889-3 .
Blaschke . Cirkel och boll . - M . : Vetenskap. — 1967.
Bela Bollobas. Kombinatorik: uppsättningssystem, hypergrafer, familjer av vektorer och kombinatorisk sannolikhet . - Cambridge University Press, 1986. - ISBN 978-0-521-33703-8 .
Burago. Encyclopedia of Mathematics / Michiel Hazewinkel. - Springer, 2001. - ISBN 978-1-55608-010-4 .
Chris Calabro. Harpers sats . – 2004.
Luca Capogna, Donatella Danielli, Scott Pauls, Jeremy Tyson. En introduktion till Heisenberg-gruppen och det sub-riemannska isoperimetriska problemet . - Birkhäuser Verlag , 2007. - ISBN 3-7643-8132-9 .
GD Chakerian. Matematiska plommon (engelska) / R. Honsberger. — Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979.
T. Bonnesen, W. Fenchel. Teori om konvexa kroppar. - 2002. - (Matematikstudentens bibliotek).
Protasov V. Yu Maxima och minima i geometri . — M. : MTsNMO. — 56 sid. - (Bibliotek "Mathematical Education", nummer 31).
G. Federer. Geometrisk måttteori. — M .: Nauka, 1987.
M. Gromov . Paul Levys isoperimetriskaojämlikhet . - Boston, Massachusetts: Birkhäuser Boston, Inc., 1999. - Vol. 152. - (Framsteg i matematik).
J. Steiner. Einfacher Beweis der isoperimetrischen Hauptsätze (tyska) . - J. reine angew Math.. - 1838. Även samlade arbeten, bd 2, Reimer, Berlin, (1882).
G. Hadwiger. Föreläsningar om volym, yta och isoperimetri. — M .: Nauka, 1966.
Shlomo Hoory, Nathan Linial, Avi Widgerson. Expandergrafer och deras tillämpningar // Bulletin (ny serie) från American Mathematical Society . - 2006. - Vol. 43 , iss. 4 . - doi : 10.1090/S0273-0979-06-01126-8 .
Imre ledare. Proceedings of Symposia in Applied Mathematics . - 1991. - Vol. 44. - S. 57-80.
Robert Osserman. Den isoperimetriska ojämlikheten // Bull . amer. Matematik. Soc.. - 1978. - Vol. 84 , iss. 6 . - P. 1182-1238 . - doi : 10.1090/S0002-9904-1978-14553-4 .