Konform kartläggning
En konform mappning är en kontinuerlig mappning som bevarar vinklarna mellan kurvorna och därav formen på infinitesimala figurer.
Definition
En en-till-en-mappning av en domän D på en domän D * ( Euklidiskt utrymme eller Riemannmanifold ) kallas konform ( lat. conformis - liknande) om, i ett område av någon punkt D , skillnaden för denna transformation är sammansättning av en ortogonal transformation och en homoteti .
Denna term kommer från komplex analys , som ursprungligen endast användes för konforma kartläggningar av planområden.
Relaterade definitioner
- Om orienteringen är bevarad under en konform kartläggning , så talar man om en konform kartläggning av det första slaget ; om det ändras till motsatsen, så talar man om en konform kartläggning av det andra slaget eller en antikonform kartläggning .
- Två mått på ett jämnt grenrör sägs vara konformt ekvivalenta om det finns en jämn funktion så att . I det här fallet kallas funktionen en konform faktor .
![g,{\tilde g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b01d3506848584edd224eaf79c4d190f22074b1b)
![M](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd)
![\psi :M\to \mathbb{R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c04fe3d0b50161df124ad982e873649267bf1a0a)
![{\displaystyle {\tilde {g}}=e^{2\cdot \psi }g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/796d83a2a04fdccd12a919daee6266991255be06)
![{\tilde g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcf709e979316ee494a3f076f7e1d97be44a3f8f)
Egenskaper
- En konform kartläggning bevarar formen av infinitesimala figurer;
- En konform kartläggning bevarar vinklarna mellan kurvorna vid deras skärningspunkter ( vinkelbevarande egenskap ).
- Denna egenskap kan också tas som definitionen av en konform mappning.
- Riemanns teorem : Varje enkelt ansluten öppen domän i planet förutom hela planet tillåter en konform bijektion på enhetsskivan.
- Liouvilles teorem : Varje konform kartläggning av en domän av euklidisk rymd vid kan representeras som en överlagring av ett ändligt antal inversioner .
![\mathbb {R} ^{n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d)
![n\geq 3](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73136e4a27fe39c123d16a7808e76d3162ce42bb)
- Weil-kurvaturen bevaras under en konform mappning, det vill säga om och är konformt ekvivalenta metriska tensorer , då
![{\tilde g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcf709e979316ee494a3f076f7e1d97be44a3f8f)
![g](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77)
![{\tilde W}(X,Y)Z=W(X,Y)Z,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2a1a876c325446ce63d0ce70bba4777e4e8f7be)
var och betecknar Weyl-tensorerna för respektive .
![{\tilde W}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dae50f239be9486a2273ec98c497e983610fab1)
![W](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54a9c4c547f4d6111f81946cad242b18298d70b7)
![{\tilde g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcf709e979316ee494a3f076f7e1d97be44a3f8f)
- För överensstämmande likvärdiga mätvärden
![{\displaystyle {\tilde {g}}=e^{2\psi }{\cdot }g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfaaa80643b883f2384534b1cfe34902ceaea9dc)
- Anslutningar är relaterade med följande formel:
![{\displaystyle {\tilde {\nabla }}_{X}Y=\nabla _{X}Y+(X\psi ){\cdot }Y+(Y\psi){\cdot }Xg(X,Y){ \cdot }\nabla \psi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b425516e08c882185997e457ce1344004339eec)
- Krökningarna är relaterade med följande formel:
![-Hess_{\psi }(X,X)-Hess_{\psi }(Y,Y)-|\nabla \psi |^{2}+(Y\psi )^{2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e395402993d9d13b76a3ce49b00977b045db830)
om a betecknar
funktionens hessian .
![g(X,X)=g(Y,Y)=1,g(X,Y)=0,X\psi =0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84d19363aa1024d6acedc39d2d160d7939fa252d)
![\psi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45e5789e5d9c8f7c79744f43ecaaf8ba42a8553a)
- I det tvådimensionella fallet , så formeln kan skrivas som
![{\displaystyle |\nabla \psi |^{2}=(Y\psi )^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/049a831a6de845d496b4d77a5041155997f848bd)
![{\displaystyle e^{2\cdot \psi }\cdot {\tilde {K}}=K-\triangel _{g}\psi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b511cddbde1b1a32278f3323fe933a3ace2aeb87)
där betecknar
Laplacian med avseende på .
![{\displaystyle \triangle _{g}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47d8e522266da6fd59fc4a4e28c253eaf4621924)
var .
Exempel
Historik
L. Euler , B. Riemann , K. Gauss , A. Poincaré , K. Carathéodory , N. E. Zhukovskii , S. A. Chaplygin , M. A. Lavrentiev var engagerade i studien av konforma kartläggningar .
Applikation
Konform kartläggning används inom kartografi , elektrostatik för att beräkna fördelningen av elektriska fält [1] , kontinuummekanik ( hydro- och aeromekanik , gasdynamik , elasticitetsteori , plasticitetsteori , etc.).
Litteratur
- Aleshkov Yu Z. Föreläsningar om teorin om funktionen av en komplex variabel, St. Petersburg: förlag vid St. Petersburg State University, 1999;
- Ivanov V. I. Konforma kartläggningar och deras tillämpningar (en kort historisk uppsats). // Historisk och matematisk forskning . - M. : Janus-K, 2001. - Nr 41 (6) . — S. 255-266. .
- Carathéodory K. Konform kartläggning. M.-L.: ONTI Statens tekniska och teoretiska förlag, 1934 / Per. från engelska. M.V. Keldysha
- Lavrentiev M.A. Konforma mappningar. M.-L.: Gostekhizdat, 1946. 160 sid.
- Shabat BV Introduktion till komplex analys. — M .: Nauka , 1969 . — 577 sid.
- Yanushauskas AI Tredimensionella analoger av konforma mappningar. Novosibirsk: Nauka, 1982. 173 s., 2650 ex.
- Radygin V. M. , Polyansky I. S. Metoder för konforma kartläggningar av polyedrar i // Vestn. Udmurtsk. universitet Matta. Päls. Dator. Nauki, 27:1 (2017), 60–68.
![\mathbb {R} ^{3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f936ddf584f8f3dd2a0ed08917001b7a404c10b5)
Se även
Länkar
- ↑ Rogowski W. Die elektrische Festigkeit am l ande des Plaltenkondensators. (tyska) // Archiv ftir Elektrotechnik. - 1923. - Bd. 12 . — S. 1-15 . - doi : 10.1007/BF01656573 .