Kubikekvation

En kubisk ekvation är en algebraisk ekvation av tredje graden, vars allmänna form är följande:

ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,\;a\neq 0.

Här är koefficienterna reella eller komplexa tal . $a,b,c,d$

För att analysera och lösa en kubikekvation kan du rita en graf över vänster sida i ett kartesiskt koordinatsystem , den resulterande kurvan kallas en kubikparabel (se figurer).

En allmän kubikekvation kan reduceras till en kanonisk form genom att dividera med och ändra variabeln. Som ett resultat erhålls en förenklad form av ekvationen: $a$ $x=y-{\tfrac {b}{3a}}.$

y^{3}+py+q=0,

var

p={\frac {c}{a}}-{\frac {b^{2}}{3a^{2}}}={\frac {3ac-b^{2}}{3a^{2} }},

q={\frac {d}{a}}-{\frac {bc}{3a^{2}}}+{\frac {2b^{3}}{27a^{3}}}= {\frac {27a^{2}d-9abc+2b^{3}}{27a^{3}}}.

En kubikekvation är lösbar i radikaler , se Cardanos formel .

Historik

Forntida period

Kubikekvationer var kända för de forntida egyptierna, babylonierna, forntida greker, kineser och indianer [1] [2] . Kilskriftstavlor från den gamla babyloniska perioden (XX-XVI århundrade f.Kr.) hittades innehållande tabeller över kub- och kubrötter [3] [4] . Babylonierna kan ha använt dessa tabeller för att lösa kubiska ekvationer, men det finns inga bevis för att de gjorde det [5] .

Kubfördubblingsproblemet använder den enklaste och äldsta av kubikekvationerna , och de gamla egyptierna trodde inte att det fanns en lösning på det [6] . På 400-talet f.Kr. reducerade Hippokrates detta problem till att hitta två medelproportioner mellan ett segment och ett annat dubbelt så stort som det, men kunde inte lösa det med en kompass och rätsida [7] , vilket, som nu är känt, är omöjligt att do.

På 300-talet e.Kr. hittade den antika grekiske matematikern Diophantus heltals- och rationella lösningar för några kubikekvationer med två okända ( Diofantiska ekvationer ) [2] [8] . Man tror att Hippokrates , Menechmus och Arkimedes kom närmare att lösa problemet med att fördubbla kuben med hjälp av koniska sektioner [7] , även om vissa historiker, som Reviel Netz, säger att det inte är känt om grekerna tänkte på kubikekvationer, eller helt enkelt om problem som kan leda till kubikekvationer. Andra, som Thomas Heath , översättare och kommentator av alla bevarade verk av Archimedes , håller inte med, och pekar på bevis för att Arkimedes faktiskt löste kubiska ekvationer genom att korsa två koner [9] .

Numeriska metoder för att lösa kubiska ekvationer förekommer i den kinesiska matematiska texten Mathematics in Nine Books , sammanställd runt 200-talet f.Kr. och kommenterade av den kinesiske matematikern Liu Hui under 300-talet [1] .

På 700-talet under Tangdynastin angav och löste astronomen och matematikern Wang Xiaotong i sin matematiska avhandling, med titeln Jigu Suanjing, 25 kubiska ekvationer av formen , i 23 av vilka , och i två ekvationer [10] . $x^{3}+px^{2}+qx=N$ $p,q\neq 0$ $q=0$

Medeltiden

På 1000-talet gjorde den persiske poeten och matematikern Omar Khayyam (1048-1131) betydande framsteg i teorin om kubiska ekvationer. I sitt tidiga arbete med kubikekvationer upptäckte han att en kubikekvation kunde ha två lösningar (fallet med tre rötter lämnades obemärkt av honom [11] ), och hävdade att ekvationen inte kunde lösas med en kompass och rätlina. Han hittade också en geometrisk lösning [12] [13] . I sitt senare arbete, Treatise on the Demonstration of Problems in Algebra , beskrev han en fullständig klassificering av kubiska ekvationer med deras allmänna geometriska lösningar med hjälp av skärningspunkter mellan koniska sektioner [14] [15] .

På 1100-talet försökte den indiske matematikern Bhaskara II lösa kubikekvationer utan större framgång. Men han gav ett exempel på att lösa en kubikekvation [16] :

x^{3}+12x=6x^{2}+35.

På samma 1100-tal skrev den persiske matematikern Sharaf al-Din Al-Mu'adalat ( Treatise on Equations ), som talar om åtta typer av kubikekvationer med positiva lösningar och fem typer utan positiva lösningar. Han använde vad som senare blev känt som " Ruffini - Horner "-metoden för att numeriskt approximera roten till en kubisk ekvation. Han utvecklade också konceptet med en derivata av en funktion och extrema av en kurva för att lösa kubiska ekvationer som kanske inte har positiva värden [17] . Han förstod vikten av diskriminanten i en kubikekvation för att hitta en algebraisk lösning på några speciella typer av kubikekvationer [18] .

I det medeltida Europa, fram till 1500-talet, fanns det inga framgångar med att lösa kubikekvationer. Leonardo av Pisa, även känd som Fibonacci (1170-1250), kunde hitta positiva lösningar på en kubikekvation med hjälp av babyloniska siffror . Han angav lösningen , som är lika i standardnotation och skiljer sig från den exakta lösningen med endast tre biljondelar. [19] $x^{3}+2x^{2}+10x=20$ $1,22,7,42,33,4,40,$ ${\displaystyle 1+22/60+7/60^{2}+42/60^{3}+33/60^{4}+4/60^{5}+40/60^{6))$

Luca Pacioli skrev i sin avhandling "Summan av aritmetik, geometri, förhållanden och proportioner" (1494) att den allmänna lösningen av kubikekvationer " är lika omöjlig i det nuvarande vetenskapsläget som att kvadrera en cirkel med en kompass och linjal " [ 20] .

Upptäckten av del Ferro-Tartaglia

I början av 1500-talet hittade den italienske matematikern Scipio del Ferro en allmän metod för att lösa en viktig klass av kubiska ekvationer, nämligen formekvationer med icke-negativa n och m . Faktum är att alla kubikekvationer kan reduceras till denna form, om vi tillåter möjligheten för och att vara negativa, men negativa tal vid den tiden ansågs ännu inte vara acceptabla. Del Ferro höll sin upptäckt hemlig tills han berättade för sin elev Antonio Fiore om det före sin död. $x^{3}+mx=n$ $m$ $n$

1535 fick Niccolo Tartaglia två problem i form av kubikekvationer från Zuanne da Coi och meddelade att han kunde lösa dem. Han fick snart en utmaning från Fiore för en matematisk tävling, som efter dess slutförande blev känd. Var och en av dem var tvungna att erbjuda ett visst antal problem till motståndaren att lösa. Det visade sig att alla problem som erhållits av Tartaglia reducerades till kubiska ekvationer av denna typ . Kort före deadline lyckades Tartaglia utveckla en generell metod för att lösa kubiska ekvationer av denna typ (återupptäcka del Ferros metod), samt generalisera den till två andra typer ( och ). Efter det löste han snabbt alla uppgifter som föreslagits honom. Fiore, å andra sidan, fick från Tartaglia problem från olika grenar av matematiken, av vilka många visade sig ligga utanför hans makt; som ett resultat vann Tartaglia tävlingen. $x^{3}+mx=n$ $x^{3}=mx+n$ $x^{3}+n=mx$

Senare försökte Gerolamo Cardano (1501-1576) upprepade gånger övertyga Tartaglia att avslöja hemligheten med att lösa kubiska ekvationer. År 1539 lyckades han: Tartaglia rapporterade sin metod, men under förutsättning att Cardano inte öppnade den för någon förrän Tartaglias egen bok om kubiska ekvationer publicerades, som han arbetade med och var han skulle publicera metoden. Sex år senare publicerade Tartaglia aldrig sin bok, och Cardano, efter att ha lärt sig vid den tiden om Ferros arbete, fann det möjligt att publicera del Ferros metod (med omnämnandet av Tartaglias namn som att han självständigt upptäckt den) i hans bok Ars Magna 1545 . Cardano rättfärdigade sig genom att lova att inte berätta för någon resultatet av Tartaglia, och inte del Ferro. Tartaglia trodde dock att Cardano bröt sitt löfte och skickade honom en utmaning till tävlingen, vilket Cardano inte accepterade. Utmaningen accepterades slutligen av Cardanos elev Lodovico Ferrari (1522-1565), och han visade sig vara vinnaren [21] .

Cardano märkte att Tartaglias metod ibland (nämligen när det finns tre reella rötter) kräver att man tar kvadratroten ur ett negativt tal. Han inkluderade till och med beräkningar med dessa komplexa tal i Ars Magna , men han förstod inte riktigt problemet. Rafael Bombelli studerade detta problem i detalj och anses därför vara upptäckaren av komplexa tal.

François Viète (1540–1603) härledde självständigt en lösning till en kubikekvation med tre reella rötter. Hans lösning baserades på den trigonometriska formeln

(2{\cdot}\cos \phi)^3-3{\cdot}(2{\cdot}\cos \phi)=2{\cdot}\cos(3{\cdot}\phi).

I synnerhet resulterar substitutionen i ekvationen $x=2{\cdot}a{\cdot}\cos\phi$

x^{3}-3{\cdot }a^{2}{\cdot }x=a^{2}\cdot b.

till sinnet

2{\cdot}a{\cdot}\cos (3{\cdot}\phi)= b.

Senare fördjupade René Descartes (1596-1650) Vietas arbete [22] .

Ekvationsrötter

Talet som gör en ekvation till en identitet kallas roten eller lösningen av ekvationen . Det är också roten till ett polynom av tredje graden, som finns på vänster sida av den kanoniska notationen. $x$

Över fältet av komplexa tal , enligt algebras fundamentalsats , kubikekvationen

ax^3 + bx^2 + cx + d = 0

har alltid 3 rötter (med hänsyn till mångfalden). $x_{1},x_{2},x_{3}$

Eftersom varje reellt polynom av udda grad har minst en reell rot, är alla möjliga fall av sammansättningen av rötterna i en kubikekvation begränsade till de tre som beskrivs nedan.

Dessa fall särskiljs med det diskriminerande tecknet :

\Delta =a^{4}{\cdot }(x_{1}-x_{2})^{2}{\cdot }(x_{1}-x_{3})^{2}{ \cdot }(x_{2}-x_{3})^{2}=

=-4{\cdot }b^{3}\cdot d+b^{2}{\cdot }c^{2}-4{\cdot }a{\cdot }c^{3}+ 18{\cdot }a{\cdot }b{\cdot }c{\cdot }d-27{\cdot }a^{2}{\cdot }d^{2}.

Tre fall är möjliga:

Om då ekvationen har tre distinkta reella rötter. $\Delta >0,$
Om då ekvationen har en reell och ett par komplexa konjugerade rötter om ekvationens koefficienter är reella tal och inte nödvändigtvis komplex konjugat annars. $\Delta<0,$
Om då minst två rötter sammanfaller. Detta kan vara när ekvationen har en dubbel reell rot och en annan reell rot som skiljer sig från dem; eller alla tre rötterna sammanfaller och bildar en rot av multiplicitet 3. Resultatanten av kubikekvationen och dess andraderivata hjälper till att separera dessa två fall : polynomet har en rot av multipliciteten 3 om och endast om den indikerade resultanten också är lika med noll . $\Delta =0,$

Enligt Vieta-satsen är kubikekvationens rötter relaterade till koefficienterna genom följande relationer [23] : $x_{1},\,x_{2},\,x_{3}$ $a,\,b,\,c,\,d$

x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{\frac {b}{a}},

x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{1}x_{3}={\frac {c}{a}},

x_{1}\,x_{2}\,x_{3}=-{\frac {d}{a}}.

Genom att dividera dessa förhållanden med varandra kan du få flera förhållanden till:

{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+{\frac {1}{x_{3}}}=-{\frac {c}{ d}},\quad d\neq 0,

{\frac {1}{x_{1}x_{2}}}+{\frac {1}{x_{2}x_{3}}}+{\frac {1}{x_{1} x_{3}}}={\frac {b}{d}},\quad d\neq 0,

{\frac {1}{x_{1}x_{2}x_{3))}=-{\frac {a}{d)),\quad d\neq 0.

Lösningsmetoder

Allmänna exakta lösningsmetoder:

För vissa speciella typer av kubikekvationer finns det speciella metoder för att lösa dem. Se till exempel:

Du kan också använda numeriska metoder för att lösa ekvationer .

Substitution Vieta

Som nämnts ovan kan vilken kubisk ekvation som helst reduceras till formen:

t^{3}+pt+q=0,

Vi gör ett byte känt som Vieta-ersättningen:

t=w-{\frac {p}{3w))

Som ett resultat får vi ekvationen:

w^{3}+q-{\frac {p^{3}}{27w^{3}}}=0.

Multiplicera med , får vi ekvationen för den sjätte graden av , som i själva verket är en andragradsekvation av : ${\displaystyle w^{3))$ $w$ ${\displaystyle w^{3))$

w^{6}+qw^{3}-{\frac {p^{3}}{27}}=0

När vi löser denna ekvation får vi . Om , och är tre kubrötter , så kan rötterna till den ursprungliga ekvationen erhållas med formlerna ${\displaystyle w^{3))$ $w_{1}$ ${\displaystyle w_{2))$ ${\displaystyle w_{3))$ ${\displaystyle w^{3))$

t_{1}=w_{1}-{\frac {p}{3w_{1}}},\quad t_{2}=w_{2}-{\frac {p}{3w_{2}}}\ fyrhjuling

och

\quad t_{3}=w_{3}-{\frac {p}{3w_{3))}.

Omar Khayyams beslut

Som visas i grafen, för att lösa ekvationen för tredje graden , där Omar Khayyam byggde en parabelcirkel , vars diameter är ett segment av den positiva halvaxeln , och en vertikal linje som går genom skärningspunkten mellan parabeln och cirkeln. Lösningen bestäms av längden på det horisontella segmentet från origo till skärningspunkten mellan den vertikala linjen och axeln . $x^{3}+a^{2}x=b$ $b>0,$ $y={\frac {x^{2}}{a)),$ $\left[0,{\frac {b}{a^{2}}}\right]$ $x$ $x$

Ett enkelt modernt konstruktionsbevis: multiplicera med ekvationen och gruppera termerna $x$

{\frac {x^{4}}{a^{2}}}=x\,\left({\frac {b}{a^{2}}}-x\right)\,.

Den vänstra sidan är värdet på parabeln. En cirkels ekvation, sammanfaller med den högra sidan av ekvationen och ger värdet på cirkeln. $y^{2}$ $y^{2}+x\,\left(x-{\frac {b}{a^{2}}}\right)=0,$ $y^{2}$

Se även

Anteckningar

↑ 1 2 John Crossley, Anthony W.-C. Lun. De nio kapitlen om den matematiska konsten: följeslagare och kommentar. - Oxford University Press, 1999. - S. 176. - ISBN 978-0-19-853936-0 .
↑ 12 Van der Waerden . Geometri och algebra av antika civilisationer . - Zürich, 1983. - s. kapitel 4. - ISBN 0-387-12159-5 .
↑ Roger Cooke. Matematikens historia. - John Wiley & Sons, 2012. - P. 63. - ISBN 978-1-118-46029-0 .
↑ Karen Rhea Nemet-Nejat. Dagligt liv i det antika Mesopotamien. - Greenwood Publishing Group, 1998. - P. 306. - ISBN 978-0-313-29497-6 .
↑ Roger Cooke. Klassisk algebra: dess natur, ursprung och användningsområden. - John Wiley & Sons, 2008. - P. 64. - ISBN 978-0-470-27797-3 .
↑ Guilbeau, 1930 säger att "egyptierna trodde att lösningen var omöjlig, men grekerna kom närmare lösningen."
↑ 1 2 Guilbeau, 1930
↑ Thomas L. Heath. Diophantus av Alexandria: A Study in the History of Greek Algebra. - Martino Pub, 2009. - ISBN 978-1578987542 .
↑ Archimedes (översättning av TL Heath). Arkimedes verk. - Rough Draft Printing, 2007. - ISBN 978-1603860512 .
↑ Yoshio Mikami. Matematikens utveckling i Kina och Japan. — 2:a uppl. - New York: Chelsea Publishing Co., 1974. - S. 53-56. - ISBN 978-0-8284-0149-4 .
↑ History of Mathematics, volym I, 1970 , sid. 225.
↑ Verk av Omar Khayyam, Scripta Math. 26 (1963), sid. 323-337
↑ O'Connor och Robertsons Omar Khayyam, MacTutor History of Mathematics-arkivet, University of St Andrews, kan läsas. Detta problem ledde Khayyam till kubikekvationen x 3 + 200 x = 20 x 2 + 2000 , och han fann en positiv rot till denna ekvation som skärningspunkten mellan en likbent hyperbel och en cirkel. En ungefärlig numerisk lösning hittades sedan genom att interpolera trigonometriska tabeller .
↑ JJ O'Connor och E.F. Robertson (1999), Omar Khayyam Arkiverad 1 mars 2012 på Wayback Machine , MacTutor Archives for the History of Mathematics säger , "Khayyam verkar ha varit den första att tänka på den allmänna teorin om kubik. ekvationer."
↑ Guilbeau, 1930 säger, "Omar Al Hay Khorasan runt 1079 gjorde mycket för att utveckla metoder för att lösa algebraiska ekvationer med hjälp av korsande koniska sektioner."
↑ Datta, Singh. Historien om hinduisk matematik. - Delhi, Indien, 2004. - S. 76,. — ISBN 81-86050-86-8 . s. 76, Ekvation av högre grad; Bharattya Kala Prakashan
↑ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Sharaf al-Din al-Muzaffar al-Tusi", MacTutor History of Mathematics-arkivet, University of St Andrews.
↑ JL Berggren. Innovation och tradition i Sharaf al-Din al-Tusis Muadalat // Journal of the American Oriental Society. - 1990. - Vol. 110. - Fråga. 2 . - S. 304-309. - doi : 10.2307/604533 .
↑ RN Knott och Plus-teamet. Livet och antalet Fibonacci // Plus Magazine. — 2013.
↑ Andronov I. K. Matematik för reella och komplexa tal. - Upplysningen, 1975. - S. 91-92. — 158 sid.
↑ Victor Katz. En historia om matematik . - Boston: Addison Wesley, 2004. - s . 220 . — ISBN 9780321016188 .
↑ RWD Nickalls. Viète, Descartes och kubikekvationen // Mathematical Gazette. - Juli 2006. - T. 90 . - S. 203-208.
↑ Bronstein I. N. , Semendyaev K. A. Handbok i matematik. - Ed. 7:a, stereotypt. - M . : Statens förlag för teknisk och teoretisk litteratur, 1967. - S. 139.

Litteratur

Bronstein I. N. , Semendyaev K. A. Handbok i matematik. - Ed. 7:a, stereotypt. - M . : Statens förlag för teknisk och teoretisk litteratur, 1967. - S. 138-139.
Matematikens historia. Från antiken till början av den nya tiden // Mathematics historia / Redigerad av A.P. Yushkevich , i tre volymer. - M. : Nauka, 1970. - T. I. - 352 sid.
Föreläsning 4 i Tabachnikov S.L. Fuks D.B. Matematisk divertissement . - MTSNMO, 2011. - 512 sid. - 2000 exemplar. - ISBN 978-5-94057-731-7 .
Guilbeau, Lucye (1930), The History of the Solution of the Cubic Equation , Mathematics News Letter vol 5 (4): 8–12 , DOI 10.2307/3027812

Länkar

Detaljerad onlinelösning av en kubikekvation

Algebraiska ekvationer
Linjär ekvation Andragradsekvation kubikekvation Ekvation av fjärde graden Ekvation av femte graden Sjätte gradens ekvation Ekvation för sjunde graden