Linjär display

En linjär mappning är en generalisering av en linjär numerisk funktion (mer exakt, en funktion ) till fallet med en mer allmän uppsättning argument och värden. Linjära avbildningar, i motsats till icke-linjära avbildningar, är tillräckligt väl studerade, vilket gör det möjligt att framgångsrikt tillämpa resultaten av den allmänna teorin, eftersom deras egenskaper inte beror på mängdernas natur. $y=kx$

En linjär operator (transformation) är ett specialfall av en linjär avbildning av ett vektorrum in i sig självt. [ett]

Formell definition

En linjär mappning av ett vektorrum över ett fält till ett vektorrum över samma fält ( en linjär operator från till ) är en mappning $V$ $K$ $W$ $K$ $V$ $W$

f\colon V\to W

som uppfyller linjäritetsvillkoret [2]

f(x+y)=f(x)+f(y)

f(\alfa x)=\alfa f(x)

för alla och . $x,y\in V$ $\alfa \i K$

Om och är samma vektorrum, är det inte bara en linjär mappning, utan en linjär transformation . $V$ $W$ $f$

Om bara den första egenskapen är sann, kallas en sådan mappning additiv .

Utrymmet för linjära mappningar

Om vi definierar operationerna addition och multiplikation med en skalär från huvudfältet som $K$

$(f+g)(x)=f(x)+g(x)\quad \forall x\in V$
$(kf)(x)=kf(x)\quad \forall x\in V,\forall k\in K$

då är mängden av alla linjära mappningar från till ett vektorrum, vilket vanligtvis betecknas som $V$ $W$ ${\mathcal {L}}(V,W)$

Avgränsade linjära operatorer. Operatörsnorm

Om vektorrymden och är linjära topologiska utrymmen , det vill säga topologier definieras på dem , med avseende på vilka operationerna för dessa utrymmen är kontinuerliga , då kan begreppet en begränsad operator definieras: en linjär operator kallas bounded om den tar bounded set till bounded ones (i synnerhet alla kontinuerliga operatorer är bounded ). I synnerhet, i normerade utrymmen , är en mängd begränsad om normen för något av dess element är begränsad; därför, i det här fallet, sägs en operator vara begränsad om det finns ett nummer N så att . Det kan visas att, i fallet med normerade utrymmen, är kontinuitet och begränsning av operatörer likvärdiga. Den minsta av konstanterna N som uppfyller ovanstående villkor kallas operatornormen : $V$ $W$ ${\displaystyle \forall x\in V,\|Ax\|_{W}\leqslant N\|x\|_{V))$

$\|A\|=\sup _{{\|x\|\not =0}}{\frac {\|Ax\|}{\|x\|}}=\sup _{{\|x\ |=1}}{\|Ax\|}.$

Införandet av normen för operatorer tillåter oss att betrakta utrymmet för linjära operatorer som ett normerat linjärt utrymme (man kan kontrollera giltigheten av motsvarande axiom för den introducerade normen). Om utrymmet är Banach , är utrymmet för linjära operatorer också Banach. $W$

Omvänd operator

En operator kallas inversen av en linjär operator om följande relation gäller: $A^{{-1}}$ $A$ $A^{{-1}}A=AA^{{-1}}=1$

Inversen av en linjär operator är också en linjär operator. Om är en linjär kontinuerlig operator som mappar ett Banach-rum (eller F-space ) till ett annat, så är den inversa operatorn också en linjär kontinuerlig operator. $A^{{-1}}$ $A$ $A$

Linjär mappningsmatris

En linjär mappningsmatris är en matris som uttrycker en linjär mappning på något sätt . För att erhålla det är det nödvändigt att påverka avbildningen på basvektorerna och skriva in koordinaterna för de erhållna vektorerna (bilder av basvektorerna) i matrisens kolumner.

Visningsmatrisen liknar koordinaterna för en vektor. I det här fallet är åtgärden av avbildning på en vektor ekvivalent med att multiplicera en matris med en kolumn med koordinater för denna vektor på samma grund.

Låt oss välja en grund . Låta vara en godtycklig vektor. Sedan kan det utökas på denna grund: ${\mathbf {e}}_{k}$ $\mathbf {x}$

{\mathbf {x}}=x^{k}{\mathbf {e}}_{k}

var är vektorns koordinater i den valda basen. $x^{k}$ $\mathbf {x}$

Här och nedan antas summering över dumma index .

Låta vara en godtycklig linjär mappning. Vi agerar på båda sidor om den tidigare jämställdheten får vi $\mathbf {A}$

{\mathbf {Ax}}=x^{k}{\mathbf {Ae}}_{k}

Vi utökar också vektorerna i den valda basen, vi får ${\mathbf {Ae}}_{k}$

{\mathbf {Ae}}_{k}=a_{k}^{j}{\mathbf {e}}_{j}

var är den -th koordinaten för den -th vektorn från . $a_{k}^{j}$ $j$ $k$ ${\mathbf {Ae}}_{k}$

Genom att ersätta expansionen med den tidigare formeln får vi

{\mathbf {Ax}}=x^{k}a_{k}^{j}{\mathbf {e}}_{j}=(a_{k}^{j}x^{k}){\ mathbf {e}}_{j}

Uttrycket , omgivet av parentes, är inget annat än en formel för att multiplicera en matris med en kolumn, och därför resulterar matrisen, när den multipliceras med en kolumn , i koordinaterna för vektorn , som uppstod från operatorns verkan på vektorn , som krävdes för att erhållas. $a_{k}^{j}x^{k}$ $a_{k}^{j}$ $x^{k}$ ${\mathbf {Ax}}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf {x}$

Kommentar: Om vi byter ett par kolumner eller rader i den resulterande matrisen kommer vi generellt sett att få en annan matris som motsvarar samma uppsättning grundläggande element. Ordningen på grundelementen antas med andra ord vara strikt ordnad. ${\mathbf {e}}_{k}$

Transformationsexempel

Betrakta, som ett exempel, en 2×2-matris av följande form

{\mathbf A}={\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}\,

kan ses som transformationsmatrisen av en kvadratisk enhet till ett parallellogram med hörn , , , och . Parallellogrammet som visas i figuren till höger erhålls genom att multiplicera matrisen A med varje kolumnvektor och . Dessa vektorer motsvarar hörnen på enhetskvadraten. $(0, 0)$ $(a,b)$ $(a+c,b+d)$ $(c,d)$ ${\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix)),{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix)),{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix))$ ${\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}$

Följande tabell ger exempel på 2 × 2 matriser över reella tal med motsvarande R 2 linjära transformationer . Den blå färgen indikerar det ursprungliga koordinatnätet, och den gröna är den transformerade. Ursprunget för koordinaterna är markerat med en svart prick. $(0, 0)$

Horisontell förskjutning (m=1,25)	Horisontell reflektion	Kompression [ okänd term ] (r=3/2)	Homoteti (3/2)	Rotation (π/6 R = 30° )
${\begin{bmatrix}1&1.25\\0&1\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}-1&0\\0&1\end{bmatrix))$	${\begin{bmatrix}3/2&0\\0&2/3\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}3/2&0\\0&3/2\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}\cos(\pi /6^{{R)))&-\sin(\pi /6^{{R)))\\\sin(\pi /6^{{R} })&\cos(\pi /6^{{R}})\end{bmatrix}}$

Viktiga specialfall

En linjär form är en linjär mappning för vilken: $W=K$
$f\colon V\to K$
Linjär endomorfism är en linjär mappning för vilken(operator): $V=W$
$f\kolon V\till V$
Identitetsoperatören (identitetsoperatören) är en operatörsom mappar varje element i rummet in i sig självt; normen för en sådan operatör är lika med en (för normerade utrymmen) $x\mapsto x$
Nollmappning är en operator som konverterar varje elementtill nollelementet. $V$ $W$
En projektor är en operatör som tilldelar var och ensin projektion på ett delrum. $x$
Den konjugerade mappningen till en mappningär en mappningpå, given av relationen. $A\in L(V)$ $A^{*}$ $V^*$ $A^*f(x) := f(Ax)$
En självadjoint operatör är en operatör på ett Hilbert-utrymme som sammanfaller med dess adjoint operatör. Ibland kallas sådana operatorer hypermaximal Hermitian .
En hermitisk (eller symmetrisk) operator är en operatordefinierad på ett delrum av ett Hilbert-utrymme så attför alla parfrån definitionsdomänen. För överallt definierade operatörer sammanfaller denna egenskap med självtillhörighet. $A$ $(Ax,y)=(x,Ay)$ $x,y$ $A$
En enhetlig operator är en operator vars definitionsdomän och värdeområde är hela utrymmet som bevarar den skalära produkten; i synnerhet bevarar den enhetliga operatorn normen för vilken vektor som helst. Den enhetliga inversoperatorn är densamma som den adjointerade operatorn; normen för en enhetlig operatör är 1; i fallet med ett reellt fält K kallas enhetsoperatorn ortogonal . $(Axe,Ay)=(x,y)$ $\|Ax\|={\sqrt {(Ax,Ax)}}={\sqrt {(x,x)}}=\|x\|$ $A^{{-1}}=A^{*}$

Relaterade begrepp

Kärnan i en linjär mappningär den delmängdsom mappas till noll: $f\colon V\to W$ $V$ ${\mbox{Ker}}\,f=\{x\in V\mid f(x)=0\}$

Kärnan i en linjär mappning bildar ett delrum i ett linjärt utrymme .

V

Följande delmängd kallas bilden av en linjär mappning : $f$ $W$ ${\mbox{Im}}\,f=\{f(x)\in W\mid x\in V\}$

Bilden av en linjär mappning bildar ett delrum i ett linjärt utrymme .

W

Bilden av en delmängd [3] med avseende på den linjära transformationen A kallas mängden . $M\delmängd V$ $AM=\{Ax:x\in M\}$

En avbildning från en direkt produkt av linjära utrymmen och till ett linjärt utrymme sägs vara bilinjär om den är linjär i båda sina argument. En direkt produktmappning av mer linjära utrymmen kallas multilinjär om den är linjär i alla sina argument. $f\colon V\times U\to W$ $V$ $W$ $U$ $f\colon A_{1}\times \dots \times A_{n}\to B$
En operator kallas linjär inhomogen (eller affin ) om den har formen ${\tilde L}$ ${\tilde L}=L+v$

där är en linjär operator och är en vektor.

L

v

Låt . Ett delrum sägs vara invariant under en linjär mappning om [4] . $A:V till V$ $M\delmängd V$ $\forall x\in M,Ax\in M$

Kriterium för invarians. Låta vara ett delrum som bryts ner till en direkt summa : . Då är det invariant under en linjär mappning om och endast om , där är en projektion på delrummet .

M\delmängd X

X

X=M\plus N

M

A

P_{M}AP_{M}=AP_{M}

P_{M}

M

Faktor-operatörer [5] . Låt vara en linjär operator och låt vara någon delrumsinvariant under denna operator. Vi bildar ett kvotutrymme av delutrymmet . Då är en kvotoperator en operator som agerar enligt regeln: , där är en klass från kvotutrymmet som innehåller . $A:V till V$ $M$ $V/\,{\overset {M}{\sim }}$ $M$ $A^+$ $V/\,{\overset {M}{\sim }}$ $\forall x^{+}\in V/\,{\overset {M}{\sim )),A^{+}x^{+}=[Ax]$ $[Yxa]$ $Yxa$
En bakåtgående dubbel mappning ges mellan dubbla utrymmen .

Exempel

Exempel på linjära homogena operatorer:

differentieringsoperator: ; $L\{x(\cdot )\}=y(t)={\frac {dx(t)}{dt))$
integrationsoperatör: ; $y(t)=\int \limits _{0}^{t}\!x(\tau )\,d\tau$
operator för multiplikation med en viss funktion ; $\varphi (t)\kolon y(t)=\varphi (t)x(t)$
integrationsoperatör med en given "vikt" $\varphi (t)\colon y(t)=\int \limits _{0}^{t}\!x(\tau ){\varphi}(\tau )\,d\tau$
operator för att ta funktionsvärdet vid en specifik punkt : [6] ; $f$ $x_{0}$ $L\{f\}=f(x_{0})$
vektor-matris multiplikationsoperator: ; $b=Ax$
vektorrotationsoperatör .

Exempel på linjära icke-homogena operatorer:

Alla affina transformationer ;
$y(t)={\frac {dx(t)}{dt}}+\varphi (t)$ ;
$y(t)=\int \limits _{0}^{t}\!x(\tau )\,d\tau +\varphi _{1}(t)$ ;
$y(t)=\varphi _{1}(t)x(t)+\varphi _{2}(t)$ ;

där , , är väldefinierade funktioner och är en funktion som transformerats av operatören. $\varphi (t)$ $\varphi _{1}(t)$ $\varphi _{2}(t)$ $x(t)$

Anteckningar

↑ E.B. Vinberg. Algebrakurs. - MTSNMO, 2013. - S. 234. - 590 sid. — ISBN 978-5-4439-0209-8 , BBC 22.14.
↑ Shilov, 1961 , sid. 203.
↑ M behöver inte vara ett delrum.
↑ Eller: . $AM\delmängd M$
↑ Används även stavningsfaktoroperatorer .
↑ Kallas ibland till som $\int \limits _{{-\infty }}^{{+\infty }}\!f(x){\delta }(x-x_{0})\,dx$

Se även

Litteratur

Shilov G.E. Matematisk analys. Specialkurs. — M .: Nauka, 1961. — 436 sid.