Matematisk formulering av allmän relativitetsteori

Den här artikeln diskuterar den matematiska grunden för allmän relativitetsteori .

Startpositioner

Vår intuitiva uppfattning säger oss att rum-tid är regelbunden och kontinuerlig, det vill säga den har inga "hål". Matematiskt betyder dessa egenskaper att rum-tid kommer att modelleras av ett jämnt 4-dimensionellt differentierbart grenrör , det vill säga ett 4-dimensionellt utrymme för vilket grannskapet för varje punkt lokalt liknar ett fyrdimensionellt euklidiskt utrymme . Jämnhet betyder här tillräcklig differentierbarhet, utan att specificera dess grad. $M_4$

Eftersom dessutom lagarna för den speciella relativitetsteorin är uppfyllda med god noggrannhet , kan en sådan mångfald förses med en Lorentzisk metrisk , det vill säga en icke-degenererad metrisk tensor med signatur (eller motsvarande ). Innebörden av detta avslöjas i nästa avsnitt. $\{-,+,+,+\}$ $\{+,-,-,-\}$

Geometri för rum-tid

OBS. Den här artikeln följer de klassiska teckenkonventionerna för Misner, Thorne och Wheeler [1]

Den här artikeln antar också Einstein-konventionen för summering över upprepade index.

Metrisk tensor

En differentierbar manifold [2] M, utrustad med en Lorentzian metrisk tensor g , är alltså en Lorentzian manifold , som utgör ett specialfall av en pseudo-Riemannian manifold (definitionen av "Lorentzians" kommer att specificeras längre fram i texten; se Lorentzians metriska avsnitt nedan ).

Låt oss ta något koordinatsystem i närheten av punkten och låt oss vara en lokal bas i tangentrymden till grenröret vid punkten . Tangentvektorn kommer då att skrivas som en linjär kombination av basvektorer: $x^{\mu}$ $P$ ${\mathbf e}_{\mu}(x)$ $T_xM$ $M$ $x\i M$ $\mathbf w \in T_xM$

\mathbf{w} \ = \w^{\mu} \ \mathbf{e}_{\mu}.

I detta fall kallas kvantiteterna kontravarianta komponenter av vektorn w . Den metriska tensorn är då en symmetrisk bilinjär form : $\w^{\mu}$ $\mathbf g$

\mathbf g \ = \ g_{\mu\nu}(x)\ dx^{\mu}\ \otimes \ dx^{\nu},

där betecknar dualen med avseende på basen i det cotangenta utrymmet , det vill säga linjära former på , så att: $dx^{\mu}$ ${\mathbf e}_{\mu}(x)$ $T_x^*M$ $T_{x}M$

dx^{\nu} ({\mathbf e}_{\mu}) \ =\ \delta_{\mu}^{\nu}.

Vidare kommer vi att anta att komponenterna i den metriska tensorn förändras kontinuerligt i rum-tid [3] . $g_{\mu\nu}(x)$

Den metriska tensorn kan alltså representeras av en verklig 4x4 symmetrisk matris :

g_{\mu\nu} \ = \ g_{\nu\mu}.

I allmänhet har vilken verklig 4x4-matris som helst a priori 4 x 4 = 16 oberoende element. Symmetrivillkoret minskar detta antal till 10: i själva verket finns det 4 diagonala element, till vilka vi måste lägga till (16 - 4) / 2 = 6 off-diagonala element. Tensorn har alltså endast 10 oberoende komponenter. $g_{\mu \nu }$

Punkt produkt

Den metriska tensorn definierar för varje punkt i grenröret en pseudo - skalär produkt ("pseudo-" i den meningen att det inte finns någon positiv definititet hos den associerade kvadratiska formen (kvadraten på en vektor; se Lorentzisk metrik) i den pseudo-euklidiska rymd som tangerar grenröret vid punkten . Om och är två vektorer skrivs deras punktprodukt som: $x \i M$ $M^{}$ $x$ $T_{x}M$ $\mathbf u$ ${\mathbf v}$ $T_{x}M$

\mathbf u \cdot \mathbf v \ = \ \mathbf g (\mathbf u, \mathbf v) \ = \ g_{\mu \nu} \ u^{\mu } \ v^{\nu}

I synnerhet, med två basvektorer, får vi komponenterna:

g_{\mu \nu} \ = \ \mathbf g ({\mathbf e}_{\mu}, {\mathbf e}_{\nu}) \ = \ {\mathbf e}_{\mu} \ cdot {\mathbf e}_{\nu}

Notera: om kvantiteterna anger de kontravarianta komponenterna i vektorn w , så kan vi också definiera dess kovarianta komponenter som: $w^{\mu}$

w_{\mu} \ = \ \mathbf w \ \cdot \mathbf e_{\mu}.

Elementärt avstånd - intervall

Betrakta den elementära förskjutningsvektorn mellan en punkt och en oändligt nära punkt: . Den invarianta infinitesimala normen för denna vektor kommer att vara ett reellt tal, betecknat med , kallat kvadraten av intervallet, och lika med: $d\mathbf P \ = \ \epsilon^{\mu} \mathbf e_{\mu}$ $P^{}$ $| \epsilon^{\mu} | \ll 1$ $ds^2$

ds^2 \ = \ g_{\mu\nu}(x)\ \epsilon^{\mu} \\epsilon^{\nu}

Om vi betecknar komponenterna i den elementära förskjutningsvektorn "på ett fysiskt sätt" kommer den infinitesimala kvadraten på längden (intervallet) att skrivas formellt som: $\epsilon^{\mu} = dx^{\mu}$

ds^2 \ = \ g_{\mu\nu}(x) \ dx^{\mu} \ dx^{\nu}

Observera : i denna formel, såväl som ytterligare, finns ett reellt tal, som tolkas fysiskt som en "oändlig ändring" av koordinaten , och inte som en differentialform! $dx^{\mu}$ $x^{{\mu }}$

Lorentz-metrisk

Låt oss nu förfina uttrycket "Lorentziansk" (mer exakt lokalt Lorentzian), vilket betyder att den metriska tensorn har signaturen (1,3) och lokalt sammanfaller i första ordningen med den Lorentziska metriken i den speciella relativitetsteorin . Ekvivalensprincipen säger att det är möjligt att "radera" gravitationsfältet lokalt genom att välja ett lokalt tröghetskoordinatsystem. Ur en matematisk synvinkel är ett sådant val en omformulering av den välkända satsen om möjligheten att reducera en kvadratisk form till huvudaxlarna.

I ett sådant lokalt tröghetskoordinatsystem kan invarianten i en punkt skrivas som: $X^{\alpha}$ $ds^2$ $P$

ds^2 \ = \ \eta_{\alpha \beta } \ dX^{\alpha } \ d X^{\beta } \ = \ - \ c^2 \, dT^2 \, + \, dX^2 \, + \, dY^2 \, + \, dZ^2,

var är Minkowskis rum-tid metriska , och i ett litet område av denna punkt $\eta_{\alpha\beta}$

ds^2 \ = \ (\eta_{\alpha \beta}+\delta_{\alpha \beta}) \ dX^{\alpha } \ d X^{\beta },

där har ett minimum av den andra ordningen av litenhet i avvikelser av koordinater från punkten , det vill säga . Genom att acceptera konventionen om Misner, Thorne och Wheeler-tecken har vi [1] : $\delta_{\alpha\beta}$ $P$ $\delta_{\alpha\beta}|_{P}=0,\ \left.\frac{\partial \delta_{\alpha\beta)){\partial X^\alpha}\right|_{P}= 0$

\eta_{\alpha \beta} \ = \ \mathrm{diag} \ ( -1, \, +1, \, +1, \, +1 \, )

Följande konventionella konventioner används nedan:

Grekiska index sträcker sig från 0 till 3. De motsvarar kvantiteter i rum-tid.
Latinska index varierar från 1 till 3. De motsvarar de rumsliga komponenterna av kvantiteter i rum-tid.

Till exempel skulle en 4-positionsvektor skrivas i ett lokalt tröghetskoordinatsystem som:

X^{\alpha} \ = \ \left( \begin{matrix} X^{0} \\ X^{i} \end{matrix} \right) \ = \ \left( \begin{matrix} X^ {0} \\ X^{1} \\ X^{2} \\ X^{3} \end{matrix} \right) \ = \ \left( \begin{matrix} c \, T \\ X \\ Y \\ Z \end{matris} \right).

Observera : i själva verket bildar ändliga, inte oändliga, koordinatsteg inte en vektor. En vektor av dem uppstår endast i ett homogent utrymme med noll krökning och trivial topologi.

Den lorentziska karaktären hos grenröret säkerställer alltså att tangenterna till varje punkt i det pseudo-euklidiska rummet kommer att ha pseudo - skalära produkter ("pseudo-" i den meningen att det inte finns någon positiv definititet av den associerade kvadratiska formen (kvadratvektor) ) med tre strikt positiva egenvärden (motsvarande rymden) och ett strikt negativt egenvärde (motsvarande tiden). I synnerhet är det elementära intervallet för "rätt tid", som skiljer två på varandra följande händelser, alltid: $M^{}$ $M^{}$

d \tau^2 \ = \ - \frac{ds^2}{c^2} \ > \ 0.

Allmänna begrepp om affin anslutning och kovariantderivata

I allmänhet är en affin anslutning en operator som associerar ett vektorfält från en tangentpenna med fältet för endomorfismer för denna penna. Om är tangentvektorn vid punkten , betecknas den vanligtvis $\nabla$ $\mathbf V$ $TM$ $\nabla \mathbf V$ ${\mathbf w} \in T_xM$ $x \i M$

\nabla_{\mathbf w} \ \mathbf V(x) \ = \ \nabla \mathbf V(x,\mathbf w).

Det sägs vara den " samvarianta derivatan " av vektorn i riktningen . Antag dessutom att det uppfyller tilläggsvillkoret: för vilken funktion f som helst vi har $\nabla_{\mathbf w} \mathbf V$ $\mathbf V$ ${\mathbf w}$ $\nabla \mathbf V$

\nabla_{\mathbf w} (f \mathbf V) \ = \ f \ \nabla_{\mathbf w} \mathbf V \ + \ df(\mathbf w) \ \mathbf V

Den kovarianta derivatan uppfyller följande två linearitetsegenskaper:

linjäritet i w , det vill säga oavsett fälten för vektorerna w och u och de reella talen a och b , har vi:

\nabla_{(a \mathbf w + b \mathbf u)} \mathbf V \ = \ a \ \nabla_{\mathbf w} \mathbf V \ + \ b \ \nabla_{\mathbf u} \mathbf V.

linearitet i V , det vill säga oavsett fälten för vektorerna X och Y och de reella talen a och b , har vi:

\nabla_{\mathbf w} (a\mathbf X + b\mathbf Y) \ = \ a \ \nabla_{\mathbf w} \mathbf X \ + b \ \nabla_{\mathbf w} \mathbf Y.

När den kovarianta derivatan väl har definierats för vektorfält, kan den utökas till tensorfält med hjälp av Leibniz- regeln : om och är vilka två tensorer som helst, då per definition: ${\mathbf T}$ $\mathbf S$

\nabla_{\mathbf w}(\mathbf T \otimes \mathbf S) \ = \ (\nabla_{\mathbf w} \mathbf T )\otimes \mathbf S \ + \ \mathbf T \otimes(\nabla_{\ mathbf w} \mathbf S)

Den kovarianta derivatan av tensorfältet längs vektorn w är återigen ett tensorfält av samma typ.

Anslutning associerad med måttet

Det kan bevisas att anslutningen som är associerad med metriken, Levi-Civita [1] -förbindelsen, är den enda anslutningen som, förutom de tidigare villkoren, dessutom säkerställer att för alla vektorfält X, Y, Z från TM

$\nabla_{\mathbf X}(\mathbf g(\mathbf Y,\mathbf Z)) \ = \ \mathbf g(\nabla_{\mathbf X} \mathbf Y,\mathbf Z) \ + \ \mathbf g( \mathbf Y,\nabla_{\mathbf X} \mathbf Z)$ ( metricitet - nonmetricity tensor är lika med noll).

$\nabla_{\mathbf X} \mathbf Y \ - \ \nabla_{\mathbf Y} \mathbf X \ = \ [\mathbf X, \mathbf Y]$ , där är Lie-kommutatorn för X och Y (ingen torsion — torsionstensorn är lika med noll). $[\mathbf X,\mathbf Y]$

Beskrivning i koordinater

Den kovarianta derivatan av en vektor är en vektor, och därför kan den uttryckas som en linjär kombination av alla basvektorer:

\nabla_{\mathbf w} V \ = \ \left[ \, \nabla_{\mathbf w} V \, \right]^\rho \ \mathbf e_\rho \ = \ \Gamma^\rho \ \mathbf e_ \rho,

var är vektorkomponenterna för den kovarianta derivatan i riktningen (denna komponent beror på den valda vektorn w ). $\Gamma^\rho$ $\mathbf e_\rho$

För att beskriva den kovarianta derivatan räcker det att beskriva den för var och en av basvektorerna längs riktningen . Låt oss sedan definiera Christoffel-symboler (eller helt enkelt Christoffel-symboler) beroende på 3 index [4] $\mathbf e_\nu$ $\mathbf e_\mu$ $\Gamma^\rho {}_{\mu \nu},$

\nabla_{\mu} {\mathbf e}_{\nu} \ = \ \nabla_{{\mathbf e}_{\mu)) {\mathbf e}_{\nu} \ = \ \Gamma^\ rho {}_{\mu \nu} \ {\mathbf e}_\rho

Levi-Civita-förbindelsen präglas helt av sina Christoffel-symboler. Enligt den allmänna formeln

\nabla_{\mathbf w} (f \mathbf V) \ = \ f \ \nabla_{\mathbf w} \mathbf V \ + \ df(\mathbf w) \ \mathbf V

för vektor V :

\nabla_{\mu} \mathbf V \ = \ \nabla_{\mu} (V^\nu \mathbf e_\nu) \ = \ V^\nu \ (\nabla_{\mu} \mathbf e_\nu ) \ + \ dV^\nu(\mathbf e_\mu) \ \mathbf e_\nu.

När vi vet det får vi: $dV^\nu (\mathbf e_\mu) = \partial_\mu V^\nu$

\nabla_{\mu} \mathbf V \ = \ V^\nu \ \Gamma^\rho {}_{\mu \nu} \ {\mathbf e}_\rho \ + \ \partial_\mu V^\ nu \ \mathbf e_\nu

Den första termen i denna formel beskriver "deformationen" av koordinatsystemet med avseende på den kovarianta derivatan, och den andra - förändringar i koordinaterna för vektorn V . När vi summerar dumma index kan vi skriva om denna relation i formuläret

\nabla_{\mu} \mathbf V \ = \ \left[ \, V^\rho \ \Gamma^\nu {}_{\mu \rho} \ + \ \partial_\mu V^\nu \, \ höger] \ \mathbf e_\nu

Från detta får vi en viktig formel för komponenterna:

\nabla_{\mu} \mathbf{V}^{\nu} \ = \ \left[ \, \nabla_{\mu} \mathbf{V} \, \right]^{\nu} \ = \ \partial_ {\mu} V^{\nu} \ + \ \Gamma_{~ \mu \rho}^{\nu} \ V^{\rho }

Med hjälp av Leibniz-formeln kan det demonstreras på samma sätt att:

\nabla_{\mu} \mathbf{V}_{\nu} \ = \ \partial_{\mu} V_{\nu} \ - \ \Gamma_{~ \mu \nu}^{\rho } \ V_{ \rho}.

För att explicit beräkna dessa komponenter måste uttrycken för Christoffel-symbolerna definieras från metriken. De är lätta att få genom att skriva följande villkor:

\nabla_{\mu} \ \mathbf{g}_{\nu \rho} \ = \ 0.

Beräkningen av denna kovariansderivata leder till

\Gamma^\mu {}_{\rho \sigma} \ = \ \frac{1}{2} \ g^{\mu \nu} \ \left(\partial_\sigma g_{\nu \rho } \ + \ \partial_\rho g_{\nu \sigma} \ - \ \partial_\nu g_{\rho \sigma} \right),

var är komponenterna i den "inversa" metriska tensorn som definieras av ekvationerna $g^{\mu \nu}\$

g^{\mu \nu} \ g_{\nu \rho} \ = \ \delta^\mu{}_\rho

Christoffel-symbolerna är "symmetriska" [5] med avseende på abonnemang: $\Gamma^\mu {}_{\rho \sigma}=\Gamma^\mu {}_{\sigma \rho}.\$

Obs: ibland definieras även följande symboler:

\Gamma_{\nu \rho \sigma} \ = \ \frac{1}{2} \ \left(\partial_\sigma g_{\nu \rho } \ + \ \partial_\rho g_{\nu \sigma} \ - \ \partial_\nu g_{\rho \sigma} \right)

mottagen som:

\Gamma^\mu {}_{\rho \sigma} \ = \ g^{\mu \nu} \ \Gamma_{\nu \rho \sigma}

Riemann curvature tensor

Riemanns krökningstensor R är en fjärde valenstensor definierad för alla vektorfält X, Y, Z från M som

\mathbf R(\mathbf X,\mathbf Y)\mathbf Z \ = \ \nabla_{\mathbf X} \, (\nabla_{\mathbf Y} \mathbf Z) \ - \ \nabla_{\mathbf Y} \ , (\nabla_{\mathbf X} \mathbf Z) \ - \ \nabla_{[\mathbf X,\mathbf Y]} \mathbf Z\; .

Dess komponenter uttrycks uttryckligen från metriska koefficienter:

R_{ \mu \nu \rho \sigma } \ = \ \frac{1}{2}\left( \partial^2_{ \nu \rho } g_{ \mu \sigma } \ + \ \partial^2_{ \mu \sigma } g_{ \nu \rho } \ - \ \partial^2_{ \nu \sigma } g_{ \mu \rho } \ - \ \partial^2_{ \mu \rho } g_{ \nu \ sigma } \right) \ +

+ \ g_{ \lambda \tau } \left( \Gamma^\lambda {}_{ \nu \rho } \Gamma^\tau {}_{ \mu \sigma } \ - \ \Gamma^\lambda {} _{ \nu \sigma } \Gamma^\tau {}_{ \mu \rho } \right)\;.

Symmetrier för denna tensor:

R_{ \mu \nu \rho \sigma } \ = \ R_{ \rho \sigma \mu \nu }\;,

R_{ \mu \nu \rho \sigma } \ = \ - \ R_{ \nu \mu \rho \sigma } \ = \ - \ R_{\mu \nu \sigma \rho }\;.

Den uppfyller även följande relation:

R_{ \mu \nu \rho \sigma } \ + \ R_{ \mu \sigma \nu \rho } \ + \ R_{ \mu \rho \sigma \nu } \ = \ 0.

Ricci curvature tensor

Ricci - tensorn är valenstensor 2 definierad av faltningen av Riemann-krökningstensorn

R_{\mu \nu} \ = \ g^{\rho \sigma } \ R_{\rho \mu \sigma \nu} \ = \ R^\sigma_{~ \mu \sigma \nu} \; .

Dess komponenter uttryckligen via Christoffel-symboler:

R_{\mu \nu} \ = \ \partial_{\rho } \Gamma^{\rho } {}_{\mu \nu} \ - \ \partial_{\nu} \Gamma^{\rho } {} _{\mu \rho } \ + \ \Gamma^{\rho } {}_{\mu \nu} \Gamma^{\sigma } {}_{\rho \sigma} \ - \ \Gamma^{\ sigma} {}_{\mu \rho}\Gamma^{\rho} {}_{\nu \sigma} \; .

Denna tensor är symmetrisk: . $R_{\mu\nu} \ = \ R_{\nu \mu} \$

Skalär krökning

Den skalära krökningen är en invariant som definieras av faltningen av Ricci-tensorn med metriken

R \ = \ g^{\mu \nu} \ R_{\mu \nu} \ = \ R^\nu_{~ \nu}.

Einsteins ekvationer

Gravitationsfältsekvationerna, som kallas Einsteins ekvationer , skrivs som

R_{\mu \nu} \ - \ \frac{1}{2} \, g_{\mu \nu} \, R \ + \ \Lambda \ g_{\mu \nu} \ = \ \frac{8 \pi G}{c^4} \ T_{\mu \nu},

eller så

G_{\mu \nu }\ +\ \Lambda \ g_{\mu \nu }\ =\ {\frac {8\pi G}{c^{4))}\ T_{\mu \nu },

där är den kosmologiska konstanten , är ljusets hastighet i vakuum, är gravitationskonstanten , som också förekommer i Newtons universella gravitationslag, är Einstein-tensoren och är energimomentum-tensoren . $\lambda$ $c$ $G$ $G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }\ -\ {\frac {1}{2))\,g_{\mu \nu }\,R$ $T_{\mu\nu}$

En symmetrisk tensor har bara 10 oberoende komponenter, Einsteins tensorekvation i ett givet koordinatsystem motsvarar ett system med 10 skalära ekvationer. Detta system med 10 kopplade icke-linjära partiella differentialekvationer är i de flesta fall mycket svårt att lära sig. $g_{\mu\nu}$

Tensorn för energimomentum

Energimoment-tensorn kan skrivas som en riktig 4x4 symmetrisk matris:

T_{\mu \nu} \ = \ \left( \begin{matrix} T_{00} & T_{01} & T_{02} & T_{03} \\ T_{10} & T_{11} & T_ {12} & T_{13} \\ T_{20} & T_{21} & T_{22} & T_{23} \\ T_{30} & T_{31} & T_{32} & T_{33} \end{matris}\right).

Den innehåller följande fysiska kvantiteter:

T 00 - volymetrisk energitäthet . Det måste vara positivt .
T 10 , T 20 , T 30 är densiteterna för momentumkomponenterna .
T 01 , T 02 , T 03 är komponenter i energiflödet .
3 x 3 submatris av rent rumsliga komponenter:

T_{ik} \ = \ \left( \begin{matrix} T_{11} & T_{12} & T_{13} \\ T_{21} & T_{22} & T_{23} \\ T_{31 } & T_{32} & T_{33} \end{matris} \right)

är matrisen av impulsflöden . Inom vätskemekanik motsvarar de diagonala komponenterna tryck och de andra komponenterna tangentiella krafter (påkänningar eller, i den gamla terminologin, spänningar) orsakade av viskositet .

För en vätska i vila, minskar energimomentum-tensorn till en diagonal matris , där är massdensiteten och är det hydrostatiska trycket. ${\rm {diag}}({{\rho }c^{2}},~p,~p,~p)$ ${\rho}$ $sid$

Anteckningar

↑ 1 2 C. W. Misner, Kip S. Thorne & John A. Wheeler; Gravitation , Freeman & Co. (San Francisco-1973), ISBN 0-7167-0344-0 . eller C. MIZNER, C. THORNE, J. WHEELER. ALLVAR. volym I-III. M. Mir, 1977.
↑ I det följande skriver vi inte index 4 överallt, vilket anger dimensionen på grenröret "M".
↑ Mer exakt måste de vara minst klass C².
↑ Varning, Christoffel-symboler är inte tensorer.
↑ Ordet "symmetrisk" står inom citattecken, eftersom dessa index, på grund av sitt ursprung, inte är tensor.

Teorier om gravitation

Standardteorier om gravitation

Alternativa teorier om gravitation

Kvantteorier om gravitation

Enade fältteorier

klassisk fysik

Newtons gravitationsteori

Relativistisk fysik

Allmän relativitetsteori
- Matematisk formulering
- Hamiltonsk formulering

Principer

Klassisk

Relativistisk

Flerdimensionell

Strängar

Övrig

Den exceptionellt enkla teorin om allting