Metod för odelbara

Metoden för odelbara är namnet på en uppsättning tekniker som uppstod i slutet av 1500-talet, utformade för att beräkna arean av geometriska former eller volymer av geometriska kroppar [1] . Tanken med metoden för plana figurer var att dela upp dessa figurer i nollbreddsfigurer ("odelbara", vanligtvis är de parallella segment), som sedan "monteras" utan att ändra deras längd och bildar en annan figur, arean av som redan är känt (se .exempel nedan). Beräkningen av volymen av rumsliga kroppar är liknande, bara de är inte uppdelade i segment, utan i "odelbara" platta figurer [2] . Formaliseringen av dessa tekniker avgjorde till stor del den framtida uppkomsten och utvecklingen av integralkalkyl .

Metoden med odelbara fick det mest kompletta uttrycket och teoretiska motiveringen i den italienska matematikern Bonaventura Cavalieris arbete "Geometrin av odelbar kontinuerlig, härledd på ett nytt sätt" ( latin Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota , 1635) [3] [ 4]

Exempel och kritik

Den odelbara metoden i sig är en uppsättning tekniker utan en tydlig beskrivning. Därför är det bättre att börja med följande exempel, redan känt för Archimedes .

Beräkna arean av en cirkel med radie . Formeln för en cirkels omkrets anses vara känd. $R$ $L=2\pi R$

Låt oss bryta cirkeln i oändligt små ringar. Tänk också på en triangel med baslängd och höjd , som vi också delar med sektioner parallella med basen. Varje ring med radie och längd kan associeras med en av sektionerna i en triangel med samma längd . Sedan, enligt Cavalieris princip , är arean av en cirkel och en triangel lika. Arean av en triangel hittas som produkten av längden på dess bas och halva höjden: $L$ $R$ $r$ $L=2\pi r$ $L$

2\pi R\cdot {\frac {R}{2}}=\pi R^{2}.

Cavalieris paradox

Matematiker påpekade omedelbart möjligheten av en felaktig tillämpning av principen om odelbara; ett sådant exempel gav Cavalieri själv i ett brev till Torricelli (se figur). Trianglar ABD och BCD består av vertikala odelbara, och varje odelbar i den vänstra triangeln (EF) kan vara en-till-en associerad med en odelbar av samma längd (GH) av den högra triangeln. Härifrån kan man enligt grundprincipen dra en felaktig slutsats att trianglarnas area är lika [5] . Cavalieri gav dock ingen tydlig regel för att undvika misstag.

Cavalieris princip

Cavalieri formulerade i sin avhandling The Geometry of Indivisible Continuouss Derived in a New Way de teoretiska grunderna för metoden för odelbara enligt följande:

Figurerna är relaterade till varandra, liksom alla deras linjer, tagna enligt vilken regelbunden [bas av paralleller], och kropparna - liksom alla deras plan, tagna enligt vilken regelbundenhet som helst.

Om två kroppar har samma höjd, och om kropparnas sektioner, på samma avstånd och parallella med det plan som de vilar på, alltid förblir i ett givet förhållande, kommer kropparnas volymer att förbli i detta förhållande.

I modern form:

För flyg Arean av två figurer med ackord lika långa av alla deras gemensamma sekanter parallella med den räta linjen på vars ena sida de ligger är lika. För utrymme Volymerna av två kroppar ovanför ett plan, med lika tvärsnitt av alla gemensamma sekantplan parallella med det givna planet, är lika.

Cavalieris princip var ett av de första stegen mot integralkalkyl . I synnerhet, med hjälp av den infinitesimala notationen , visade Cavalieri ett teorem som motsvarar den moderna formeln

\int _{0}^{a}x^{n}\,dx={\frac {a^{n+1}}{n+1}}.

Moderna teorem som generaliserar Cavalieris princip är koareaformeln och Tonelli-Fubini-satsen .

Exempel

Tanken på att hitta volymer i detta exempel går tillbaka till Archimedes .

Beräkna volymen av en halvklot med radien r . Formlerna för arean av en cirkel, såväl som för volymen av en kon och en cylinder , antas vara kända.

Låt oss rita delar av halvklotet med plan parallella med dess bas. Halvklotet kommer att brytas upp i oändligt små cirklar (se figuren). På en höjd h , kommer tvärsnittsarean att vara lika med , eller (enligt Pythagoras sats ) . $\pi (r')^{2}$ $\pi (r^{2}-h^{2})$

Betrakta sedan en cirkulär cylinder med höjden r , med basradien också r , från vilken en kon skärs med spetsen nedåt. Låt oss skära den här kroppen parallellt med basen. I ett avsnitt på höjden h får du en ring med area . Observera att detta område är detsamma som för halvklotet. $\pi r^{2}-\pi h^{2}$

Därför, enligt Cavalieris princip, är volymerna av båda kropparna lika. Kroppens volym som visas till höger i fig. 3 är lika med

\pi \cdot r^{2}\cdot r-{\frac {1}{3}}\cdot \pi \cdot r^{2}\cdot r={\frac {2}{3} }\pi \cdot r^{3}.

Slutsats: volymen av en hel boll (två halvklot) är $2\cdot {\frac {2}{3}}\pi r^{3}={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.$

Historik

Redan Arkimedes , i sina studier, skar den rumsliga kroppen med parallella plan och representerade denna kropp som ett slags album, föreningen av sådana sektioner ( infinitesimal nedbrytning , det vill säga nedbrytning till oändligt små element). Här är atomisters inflytande med sina "odelbara" möjlig. Emellertid ansåg Archimedes det nödvändigt att återbevisa de resultat som erhållits med metoden för odelbara medel genom en strikt utmattningsmetod . Europeiska matematiker, från och med 1500-talet , använde också utmattningsmetoden för att utföra kvadraturer (beräkna ytor) och bestämma tyngdpunkter .

Kepler gav nytt liv åt metoden med odelbara i sin bok New Stereometry of Wine Barrels (1600-talet). [6] I The New Astronomy använder Kepler ofta begreppet "odelbara", inklusive när han formulerar sina tre lagar för planetrörelse; till exempel, istället för area, nämnde han "summan av radievektorer".

Denna metod kan ha utvecklats oberoende av Roberval . [7]

Den mest framstående och inflytelserika representanten för "det odelbaras geometri" var Cavalieri . I sin presentation tog Keplers oändliga representationer formen av allmänna beräkningstekniker. Den nya metodens kraft och relativa enkelhet gjorde ett extremt starkt intryck på matematiker. Hela generationer, från Wallis till Leibniz , studerade med Cavalieri. Torricelli kallade metoden för odelbara för "kungsvägen" i geometri.

Galileo var bekant med metoden med odelbara, men han såg tydligt dess svaga och farliga sidor. I korrespondens och nyare verk reflekterar han över oändlighetens väsen, visar att en oändlig mängd kan vara lika med sin del, som har ett mindre mått, så att resonemang om odelbara är dåligt underbyggda. Ändå använde han själv faktiskt odelbara i studiet av likformigt accelererad rörelse [8] .

Vallis , efter att ha bekantat sig med Cavalieris metod från Torricellis bok, bestämde sig för att algebraisera den. Istället för en geometrisk omvandling av sektioner bygger han in talserien "Aritmetic of the Infinite" ( 1656 ), som vi nu kallar integralsummor , och hittar dessa summor.

Oavsett Wallis och 30 år tidigare, beräknades dessa integraler av Fermat och Roberval . I en postumt publicerad essä tillämpade Fermat mästerligt tekniker som integration genom delar och förändring av variabler, vilket gjorde det möjligt för honom att beräkna många komplexa integraler av rationella bråkfunktioner och polynom med bråkpotenser.

Fermats memoarer har blivit allmänt kända, eftersom de nästan helt täcker resultaten av Cavalieri, men metoderna som presenteras är mycket mer kompakta och begripliga. Dessutom visade sig integralsummor vara tillämpliga på problem som var otillgängliga för Cavalieri-metoden - till exempel uträtning ( mätning av en båge ) av en kurva. Roberval utforskade spiralen av Archimedes , Fermat och Torricelli på 1640-talet - paraboler och spiraler av högre ordning. Gilles Roberval (1634-1636) och Christopher Wren ( 1658 ) rätade ut cykloiden .

Med tanke på sårbarheten för kritik av dessa upptäckter som erhölls med metoden för odelbara, noterade många matematiker (Fermat, Pascal , Barrow , etc.) i sina arbeten att alla deras resultat lätt kunde tillrättavisas med de gamlas strikta metoder. Barrow gjorde dock ett ironiskt tillägg till denna reservation: "men varför?". [9]

Descartes använde oändliga metoder i sin Optik, men i allmänhet försökte han att inte fördjupa sig i detta område. I avhandlingen "Geometri" uttryckte han åsikten att rätning av algebraiska linjer är omöjlig. Detta uttalande motbevisades bara tjugo år senare: på 1650-talet gav fyra matematiker på en gång, inklusive Fermat och Huygens , en rättelse av den halvkubiska parabeln . Descartes själv har dock framgångsrikt rätat ut, dock inte en algebraisk, utan en transcendental kurva - en logaritmisk spiral , vars båglängd, räknat från polen, är proportionell mot radievektorn för bågens ände - en egenskap som Torricelli också kände till. .

Wallis idé - algebraiseringen av den infinitesimala metoden - nådde sin högsta utveckling efter upptäckten av matematisk analys av Newton och Leibniz . I sina "Principer" gav Newton den första dispositionen av den allmänna teorin om gränser (11 lemman), medan han inte postulerar en analog till Cavalieri-principen, utan rigoröst bevisar den (en följd av Lemma IV):

Om i allmänhet två kvantiteter av något slag är uppdelade i samma antal delar, och, med en oändlig ökning av deras antal och en minskning av var och en av dem, deras förhållande till varandra, det vill säga den första till första, andra till andra, etc., förblir konstant, då kommer kvantiteterna själva att vara i samma förhållande.

Här ersätts de odelbara med variabler vars storlek tenderar mot noll; i det här fallet kan "Cavalieri-paradoxen" inte längre uppstå, eftersom förhållandet mellan kvantiteterna jämfört med paradoxen (bredden av små fyrkanter i partitionen) inte är lika med enhet.

Efter skapandet av analysen var metoden med odelbara delar endast av historiskt intresse. Men till och med mer än ett sekel före Cauchys arbete var motiveringen för analysen av infinitesimals lika föga övertygande som metoden för odelbara.

Se även

Tonelli-Fubini-satsen

Anteckningar

↑ Odelbar metod // Matematisk uppslagsverk (i 5 volymer) . - M . : Soviet Encyclopedia , 1982. - T. 3.
↑ Cavalieri-principen // Kazakstan. Nationalencyklopedin . - Almaty: Kazakiska uppslagsverk , 2005. - T. III. — ISBN 9965-9746-4-0 . (ryska) (CC BY SA 3.0)
↑ History of Mathematics, volym II, 1970 , sid. 175.
↑ Bonaventura Cavalieri (italiensk matematiker) Arkiverad 11 juni 2015 på Wayback Machine - Encyclopedia Britannica.
↑ Läsare om matematikens historia, 1977 , sid. 51.
↑ Kepler, Johannes . Ny stereometri av vinfat Arkiverad 8 februari 2013 på Wayback Machine . - M.-L.: GTTI, 1935. - 360 sid.
↑ Florian Cajori , A History of Mathematics, 5:e upplagan, 1991, sid. 162.
↑ Läsare om matematikens historia, 1977 .
↑ Bourbaki N. Arkitektur av matematik. Essäer om matematikens historia. - M . : Utländsk litteratur, 1963. - S. 177.

Litteratur

Lurie S. Ya. Teorin om infinitesimals bland forntida atomister. — M. — L .: Ed. USSR:s vetenskapsakademi, 1935.
1600-talets matematik // Matematikens historia / Redigerad av A.P. Yushkevich , i tre volymer. - M . : Nauka, 1970. - T. II.
Läsare om matematikens historia. Matematisk analys. Sannolikhetsteori / Ed. A. P. Jusjkevitj . - M . : Utbildning, 1977. - 224 sid.

Ordböcker och uppslagsverk	Stor dansk Stor ryss Britannica (online)

Kalkyl för infinitesimals och infinitesimals
Berättelse	Leibniz notation Integral tecken Metod för odelbara
Relaterade destinationer	Anpassad analys
Formalismer	Differentiell
Begrepp	Standarddel av ett nummer Övergångsprincip Hyperinteger Inkrementsats Monad Intern uppsättning Field of Levi-Civita Hyperfinite set Kontinuitetens lag overflow Mikrokontinuitet Transcendent homogenitetslag
Forskare	Arkimedes Leibniz Robinson Odla Cauchy Euler
Litteratur	Analys av infinitesimals Elementära beräkningar Analyskurs