Julia set

I holomorf dynamik är Julia-uppsättningen av en rationell karta uppsättningen av punkter vars grannskapsdynamik i en viss mening är instabil med avseende på små störningar i den ursprungliga positionen. Om f är ett polynom, betraktar man också en fylld Julia-mängd , d.v.s. en uppsättning punkter som inte tenderar till oändlighet. Den vanliga Julia-uppsättningen är då dess gräns . $J(f)$ ${\displaystyle f:\mathbb {C} P^{1}\to \mathbb {C} P^{1))$

Fatou-setet är komplementet till Julia-setet. Med andra ord är dynamiken i iterationen av f inte regelbunden, men inte kaotisk. $F(f)$ $F(f)$ $J(f)$

Kompletterar Picards stora teorem om "beteendet av en analytisk funktion i en grannskap av en väsentligen singulär punkt".

Dessa uppsättningar är uppkallade efter de franska matematikerna Gaston Julia och Pierre Fatou , som initierade studiet av holomorfisk dynamik i början av 1900-talet.

Definitioner

Låt vara en rationell kartläggning. Fatou-mängden består av punkter z så att, i begränsningen på en tillräckligt liten grannskap av z , sekvensen av iterationer ${\displaystyle f:\mathbb {C} P^{1}\to \mathbb {C} P^{1))$

(f^n)_{n\in\mathbb{N}}

bildar en normal familj i Montel bemärkelse . Julia-setet är komplementet till Fatou-setet.

Denna definition tillåter följande ekvivalenta omformulering: Fatou-uppsättningen är uppsättningen av de punkter vars banor är Lyapunov-stabila . (Omformuleringens ekvivalens är inte uppenbar, men den följer av Montels sats .)

Egenskaper

Som följer av definitionerna är Julia-uppsättningen alltid stängd , medan Fatou- uppsättningen alltid är öppen .
Julia-mängden för en mappning av grad större än 1 är alltid icke-tom (annars kan man välja en enhetligt konvergent följd av iterationer.) När det gäller Fatou-mängden är ett liknande påstående inte sant: det finns exempel där Julia-mängden uppsättningen visar sig vara hela Riemann-sfären . Ett sådant exempel kan konstrueras genom att ta dubbleringskartan på torus (vars dynamik är kaotisk överallt) och passera den genom Weierstrass-funktionen . $z\mapsto 2z (mod\, \Z[i])$ $\mathbb {C} /\mathbb {Z} [i]$ $\wp$ ${\displaystyle \wp :\mathbb {C} /\mathbb {Z} [i]\to \mathbb {C} P^{1))$
Julia-uppsättningen är stängningen av föreningen av alla frånstötande periodiska banor.
Fatou- och Julia-uppsättningarna är båda helt oföränderliga under verkan av f , det vill säga de sammanfaller med både sin egen bild och hela förbilden:

\ f^{-1}(J(f)) = f(J(f)) = J(f),

\f^{-1}(F(f)) = f(F(f)) = F(f).

Julia-uppsättningen J(F) är gränsen för den (totala) attraktionsbassängen för någon attraktiv eller superattraktiv bana; ett specialfall av detta är påståendet att J(F) är gränsen för en fylld Julia-mängd (eftersom för en polynomavbildning är oändlighet en superattraktiv fixpunkt, och en fylld Julia-mängd är komplementet till dess attraktionsbassäng). Dessutom, genom att ta en polynomavbildning med tre olika attraherande fixpunkter, får vi ett exempel på tre öppna (naturligt frånkopplade) uppsättningar på ett plan med en gemensam gräns.
Om en öppen uppsättning skär Julia-mängden, då, med utgångspunkt från något tillräckligt stort n , sammanfaller bilden med hela Julia-mängden . Med andra ord, iterationer sträcker ett godtyckligt litet område i Julia-uppsättningen över hela Julia-uppsättningen. $U$ $f^n(U\cap J) = f^n(U) \cap J$ $J$
Eftersom sträckningen som anges ovan oftast sker ganska snabbt, är holomorfa mappningar konforma och Julia-uppsättningen är invariant under dynamik - det visar sig ha en fraktal struktur : dess små delar liknar stora.
Om Julia-uppsättningen skiljer sig från hela Riemann-sfären , har den inga inre punkter .
För alla punkter z i Riemann-sfären, utom kanske två, är uppsättningen av gränspunkter för sekvensen av kompletta förbilder Julia-uppsättningen. Den här egenskapen används i datoralgoritmer för att konstruera Julia-uppsättningen. $f^{-n}(z)$
Sullivans sats säger att varje ansluten komponent i en Fatou-mängd är preperiodisk. I sin tur säger satsen om klassificeringen av de periodiska komponenterna i Fatou-mängden att de periodiska komponenterna är av en av fyra typer: poolen av attraktion för en attraherande eller superattraktiv fast eller periodisk punkt, Fatou-loben för en parabolisk punkt, Siegelskivan och Hermannringen .

Relaterade begrepp

En kvadratisk mappning genom att ändra koordinaterna reduceras alltid till formen . Det visar sig att Julia-mängden är ansluten om och endast om den kritiska punkten z=0 (eller, motsvarande, dess bild z=c ) inte går till oändlighet. Om iterationerna 0 tenderar till oändlighet, visar sig Julia-mängden (i detta fall sammanfallande med den fyllda Julia-mängden) vara homeomorf till Cantor-mängden och har måttet noll. I det här fallet kallas det för Fatou-damm (trots det förvirrande namnet är det just Julia-uppsättningen - uppsättningen av kaotisk dynamik!). $z\mapsto P_2(z)$ $z\mapsto z^2 +c$

Uppsättningen av parametrar c för vilken Julia-uppsättningen av kvadratisk dynamik är kopplad kallas Mandelbrot-uppsättningen . Den har också en fraktal struktur (och är förmodligen en av de mer kända fraktalerna).

Numerisk konstruktion

Boundary Scan Method (BSM)

Om funktionen f har flera atttraktorer (fasta eller periodiska atttraktorer), är Julia-mängden gränsen för attraktionsbassängen för någon av dem. Den här egenskapen är grunden för Julia-uppsättningens bildbehandlingsalgoritm som kallas boundary scanning method (BSM). Den består av följande. Tänk på ett rutnät med rektangulära pixlar. För att avgöra om en pixel ska målas som tillhörande Julia-uppsättningen, beräknas bilden av vart och ett av dess "hörn" under verkan av ett stort antal iterationer f. Om bilderna är långt ifrån varandra, hör hörnen till bassängerna för olika atttraktorer. Det följer av detta att gränsen mellan poolerna går genom denna pixel, och den målas över. När vi går igenom alla pixlar får vi en bild som approximerar Julia-uppsättningen.

Denna metod kan också användas när det inte finns två atttraktorer, men det finns Siegel-skivor , Ehrman-ringar eller paraboliska bassänger. (Om två nära punkter förblir nära, är deras banor Lyapunov stabila, och en liten stadsdel av dessa punkter tillhör Fatou-regionen; annars finns det punkter i Julia som ligger nära dem.) Samtidigt gör denna metod inte arbete när kartläggningen bara har en attraktion, och nästan hela Riemanns sfär är dess attraktionsbassäng. (Till exempel .) [1] $z\mapsto z^2+i$

Invers iteration beräkningsmetod (IIM)

Julia-uppsättningen är stängningen av föreningen av alla fullständiga inversa bilder av vilken frånstötande fixpunkt som helst. Således, om det finns en effektiv algoritm för att beräkna den inversa avbildningen , och åtminstone en repulsiv fixpunkt är känd, kan man sekventiellt beräkna dess inversa bilder för att konstruera Julia-uppsättningen. Vid varje steg har varje punkt lika många förbilder som potensen av f, så det totala antalet förbilder växer exponentiellt, och att lagra deras koordinater kräver mycket minne. [1] I praktiken används även följande modifiering: vid varje steg väljs en slumpmässig förbild. Samtidigt bör man dock ta hänsyn till att en sådan algoritm kringgår Julia-uppsättningen inte på ett enhetligt sätt: vissa områden kan bara nås på mycket lång (praktiskt taget ouppnåelig) tid, och de kommer inte att visas på den resulterande grafen . $f^{-1}$

Intressanta fakta

Matematiker har bevisat att en godtycklig stängd figur i planet kan approximeras godtyckligt nära Julia-uppsättningen för ett lämpligt polynom. Bland annat, som en demonstration av sin egen teknik, lyckades forskare bygga en ganska bra approximation av silhuetten av en katt. Enligt forskare visar deras exempel tydligt att dynamiken i polynomiska (det vill säga ges av polynom) dynamiska system kan ordnas på det mest olika sätt. De säger att deras exempel kommer att vara användbart i teorin om sådana system [2] .

Galleri

Fylld Julia uppsättning för mappningen f ( z ) = z 2 −1. Axialsymmetri indikerar frånvaron av en imaginär komponent i den fria termen av mappningen f ( z )
Fylld Julia uppsättning för mappning f ( z ) = z 2 +0,28+0,0113 i . De moturs virvlarna indikerar en positiv imaginär komponent i den fria termen av mappningen f ( z )
Fylld Julia satt för f ( z ) = z 5 −0,549653+0,003 i
Fylld Julia uppsättning för f ( z ) = z 5 −0,549653+0,003 i (fragment)
Fylld Julia uppsättning för f ( z ) = cos z . Mitten av bilden är ursprunget för koordinaterna 0+0 i , den horisontella perioden för ornamentet är $\pi$
Fylld Julia satt för f ( z ) = sin z . Om du roterar bilden 90° får du en fylld Julia-uppsättning för f ( z ) = sh z

Länkar

Milnor, J. Holomorfisk dynamik. Inledande föreläsningar. = Dynamik i en komplex variabel. Inledande föreläsningar. - Izhevsk: Forskningscentrum "Regular and Chaotic Dynamics", 2000. - 320 sid. - ISBN 5-93972-006-4 .
Ett enkelt program för att generera Julia-set (Windows, 370 kB)
Mandelbrot och Julia spelar på FractalWorld

Anteckningar

↑ 1 2 D. Saupe. Effektiv beräkning av Julia-uppsättningar och deras fraktala dimension // Physica. - Amsterdam, 1987. - Nummer. 28D . - S. 358-370 . Arkiverad från originalet den 11 juni 2007.
↑ Matematiker uppskattade katten med Julia-uppsättningar . Hämtad 29 september 2012. Arkiverad från originalet 21 januari 2021. (obestämd)

fraktaler
Egenskaper	fraktal dimension Hausdorff dimension Lebesgue dimension rekursion självlikhet
De enklaste fraktalerna	Fern Barnsley Kantor set drakekurva Koch kurva Svamp Menger Sierpinski matta Sierpinski triangel Utrymmesfyllande kurva
konstig attraktion	Multifraktal
L-system	Utrymmesfyllande kurva
Bifurkationsfraktaler	Julia set Lyapunov fraktal Mandelbrot set Newtons pooler
Slumpmässiga fraktaler	Brownsk rörelse brunt träd fraktal yta Perkolationsteori
människor	Georg Kantor Felix Hausdorff Gaston Julia Helge von Koch Paul Levy Alexander Lyapunov Benoit Mandelbrot Lewis Richardson Vaclav Sierpinski
Relaterade ämnen	Hur lång är Storbritanniens kust? » Kustlinjeparadox