Serietecknaren Shura

Schur-multiplikatorn är den andra grupphomologin i gruppen G . Det introducerades av Isai Shur [1] i hans arbete med projektiva representationer $H_{2}(G,\mathbb {Z} )$ .

Exempel och egenskaper

Schur-multiplikatorn för en finit grupp G är en finit Abelisk grupp vars exponent delar ordningen för gruppen G. Om en Sylow p -undergrupp av G är cyklisk för något p , så är ordningen inte delbar med p . I synnerhet, om alla Sylow p -undergrupper av G är cykliska, så är det trivialt. $\operatörsnamn {M} (G)$ $\operatörsnamn {M} (G)$ $\operatörsnamn {M} (G)$

Till exempel är Schur-multiplikatorn för en icke-abelian grupp av ordningen 6 en trivial grupp , eftersom vilken som helst Sylow-undergrupp är cyklisk. Schur-multiplikatorn för en elementär abelisk grupp av ordning 16 är en elementär abelisk grupp av ordning 64, vilket visar att multiplikatorn kan vara strikt större än själva gruppen. Schur-multiplikatorn för en quaternion-grupp är trivial, medan Schur-multiplikatorn för dihedriska 2-grupper är av ordningen 2.

Schur-multiplikatorerna för finita enkla grupper definieras på finita enkla grupper . Att täcka grupper av alternerande och symmetriska grupper har nyligen fått stor uppmärksamhet.

Koppling med projektiva representationer

Det första skälet till att studera multiplikatorer för Schur var klassificeringen av projektiva representationergrupper, och den moderna formuleringen av dess definition är den andrakohomologin av grupper . En projektiv representation är mycket liken grupprepresentation, förutom att istället för en homomorfism till enfullständig linjär grupp,tashomomorfismtill enprojektiv fullständig linjär. Med andra ord är den projektiva representationen representationen modulothe center. $H^{2}(G,\mathbb {C} ^{\times })$ $\operatörsnamn {GL} (n,\mathbb {C} )$ $\operatörsnamn {PGL} (n,\mathbb {C} )$

Schur [1] [2] visade att vilken finit grupp G som helst har åtminstone en finit grupp C associerad med sig , kallad Schur cover , med egenskapen att varje projektiv representation av G kan lyftas till en vanlig representation av C. En Schur-beläggning är också känd som en täckgrupp . Schur-beläggningar av finita enkla grupper är kända och var och en är ett exempel på en kvasisenkel grupp . Schur-täckningen av en perfekt grupp är unikt definierad fram till isomorfism, men Schur-täckningen av en allmän finit grupp definieras endast upp till isoklinism .

Förhållande med centrala tillägg

Studiet av sådana täckande grupper leder naturligt till studiet av centrala och stamförlängningar .

Den centrala förlängningen av grupp G är förlängningen

1\to K\to C\to G\to 1

var är en undergrupp av mitten av gruppen C . $K\leqslant Z(C)$

Stamförlängningen av gruppen G är förlängningen

1\to K\to C\to G\to 1

var är skärningsundergruppen för centrum C och den härledda undergruppen av gruppen C . Detta är mer restriktivt än mitten [3] . $K\leqslant Z(C)\cap C'$

Om gruppen G är ändlig och endast stamförlängningar beaktas, så finns det den största storleken på en sådan grupp C , och för vilken grupp C som helst av denna storlek är undergruppen K isomorf till Schur - multiplikatorn i gruppen G. Om en finit grupp G dessutom är perfekt , då är C unik upp till isomorfism och är själv perfekt. En sådan grupp C kallas ofta universella perfekta centrala förlängningar av gruppen G , eller en täckande grupp (eftersom den är den diskreta analogen till det universella täckande utrymmet i topologi). Om en finit grupp G inte är perfekt, då är grupperna av dess Schur-beläggningar (alla sådana Cs av maximal ordning) endast isokliniska .

Gruppen kallas också mer kortfattat för den universella centrala förlängningen , men observera att det inte finns någon största central förlängning, eftersom den direkta produkten av en grupp G och en abelisk grupp bildar en central förlängning av gruppen G av godtycklig storlek.

Stamförlängningar har den intressanta egenskapen att varje lyft av genereringsuppsättningen i en grupp G är en genererande uppsättning av C . Om en grupp G definieras i termer av en fri grupp F på en uppsättning generatorer och en normal undergrupp R genereras av en uppsättning länkar på generatorerna så att den täckande gruppen själv kan representeras i termer av F , men med en mindre normal undergrupp S , det vill säga . Eftersom relationerna mellan G bestämmer måste elementen i K , när de betraktas som en del av C , hålla . $G\cong F/R$ $C\cong F/S$ $S\leqslant [F,R]$

Faktum är att om G är perfekt, är det allt som krävs: C ≅ [ F , F ]/[ F , R ] och M( G ) ≅ K ≅ R /[ F , R ]. På grund av denna enkelhet behandlar expositioner som de i Aschbachers artikel [4] det perfekta fallet först. Det allmänna fallet för Schur-multiplikatorn är liknande, men hänsynen säkerställer att förlängningen är en stamförlängning genom att begränsa till den genererade undergruppen F : M( G ) ≅ ( R ∩ [ F , F ])/[ F , R ]. Dessa är alla lite nyare resultat av Schur, som också gav några användbara kriterier för att beräkna multiplar mer explicit.

Relation till effektiva representationer

I kombinatorisk gruppteori beskrivs grupper ofta med en gruppuppgift . Ett viktigt ämne inom detta område av matematik är studiet av uppgifter med så få kopplingar som möjligt, såsom Baumslag-Solitaire-grupper med en definierande relation. Dessa grupper är oändliga grupper med två generatorer och en relation, och Schreiers gamla resultat visar att varje uppgift med fler generatorer än relationer ger en oändlig grupp. Då är gränsfallet intressant - när finita grupper har samma antal generatorer och relationer, och i det här fallet säger de att gruppen har noll defekt . För att en grupp ska ha defekt noll måste gruppen ha en trivial Schur-multiplikator, eftersom det minsta antalet Schur-multiplikatorgeneratorer alltid är mindre än eller lika med skillnaden mellan antalet relationer och antalet generatorer, vilket ger en negativ defekt . En effektiv grupp är en grupp där Schur-multiplikatorn kräver att många generatorer [5] .

Ett mycket aktuellt forskningsämne är att hitta effektiva representationer för alla finita enkla grupper med triviala Schur-multiplikatorer. Sådana representationer är trevliga på ett sätt, eftersom de vanligtvis är korta, men svåra att hitta och svåra att arbeta med, eftersom de är dåligt lämpade för standardmetoder som coset-uppräkning .

Förhållande med topologi

Inom topologi kan grupper ofta beskrivas som ändliga gruppuppgifter , och den grundläggande frågan är att beräkna deras fullständiga integralhomologi . I synnerhet spelar den andra homologin en speciell roll och detta ledde till att Heinz Hopf hittade en effektiv metod för att beräkna den. Metoden som beskrivs i Hopfs artikel [6] är också känd som Hopfs integralhomologiformel och denna formel är identisk med Schurformeln för Schurmultiplikatorn för en finit grupp: $H_{n}(G,\mathbb {Z} )$

H_{2}(G,\mathbb {Z} )\cong (R\cap [F,F])/[F,R]

där och F är en fri grupp . Samma formel gäller även när G är en perfekt grupp [7] . $G\cong F/R$

Insikten att dessa formler faktiskt är desamma ledde till att Samuel Eilenberg och Saunders MacLane skapade gruppkohomologin . I sin allmänna mening,

H_{2}(G,\mathbb {Z} )\cong {\bigl (}H^{2}(G,\mathbb {C} ^{\times }){\bigr )}^{* }

där asterisken betyder den algebraiskt dubbla gruppen. Dessutom, när gruppen G är ändlig, finns det en onaturlig isomorfism

{\bigl (}H^{2}(G,\mathbb {C} ^{\times }){\bigr )}^{*}\cong H^{2}(G,\mathbb {C } ^{\ gånger }).

Hopfs formel för har generaliserats till högre dimensioner. För ett tillvägagångssätt och för bibliografin, se Iveret, Grahn och Van der Linden [8] . $H_{2}(G)$

En perfekt grupp är en grupp vars första integralhomologi är noll. En superperfekt grupp är en grupp, de två första integrerade homologigrupperna är noll. Schur-beläggningar av finita perfekta grupper är superperfekta. En acyklisk grupp är en grupp där alla reducerade integralhomologier är noll.

Applikationer

Den andra algebraiska K-gruppen K 2 ( R ) i en kommutativ ring R kan identifieras med den andra homologigruppen H 2 ( E ( R ), Z ) i gruppen E ( R ) av (oändliga) elementära matriser med element från R [9] .

Se även

Quasi-enkel grupp

Millers artikel [10] ger en annan syn på Schur-multiplikatorn som kärnan i morfismen κ: G ∧ G → G genererad av kommutatorkartan.

Anteckningar

↑ 12 Schur , 1904 .
↑ Schur, 1907 .
↑ Rotman, 1994 , sid. 553.
↑ Aschbacher, 2000 , sid. §33.
↑ Johnson och Robertson 1979 , sid. 275–289.
↑ Hopf, 1942 .
↑ Rosenberg, 1994 , sid. Satserna 4.1.3, 4.1.19.
↑ Everaert, Gran, Van der Linden, 2008 , sid. 2231–67.
↑ Rosenberg, 1994 , sid. Följd 4.2.10.
↑ Miller, 1952 .

Litteratur

Michael Aschbacher. Finita gruppteori // 2:a. - Cambridge University Press , 2000. - V. 10 . - ISBN 978-0-521-78145-9 .
Heinz Hopf . Fundamentalgruppe und zweite Bettische Gruppe // Commentarii Mathematici Helvetici. - 1942. - T. 14 . — S. 257–309 . — ISSN 0010-2571 . - doi : 10.1007/BF02565622 .
David Lawrence Johnson, Edmund Frederick Robertson. Finita grupper av brist noll // Homologisk gruppteori / CTC Wall. - Cambridge University Press , 1979. - V. 36. - (London Mathematical Society Lecture Note Series). - ISBN 978-0-521-22729-2 .
Leonid Viktorovich Kuzmin. Schur multiplicator // Encyclopedia of Mathematics / Michiel Hazewinkel. - Springer Science+Business Media BV / Kluwer Academic Publishers, 1994. - ISBN 978-1-55608-010-4 .
Jonathan Rosenberg. Algebraisk K-teori och dess tillämpningar . - Springer-Verlag , 1994. - V. 147. - ( Graduate Texts in Mathematics ). — ISBN 978-0-387-94248-3 .
Joseph J. Rotman. En introduktion till gruppteori. - Springer-Verlag , 1994. - ISBN 978-0-387-94285-8 .
Issai Schur . Über die Darstellung der endlichen Gruppen durch gebrochene lineare Substitutionen. (tyska) // Journal für die reine und angewandte Mathematik . - 1904. - T. 127 . — S. 20–50 . — ISSN 0075-4102 .
Issai Schur . Untersuchungen über die Darstellung der endlichen Gruppen durch gebrochene lineare Substitutionen. (tyska) // Journal für die reine und angewandte Mathematik . - 1907. - T. 132 , nr. 132 . — S. 85–137 . — ISSN 0075-4102 . - doi : 10.1515/crll.1907.132.85 .
Wilberd Van der Kallen. Recension: F. Rudolf Beyl och Jürgen Tappe, Group extensions, representations, and the Schur multiplicator // Bulletin of the American Mathematical Society . - 1984. - T. 10 . — S. 330–3 . - doi : 10.1090/s0273-0979-1984-15273-x .
James Wiegold. Schur-multiplikatorn: ett elementärt tillvägagångssätt // Groups–St. Andrews 1981 (St. Andrews, 1981). - Cambridge University Press , 1982. - V. 71. - S. 137-154. — (London Math. Soc. Lecture Note Ser.).
Claire Miller. Den andra homologin för en grupp // Proc. amer. Matematik. Soc .. - 1952. - V. 3 , nr. 4 . — S. 588–595 . - doi : 10.1090/s0002-9939-1952-0049191-5 .
Dennis RK På jakt efter nya "Homologi"-funktioner som har en nära relation till K-teorin. — Cornell University, 1976.
Brown R., Johnson DL, Robertson EF Vissa beräkningar av icke-abelska tensorprodukter av grupper // J. Algebra. - 1987. - T. 111 . — S. 177–202 . - doi : 10.1016/0021-8693(87)90248-1 .
Ellis GJ, Leonard F. Computing Schur-multiplikatorer och tensorprodukter av finita grupper // Proceedings of the Royal Irish Academy. - 1995. - T. 95A , nr. 2 . — s. 137–147 . — ISSN 0035-8975 . — .
Ellis GJ Schur-multiplikatorn för ett par grupper // Appl. Categ. Struktur.. - 1998. - V. 6 , nr. 3 . — S. 355–371 . - doi : 10.1023/A:1008652316165 .
Bettina Eick, Werner Nickel. Beräknar Schur-multiplikatorn och den icke-abelska tensorkvadraten för en polycyklisk grupp // J. Algebra. - 2008. - T. 320 , nr. 2 . — S. 927–944 . - doi : 10.1016/j.jalgebra.2008.02.041 .
Tomas Everaert, Marino Gran, Tim Van der Linden. Högre Hopf-formler för homologi via Galois-teori // Adv. Math.. - 2008. - V. 217 , nr 5 . — S. 2231–67 . - doi : 10.1016/j.aim.2007.11.001 .