Definitiv integral

En bestämd integral är ett av de grundläggande begreppen inom matematisk analys , en av integraltyperna . En bestämd integral är ett tal som är lika med gränsen för summor av en speciell form ( integralsummor ) . Den geometriskt definierade integralen uttrycker arean av den " krökta trapetsen " som begränsas av grafen för funktionen . [1] När det gäller funktionsanalys är en bestämd integral en additiv monoton funktion som definieras på en uppsättning par, vars första komponent är en integrerbar funktion eller funktionell , och den andra är ett område i uppsättningen av tilldelning av denna funktion (funktionell) [2] .

Definition

Låt funktionen definieras på segmentet . Låt oss dela upp det i delar med flera godtyckliga punkter: . Sedan säger vi att segmentet har partitionerats , och för varje från till väljer vi en godtycklig punkt . $f(x)$ $[a;b]$ $[a;b]$ $a=x_{{0}}<x_{{1}}<x_{{2}}<\ldots <x_{{n}}=b$ $R$ $[a;b].$ $i$ $0$ $n-1$ $\xi _{{i}}\in [x_{{i}};x_{{i+1}}]$

Den bestämda integralen för en funktionpå ett segmentär gränsen för integralsummor eftersom partitionsgraden tenderar till noll, om den existerar oavsett partitionoch val av punkter, dvs. $f(x)$ $[a;b]$ $\lambda _{{R}}\högerpil 0$ $R$ $\xi _{{i}}$

\int \limits _{{a}}^{{b}}f(x)dx=\lim \limits _{{\Delta x\rightarrow 0}}\sum \limits _{{i=0}}^ {{n-1}}f(\xi _{{i}})\Delta x_{{i}}

Om den angivna gränsen finns, sägs funktionen vara Riemann-integrerbar på . $f(x)$ $[a;b]$

Notation

$a$ - lägre gräns.
$b$ - övre gräns.
$f(x)$ är integranden.
${\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i+1}-x_{i))$ är längden på delsegmentet.
$\lambda _{{R}}=\up {\Delta x_{i}}$ är rangen på partitionen, det maximala av längderna på de partiella segmenten.

Geometrisk känsla

Den definitiva integralen av en icke-negativ funktion är numeriskt lika med arean av figuren som begränsas av x-axeln, räta linjer och funktionsgrafen . [ett] $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$ $x=a$ $x=b$ $f(x)$

Egenskaper

Om och är integrerbara på ett intervall av en funktion, så är deras linjära kombination också integrerbar på en funktion, och $f$ $g$ $[a,b]$ $\alfa f+\beta g$ $[a,b]$ $\int \limits _{a}^{b}(\alpha f+\beta g)(x)dx=\alpha \int \limits _{a}^{b}f(x)dx+\beta \ int \limits _{a}^{b}g(x)dx.$
Om är en funktion som kan integreras på ett intervall , alltså $f$ $[a,b]$ $\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)dx.$
Om är en funktion integrerbar i en punkts grannskap , då har vi [3] $f$ $a$ $\int \limits _{a}^{a}f(x)dx=0.$
Om en funktion är Riemann-integrerbar på , då är den begränsad till den. $f(x)$ $[a;b]$

Beräkningsexempel

Följande är exempel på beräkning av bestämda integraler med Newton-Leibniz-formeln .

$\int \limits _{8}^{9}x^{2}\,dx={\frac {x^{3}}{3}}{\Big |}_{8}^{9 }={\frac {729}{3}}-{\frac {512}{3}}={\frac {217}{3}}=72{,}(3)\approx 72{,}3$
$\int \limits _{1}^{b}{\frac {dx}{x}}=\ln x{\Big |}_{1}^{b}=\ln b$
$\int \limits _{1}^{4}{\frac {2dx}{x}}=2\ln x{\Big |}_{1}^{4}\approx 2{,}8$

Anteckningar

↑ 1 2 Definite integral // Stora sovjetiska encyklopedien : [i 30 volymer] / kap. ed. A. M. Prokhorov . - 3:e uppl. - M . : Soviet Encyclopedia, 1969-1978.
↑ Stora ryska encyklopedin : [i 35 volymer] / kap. ed. Yu. S. Osipov . - M . : Great Russian Encyclopedia, 2004-2017.
↑ Zorich V. A. Matematisk analys. Del I. Ed. 10:e, rev. . — M. : MTsNMO, 2019. — S. 321-323. — 564 sid. - ISBN 978-5-4439-4029-8 , 978-5-4439-4030-4. Arkiverad 16 maj 2021 på Wayback Machine

Ordböcker och uppslagsverk	Britannica (online)
I bibliografiska kataloger	NKC : ph126953

Integralkalkyl

Main

Generaliseringar
av Riemann-integralen

Integrerade
transformationer

Numerisk
integration

måttteori

Relaterade ämnen

Listor över integraler