Ehrenfests paradox

Ehrenfests paradox är ett tankeexperiment som överväger en skiva som roterar med nästan ljushastighet.

I modern mening visar det på oförenligheten av vissa begrepp inom klassisk mekanik med den speciella relativitetsteorin, samt möjligheten till olika definitioner av begreppen tid och avstånd i roterande referensramar.

Denna paradox lades fram av Ehrenfest 1909 efter att Einstein utvecklat den speciella relativitetsteorin .

Kärnan i paradoxen

Betrakta en cirkel (eller ihålig cylinder ) som roterar runt sin axel. Eftersom hastigheten för varje element i cirkeln är riktad tangentiellt, måste den (cirkeln) uppleva Lorentz-kontraktion , det vill säga dess storlek för en extern observatör måste verka mindre än sin egen längd .

Om en cirkel har en radie är dess längd för en extern observatör . $R$ $2\pi R$

Men med tanke på Lorentz-kontraktionen kommer den korrekta omkretsen att vara större:

l={\frac {2\pi R}{{\sqrt {1-(v/c)^{2))))}={\frac {2\pi R}{{\sqrt {1-\vänster (\displaystyle {\frac {\omega R}{c}}\right)^{2}}}}},

var är den cirkulära frekvensen , är ljusets hastighet . $\omega$ $c$

Således måste en initialt orörlig stel cirkel, efter att den har vridits ut, paradoxalt nog minska sin radie för att behålla sin längd.

Enligt Ehrenfests resonemang kan en absolut stel kropp inte bringas i rotationsrörelse [1] , eftersom det inte ska finnas någon Lorentz-kompression i radiell riktning. Följaktligen måste skivan, som var platt i vila , på något sätt ändra sin form när den inte vrids.

Teoretisk analys

Rotation i relativitet

Betrakta två referenssystem med en gemensam axel . Let är tröghet och roterar med en konstant vinkelhastighet i förhållande till axeln . I referenssystemet , betrakta en cirkel centrerad vid utgångspunkten i planet . I referenssystemet kan det betraktas som en cirkel centrerad vid utgångspunkten i planet . Mätningar av omkretsen och dess diameter i systemet i enlighet med den euklidiska geometrin i tröghetsreferensramen kommer att ge deras förhållande lika med . Mätningar av omkretsen och dess diameter i systemet , från en observatörs synvinkel från systemet , på grund av Lorentz-kontraktionen av skalan som appliceras längs cirkeln och invariansen hos den radiellt applicerade skalan, kommer att ge deras förhållande mindre än . Det vill säga, från en observatörs synvinkel från systemet kommer förhållandet mellan omkretsen och diametern att vara större . Också, från synvinkeln av en observatör från systemet , kommer kursen för en klocka som ligger på en cirkel i systemet att saktas ner på grund av deras rörelse i förhållande till systemet . Detta betyder att i en icke-tröghetsreferensram är rum-tidsmåttet icke-euklidiskt [2] [3] [4] . Ur observatörens synvinkel i referensramen förklaras krökningen av rum-tid av gravitationsfältet som verkar i denna referensram, från referensramens synvinkel - av den accelererade rörelsen av punkterna på cirkeln ( principen om ekvivalens av gravitations- och tröghetskrafter ). [2] [4] En av konsekvenserna av slutsatserna från detta mentala experiment är omöjligheten i den allmänna relativitetsteorin av den ömsesidiga orörligheten hos ett system av kroppar, inklusive omöjligheten av existensen av absolut stela kroppar (Ehrenfests paradox) . [3] $K,K'$ $z$ $K$ $K'$ $K$ $z$ $K$ $xy$ $K'$ $x'y'$ $K$ $\pi$ $K'$ $K$ $\pi$ $K'$ $\pi$ $K$ $K'$ $K$ $K'$ $K'$ $K$

Ehrenfests resonemang visar på omöjligheten att få en absolut stel kropp (till en början i vila) i rotation.

Den motbevisar emellertid inte förekomsten av styva likformigt roterande skivor. Deras rumsliga geometri måste dock skilja sig från euklidisk .

Rum-tidsbeskrivningen av en sådan skiva är möjlig med hjälp av Born-koordinaterna , men tidsflödet på den kommer att skilja sig från det galileiska.

Tidens hastighet kommer att bero på avståndet till mitten, och ljusets framåt- och bakåthastigheter i rotationsriktningen i Born-koordinater kommer att vara olika (se även Sagnac-effekten ). Det visar sig vara omöjligt att bygga ett ortogonalt rum-tid-koordinatsystem kopplat till en roterande skiva.

Ändå visar det sig vara möjligt att korrekt definiera avståndet på en roterande skiva i betydelsen av en Riemannisk metrik .

Geometri hos en roterande skiva

Med hjälp av Born-koordinaterna kan vi bestämma vårt eget avstånd mellan mycket nära [5] punkter på skivan. De kan till exempel representeras av närliggande molekyler eller atomer i metallen som skivan är gjord av.

Lokalt visar sig avståndet vara ordnat precis som Ehrenfest trodde: längs cirklarna överstiger det korrekta avståndet det skenbara avståndet exakt enligt Lorentz kontraktionslag, och i radiernas riktning visar det sig vara oförändrat, dvs. , lika med skillnaden mellan radierna.

Beräkningar visar att en roterande skiva, även om den antas ligga i ett plan, måste (i termer av sin egen geometri) vara en yta med negativ krökning .

Om vi anser att den betraktade roterande kroppen har en tjocklek, så finns det ingen skillnad mellan naturliga och skenbara avstånd längs den (det vill säga i riktning längs rotationsaxeln ), såväl som i radiella riktningar. I koordinater ser därför måttet för alla tre dimensioner av rymden ut så här: $(\varphi ,\;r,\;z)$

{\frac {c^{2}\,r^{2}}{c^{2}-\omega ^{2}\,r^{2}}}\,d\varphi ^{2}+dr ^{2}+dz^{2}.

Ehrenfests paradox och allmänna relativitetsteori

Upplösningen av "paradoxen" i sin moderna form involverar sådana matematiska apparater som kurvlinjära koordinater och geodetik , kännetecknande för allmän relativitet . Ändå, även om begreppen allmän relativitet är ganska tillämpliga på detta fall, bör man komma ihåg att Ehrenfest-paradoxen betraktas i ett platt, icke -krökt Minkowski-utrymme . Rotationen av en skiva i ett gravitationsfält kommer att ge ett annat problem.

Fysisk tolkning

En fast kropps näraljusrotation kan knappast observeras i praktiken, eftersom centrifugalkraften bör leda (för en skiva som inte hålls av några andra krafter än dess egen styrka) till spänningar i storleksordningen av materialets densitet multiplicerat med , som inget ämne eller material tål. $c^{2}$

Om emellertid centrifugalkraften kompenseras av gravitationsfältet (som t.ex. händer i pulsarer ), kommer vi att gå bortom tillämpligheten av SRT, och kroppens geometri kommer tydligen att förändras på ett annat sätt än beskrivs ovan.

När den snurrande skivan når en måttlig rotationshastighet ändras dess form mycket kraftigare på grund av elastiska deformationer än på grund av effekterna av SRT. Den relativistiska Ehrenfest-effekten bör endast något öka den längsgående (längs rotationsriktningen) sträckningen av skivmaterialet.

Se även

Anteckningar

↑ Fysik, del 2. Encyclopedia for children. Volym 16. S. 123. ISBN 5-8483-0030-5 .
↑ 1 2 A. Einstein , L. Infeld Fysikens utveckling. - M.-L., Tekhteorizdat, 1948. - sid. 208-216
↑ 1 2 L. D. Landau , E. M. Lifshits Fältteori . - M., Nauka, 1967. - sid. 294-295
↑ 1 2 Clement Durell Relativitetsteorins ABC. - M. , Mir , 1964. - sid. 135-138
↑ Strängt taget måste den relativa hastigheten för dessa två punkter vara mycket mindre än ljusets hastighet, inom den klassiska mekanikens tillämplighetsgränser.