Weierstrass-Enneper parametrisering

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 7 februari 2022; kontroller kräver 4 redigeringar .

Weierstrass-Enneper-parametriseringen av minimala ytor är en klassisk gren av differentialgeometri .

Alfred Enneper och Karl Weierstrass studerade minimala ytor redan 1863 .

Parametrisering

Låt och vara fungerar på det fullständiga komplexa planet eller på enhetsskivan, där är meromorf och är analytisk , sådan som har en ordningspol , har ordning noll (eller, ekvivalent, så att produkten är en holomorf funktion ), och låt vara konstanter. Då är ytan med koordinater minimal, där definieras som den verkliga delen av den komplexa integralen : $f$ $g$ $g$ $f$ $g$ $m$ $f$ $2m$ ${\displaystyle fg^{2))$ ${\displaystyle c_{1},c_{2},c_{3))$ $(x_1,x_2,x_3)$ $x_k$

${\begin{aligned}x_{k}(\zeta )&{}=\Re \left\{\int _{0}^{\zeta }\varphi _{k}(z)\,dz \right\}+c_{k},\qquad k=1,2,3\\\varphi _{1}&{}=f(1-g^{2})/2\\\varphi _{2 }&{}=\mathbf {i} f(1+g^{2})/2\\\varphi _{3}&{}=fg\end{aligned}}$

Det omvända är också sant - vilken som helst icke-plan minimal yta som definieras över en ansluten domän kan parametriseras på detta sätt [1] .

Till exempel har Enneper-ytan en parametrisering . ${\displaystyle f(z)=1,g(z)=z^{m))$

Parametrisk yta av komplexa variabler

Weierstrass-Enneper-modellen definierar den minimala ytan ( ) på det komplexa planet ( ). Låt (det komplexa planet som ett mellanslag ), den jakobiska matrisen av ytan kan skrivas som en kolumn med komplexa poster: $X$ $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {C}$ $\omega =u+vi$ $UV$

\mathbf {J} ={\begin{bmatrix}\left(1-g^{2}(\omega )\right)f(\omega )\\i\left(1+g^{2} (\omega )\right)f(\omega )\\2g(\omega )f(\omega )\end{bmatrix}}

Här och är holomorfa funktioner av . $f(\omega)$ $g(\omega )$ $\omega$

Jacobian representerar två ortogonala tangenter till vektorytan [2] : ${\mathbf {J}}$

\mathbf {X_{u}} ={\begin{bmatrix}\operatörsnamn {Re} \mathbf {J} _{1}\\\operatörsnamn {Re} \mathbf {J} _{2}\\ \operatörsnamn {Re} \mathbf {J} _{3}\end{bmatrix}}\;\;\;\;\mathbf {X_{v}} ={\begin{bmatrix}-\operatörsnamn {Im} \ mathbf {J} _{1}\\-\operatörsnamn {Im} \mathbf {J} _{2}\\-\operatörsnamn {Im} \mathbf {J} _{3}\end{bmatrix}}

Normalen till ytan ges av

\mathbf {\hat {n)) ={\frac {\mathbf {X_{u)) \times \mathbf {X_{v)) }{|\mathbf {X_{u)) \times \mathbf {X_{v}} |}}={\frac {1}{|g|^{2}+1}}{\begin{bmatrix}2\operatörsnamn {Re} g\\2\operatörsnamn {Im} g \\|g|^{2}-1\end{bmatrix}}

Jacobianen leder till ett antal viktiga egenskaper: , , , ${\mathbf {J}}$ $\mathbf {X_{u}} \cdot \mathbf {X_{v}} =0$ $\mathbf {X_{u}} ^{2}=\operatörsnamn {Re} (\mathbf {J} ^{2})$ $\mathbf {X_{v)) ^{2}=\operatörsnamn {Im} (\mathbf {J} ^{2})$ $\mathbf {X_{uu}} +\mathbf {X_{vv}} =0.$

Beviset finns i Sharmas papper: Weierstrass-representationen ger alltid en minimal yta [3] . Derivaterna kan användas för att konstruera en matris av den första kvadratiska formen :

{\begin{bmatrix}\mathbf {X_{u}} \cdot \mathbf {X_{u}} &\;\;\mathbf {X_{u}} \cdot \mathbf {X_{v}} \\\mathbf {X_{v}} \cdot \mathbf {X_{u}} &\;\;\mathbf {X_{v}} \cdot \mathbf {X_{v}} \end{bmatrix}}= {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}

och matriser av den andra kvadratiska formen

{\begin{bmatrix}\mathbf {X_{uu}} \cdot \mathbf {\hat {n}} &\;\;\mathbf {X_{uv}} \cdot \mathbf {\hat {n } )) \\\mathbf {X_{vu)) \cdot \mathbf {\hat {n)) &\;\;\mathbf {X_{vv)) \cdot \mathbf {\hat {n)) \end { bmatrix}}

Slutligen mappas en punkt på det komplexa planet till en punkt på minimiytan i ${\displaystyle \omega _{t))$ $\mathbf {X}$ $\mathbb {R} ^{3}$

\mathbf {X} ={\begin{bmatrix}\operatörsnamn {Re} \int _{\omega _{0}}^{\omega _{t}}\mathbf {J} _{1}d \omega \\\operatörsnamn {Re} \int _{\omega _{0}}^{\omega _{t}}\mathbf {J} _{2}d\omega \\\operatörsnamn {Re} \int _{\omega _{0}}^{\omega _{t}}\mathbf {J} _{3}d\omega \end{bmatrix}}

där för alla minimala ytor förutom den minimala Costa-ytan , där . $\omega _{0}=0$ $\omega _{0}=(1+i)/2$

Kapslade minimala ytor och exempel

Klassiska exempel på kapslade minimala ytor med ändlig topologi inkluderar plan, catenoid , helicoid och Costas minimala yta . Costas yta involverar Weierstrass elliptiska funktion [4] : $\mathbb {R} ^{3}$ ${\displaystyle\wp}$

g(\omega )={\frac {A}{\wp '(\omega )))

f(\omega )=\wp (\omega )

där är en konstant [5] . $A$

Helicatenoid

Genom att välja funktioner och , får vi en familj av minimala ytor. $f(\omega )=e^{-i\alpha }e^{\omega /A}$ $g(\omega )=e^{-\omega /A}$

$\varphi _{1}=e^{-i\alpha }\sinh \left({\frac {\omega }{A}}\right)$

$\varphi _{2}=ie^{-i\alpha }\cosh \left({\frac {\omega }{A))\right)$

$\varphi _{3}=e^{-i\alpha }$

$\mathbf {X} (\omega )=\operatörsnamn {Re} {\begin{bmatrix}e^{-i\alpha }A\cosh \left({\frac {\omega }{A))\ höger)\\ie^{-i\alpha }A\sinh \left({\frac {\omega}{A))\right)\\e^{-i\alpha }\omega \\\end{bmatrix }}=\cos(\alpha ){\begin{bmatrix}A\cosh \left({\frac {\operatörsnamn {Re} (\omega )}{A}}\right)\cos \left({\frac {\operatörsnamn {Im} (\omega )}{A}}\right)\\-A\cosh \left({\frac {\operatörsnamn {Re} (\omega )}{A}}\right)\sin \left({\frac {\operatörsnamn {Im} (\omega )}{A}}\right)\\\operatörsnamn {Re} (\omega )\\\end{bmatrix}}+\sin(\alpha ) {\begin{bmatrix}A\sinh \left({\frac {\operatörsnamn {Re} (\omega )}{A))\right)\sin \left({\frac {\operatörsnamn {Im} (\omega )}{A}}\right)\\A\sinh \left({\frac {\operatörsnamn {Re} (\omega )}{A}}\right)\cos \left({\frac {\operatörsnamn { Im} (\omega )}{A}}\right)\\\operatörsnamn {Im} (\omega )\\\end{bmatrix}}$

Låt oss välja ytparametrar : $\omega =s+i(A\phi )$

$\mathbf {X} (s,\phi )=\cos(\alpha ){\begin{bmatrix}A\cosh \left({\frac {s}{A}}\right)\cos \left (\phi \right)\\-A\cosh \left({\frac {s}{A}}\right)\sin \left(\phi \right)\\s\\\end{bmatrix}}+ \sin(\alpha ){\begin{bmatrix}A\sinh \left({\frac {s}{A}}\right)\sin \left(\phi \right)\\A\sinh \left({ \frac {s}{A}}\right)\cos \left(\phi \right)\\A\phi \\\end{bmatrix}}$

Vid extrema punkter är ytan en katenoid eller helicoid . Annars representerar den inriktningsvinkeln. Den resulterande ytan, när man väljer definitionsdomän för att undvika självkorsningar, är en kedja som roterar runt axeln i en spiral. $(\alpha =0)$ $(\alpha =\pi /2)$ $\alfa$ ${\displaystyle \mathbf {X} _{3))$

Krökningslinjer

Man kan skriva om varje element i den andra fundamentala matrisen som funktioner av och till exempel $f$ $g$

\mathbf {X_{uu}} \cdot \mathbf {\hat {n}}={\frac {1}{|g|^{2}+1}}{\begin{bmatrix}\operatörsnamn { Re} \left((1-g^{2})f'-2gfg'\right)\\\operatörsnamn {Re} \left((1+g^{2})f'i+2gfg'i\right )\\\operatörsnamn {Re} \left(2gf'+2fg'\right)\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\operatörsnamn {Re} \left(2g\right)\\\ operatörsnamn {Re} \left(-2gi\right)\\\operatörsnamn {Re} \left(|g|^{2}-1\right)\\\end{bmatrix}}=-2\operatörsnamn {Re} (fg')

Därför kan den andra grundläggande formen förenklas

{\begin{bmatrix}-\operatörsnamn {Re} fg'&\;\;\operatörsnamn {Im} fg'\\\operatörsnamn {Im} fg'&\;\;\operatörsnamn {Re} fg' \end{bmatrix}}

En av matrisegenvektorerna är

{\displaystyle {\overline {\sqrt {fg'))))

och den representerar huvudriktningen i det komplexa området [6] . Därför är de två huvudriktningarna i rymden $UV$

\phi =-{\frac {1}{2}}Arg(fg')\pm k\pi /2

Se även

Associerad familj
Bryants yta , det finns en liknande parametrisering i hyperboliskt utrymme

Anteckningar

↑ Dierkes, Hildebrandt, Küster, Wohlrab, 1992 , sid. 108.
↑ Andersson, Hyde, Larsson, Lidin, 1988 , sid. 221–242.
↑ Sharma, 2012 .
↑ Lawden, 2011 .
↑ Abbena, Salamon, Gray, 2006 , sid. 719–766.
↑ Hua, Jia, 2018 , sid. 985–995.

Litteratur

Dierkes U., Hildebrandt S., Küster A., Wohlrab O. Minimala ytor. - Springer, 1992. - T. I. - ISBN 3-540-53169-6 .
Andersson S., Hyde ST, Larsson K., Lidin S. Minimala ytor och strukturer: Från oorganiska och metallkristaller till cellmembran och biopolymerer // Chem. Rev .. - 1988. - T. 88 , nr. 1 . - doi : 10.1021/cr00083a011 .
Sharma R. Weierstrass-representationen ger alltid en minimal yta. — 2012.
Lawden D.F. Elliptiska funktioner och tillämpningar. - Berlin: Springer, 2011. - T. 80. - (Tillämpade matematiska vetenskaper). - ISBN 978-1-4419-3090-3 .
Abbena E., Salamon S., Grey A. Minimala ytor via komplexa variabler // Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica. - Boca Raton: CRC Press, 2006. - ISBN 1-58488-448-7 .
Hua H., Jia T. Trådskuren av dubbelsidiga minimala ytor // The Visual Computer. - 2018. - T. 34 , nr. 6–8 . - doi : 10.1007/s00371-018-1548-0 .

Minsta ytor
Associerad familj Bura Catalana katenoid Chena-Guckstatter Costa Ennepera Helicoid Henneberg k -noid Richmond Riemann Pylonsadel Sherka Tre gånger periodisk Gyroid Lidinoid Neovius Schwartz