Skärning (euklidisk geometri)

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 28 december 2021; kontroller kräver 7 redigeringar .

En skärning i euklidisk geometri är en punkt eller kurva som delas av två eller flera objekt (som kurvor, plan och ytor ). Det enklaste fallet är skärningen av två olika linjer i planet, som antingen är en enda punkt eller inte existerar om linjerna är parallella .

Uppgiften att hitta skärningspunkten mellan plan - tvådimensionella linjära geometriska objekt inbäddade i ett flerdimensionellt utrymme - reduceras till att lösa ett system av linjära ekvationer .

I allmänhet definieras skärningspunkten av ett system av icke- linjära ekvationer , som kan lösas numeriskt , till exempel med Newtons metod . Problem kring skärningspunkten mellan en rät linje och en konisk sektion ( cirkel , ellips , parabel , etc.) eller en kvadratisk ( sfär , cylinder , hyperboloid etc.) leder till andragradsekvationer som är lätta att lösa. Skärningar mellan kvadriker leder till ekvationer av fjärde graden , som kan lösas algebraiskt .

På planet

Två rader

Så här hittar du skärningspunkten för två icke-parallella linjer:

{\displaystyle a_{1}x+b_{1}y=c_{1},\ a_{2}x+b_{2}y=c_{2))

man kan till exempel använda Cramers regel , eller genom att ersätta en variabel, koordinaterna för skärningspunkten : $(x_{s},y_{s})$

x_{s}={\frac {c_{1}b_{2}-c_{2}b_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}} ,\quad y_{s}={\frac {a_{1}c_{2}-a_{2}c_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}}

(Om , då är dessa linjer parallella, vilket betyder att dessa formler inte kan användas eftersom de involverar division med 0.) $a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}=0$

Två segment

För två icke-parallella linjesegment , och denna punkt är inte nödvändigtvis skärningspunkten (se diagram), eftersom skärningspunkten för motsvarande linjer inte behöver finnas i linjesegmenten. För att kontrollera situationen används parametriska representationer av linjer: $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})$ $(x_{3},y_{3}),(x_{4},y_{4})$ $(x_{0},y_{0})$

(x(s),y(s))=(x_{1}+s(x_{2}-x_{1}),y_{1}+s(y_{2}-y_{1} )),

(x(t),y(t))=(x_{3}+t(x_{4}-x_{3}),y_{3}+t(y_{4}-y_{3} ))

Segmenten skär endast vid en gemensam punkt för motsvarande linjer, om motsvarande parametrar uppfyller villkoret . Parametrarna är lösningen av det linjära systemet $(x_{0},y_{0})$ $s_{0},t_{0}$ $0\leq s_{0},t_{0}\leq 1$ $s_{0},t_{0}$

s(x_{2}-x_{1})-t(x_{4}-x_{3})=x_{3}-x_{1},

s(y_{2}-y_{1})-t(y_{4}-y_{3})=y_{3}-y_{1}\ .

Det kan lösas för s och t med Cramers regel (se ovan ). Om villkoret är uppfyllt , infogas eller i motsvarande parametriska representation och skärningspunkten erhålls . $0\leq s_{0},t_{0}\leq 1$ ${\displaystyle s_{0))$ $t_0$ $(x_{0},y_{0})$

Exempel: För segment och ett linjärt system erhålls $(1,1),(3,2)$ $(1,4),(2,-1)$

2s-t=0

s+5t=3

och . Det betyder: linjerna skär varandra i en punkt . $s_{0}={\tfrac {3}{11)),t_{0}={\tfrac {6}{11}}$ $({\tfrac {17}{11)),{\tfrac {14}{11)))$

Obs: Med tanke på raka linjer snarare än segment som definieras av par av punkter, kan varje villkor uteslutas och metoden ger linjernas skärningspunkt (se ovan ). $0\leq s_{0},t_{0}\leq 1$

Linje och cirkel

För skärningspunkten mellan ett linjesegment och en cirkel , lös en linjär ekvation för x eller y och ersätt med cirkelekvationen och få lösningen (med hjälp av kvadratiska ekvationsformeln) med: $axe+by=c$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2))$ $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})$

x_{1/2}={\frac {ac\pm b{\sqrt {r^{2}(a^{2}+b^{2})-c^{2)))){ a^{2}+b^{2}}}

y_{1/2}={\frac {bc\mp a{\sqrt {r^{2}(a^{2}+b^{2})-c^{2))))){ a^{2}+b^{2}}}

om . Om detta villkor uppfylls med strikt ojämlikhet, så finns det två skärningspunkter; i detta fall kallas den räta linjen för cirkelns sekantlinje , och linjesegmentet som förbinder skärningspunkterna kallas cirkelns ackord . $r^{2}(a^{2}+b^{2})-c^{2}\geq 0$

Om , så finns det bara en skärningspunkt och linjen är tangent till cirkeln. Om den svaga ojämlikheten inte uppfylls, skär linjen inte cirkeln. $r^{2}(a^{2}+b^{2})-c^{2}=0$

Om mitten av cirkeln inte är origo [1] , kan man överväga skärningen av en linje och en parabel eller hyperbel.

Två cirklar

Bestämma skärningspunkterna för två cirklar:

(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}=r_{1}^{2},\ \quad (x-x_{2})^ {2}+(y-y_{2})^{2}=r_{2}^{2}

reducerar till föregående fall av skärningspunkten mellan en linje och en cirkel. Genom att subtrahera dessa två ekvationer erhålls en linjär ekvation:

2(x_{2}-x_{1})x+2(y_{2}-y_{1})y=r_{1}^{2}-x_{1}^{2}-y_ {1}^{2}-r_{2}^{2}+x_{2}^{2}+y_{2}^{2}.

Denna speciella linje är den radikala axeln för de två cirklarna .

Specialfall ; i det här fallet är origo centrum för den första cirkeln, och det andra centrumet ligger på x-axeln (se diagrammet $\;x_{1}=y_{1}=y_{2}=0$ [ förfina ] ). Ekvationen för den radikala linjen förenklar till: och skärningspunkterna kan skrivas som med $\;2x_{2}x=r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+x_{2}^{2}\;$ $(x_{0},\pm y_{0})$

x_{0}={\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+x_{2}^{2}}{2x_{2}}},\quad y_ {0}={\sqrt {r_{1}^{2}-x_{0}^{2))}\ .

När det gäller en cirkel har de inga gemensamma punkter. När det gäller cirklar har de en gemensam punkt, och den radikala axeln är en gemensam tangent. ${\displaystyle r_{1}^{2}<x_{0}^{2))$
${\displaystyle r_{1}^{2}=x_{0}^{2))$

Alla allmänna fall, som beskrivits ovan, kan förvandlas till ett specialfall genom att växla och rotera.

Skärningen av två cirklar (insidan av två cirklar) bildar en form som kallas en lins .

Två koniska sektioner

Problemet med skärningspunkten mellan en ellips , hyperbel , parabel med en annan konisk sektion reduceras till ett system av andragradsekvationer , som i särskilda fall är lätt att lösa genom att eliminera en koordinat. Speciella egenskaper hos koniska sektioner kan användas för att få en lösning . I allmänhet kan skärningspunkter bestämmas genom att lösa ekvationen med hjälp av Newtons iteration. Om a) båda konikerna ges implicit (med hjälp av en ekvation), behövs en tvådimensionell Newton-iteration; b) den ena implicit och den andra parametriskt - det är nödvändigt att Newtons 1-dimensionella iteration anges.

Två jämna kurvor

Två kurvor i (tvådimensionellt rum) som är kontinuerligt differentierbara (det vill säga det finns ingen skarp böj) har en skärningspunkt om de har en gemensam punkt i planet och har vid den punkten $\mathbb {R} ^{2}$

a: olika tangenter ( tvärgående skärning ) eller b: tangentlinjen är gemensam och de skär varandra (tangential skärning , se diagram).

Om båda kurvorna har en gemensam punkt S och en tangent, men inte skär varandra, "berör" de helt enkelt punkten S.

Eftersom beröring av korsningar är sällsynta och svåra att hantera, tar följande överväganden inte hänsyn till detta fall. I alla fall antas alla nödvändiga differentialförhållanden nedan. Att bestämma skärningspunkter resulterar alltid i en eller två icke-linjära ekvationer som kan lösas med hjälp av Newtons iteration. Listan över fall som inträffar är följande:

Om båda kurvorna ges explicit : , ger ekvationen ekvationen $y=f_{1}(x),\ y=f_{2}(x)$

f_{1}(x)=f_{2}(x)\ .

Om båda kurvorna ges parametriskt : $C_{1}:(x_{1}(t),y_{1}(t)),\ C_{2}:(x_{2}(s),y_{2}(s)).$

Genom att likställa dem får vi två ekvationer med två variabler:

x_{1}(t)=x_{2}(s),\ y_{1}(t)=y_{2}(s)\ .

Om en kurva ges parametriskt och den andra implicit : $C_{1}:(x_{1}(t),y_{1}(t)),\ C_{2}:f(x,y)=0.$

Detta är det enklaste fallet förutom det explicita. Du måste infoga en parametrisk representation i kurvekvationen och du får ekvationen :

C_{1}

f(x,y)=0

C_{2}

f(x_{1}(t),y_{2}(t))=0\ .

Om båda kurvorna ges implicit : $C_{1}:f_{1}(x,y)=0,\ C_{2}:f_{2}(x,y)=0.$

Här är skärningspunkten systemets lösning

f_{1}(x,y)=0,\ f_{2}(x,y)=0\ .

Varje iteration av Newton kräver bekväma initiala värden, som kan erhållas genom att visualisera båda kurvorna. En parametriskt eller explicit definierad kurva kan enkelt visualiseras eftersom det för valfri parameter t respektive x är lätt att beräkna motsvarande punkt. För implicit definierade kurvor är denna uppgift inte så enkel. I det här fallet är det nödvändigt att bestämma kurvans punkt med hjälp av initiala värden och iteration [2] .

Exempel:

1: och cirkel (se diagram).

C_{1}:(t,t^{3})

C_{2}:(x-1)^{2}+(y-1)^{2}-10=0

Newton iteration för en funktion

t_{n+1}:=t_{n}-{\frac {f(t_{n})}{f'(t_{n))}}

f(t)=(t-1)^{2}+(t^{3}-1)^{2}-10

måste göras. Du kan välja −1 och 1,5 som initialvärden. Skärningspunkter: (−1,1073, −1,3578), (1,6011, 4,1046) 2:

C_{1}:f_{1}(x,y)=x^{4}+y^{4}-1=0,

C_{2}:f_{2}(x,y)=(x-0.5)^{2}+(y-0.5)^{2}-1=0

(se diagram). Newton iteration

{x_{n+1} \choose y_{n+1}}={x_{n}+\delta _{x} \choose y_{n}+\delta _{y}}

måste vara uppfyllda, var är lösningen av det linjära systemet

{\delta _{x} \choose \delta _{y))

{\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x}}&{\frac {\partial f_{1}}{\partial y}}\\{\frac { \partial f_{2}}{\partial x}}&{\frac {\partial f_{2}}{\partial y}}\end{pmatrix}}{\delta _{x} \choose \delta _{ y}}={-f_{1} \choose -f_{2}}

vid punkt . Du kan välja (−0,5, 1) och (1, −0,5) som initiala värden.

(x_{n},y_{n})

Det linjära systemet kan lösas med Cramers regel. Skärningspunkterna är (−0,3686, 0,9953) och (0,9953, −0,3686).

Två polygoner

Om man vill bestämma skärningspunkterna för två polygoner kan man kontrollera skärningspunkten för vilket linjepar som helst av polygonerna (se ovan ). För polygoner med ett stort antal segment är denna metod ganska mödosam. I praktiken accelereras skärningsalgoritmen med hjälp av fönstertester . I det här fallet kan du dela upp polygonerna i små subpolygoner och definiera det minsta fönstret (rektangel med sidor parallella med koordinataxlarna) för vilken subpolygon som helst. Innan man påbörjar den mödosamma bestämningen av skärningspunkten för två linjesegment, kontrolleras alla fönsterpar för närvaron av gemensamma punkter [3]

I rymden (tre dimensioner)

I 3D-rymden finns det skärningspunkter (gemensamma punkter) mellan kurvor och ytor. I de följande avsnitten tar vi bara hänsyn till den tvärgående korsningen .

Linje och plan

Skärningen av en linje och ett plan i allmän position i tre dimensioner är en punkt.

Vanligtvis representeras en linje i rymden parametriskt , och ett plan representeras av en ekvation . Att infoga parameterrepresentationen i ekvationen ger den linjära ekvationen $(x(t),y(t),z(t))$ $axe+by+cz=d$

ax(t)+by(t)+cz(t)=d\ ,

för skärningspunktsparametern . $t_0$ $(x(t_{0}),y(t_{0}),z(t_{0}))$

Om den linjära ekvationen inte har någon lösning, ligger antingen linjen på planet eller är parallell med det.

Tre plan

Om en linje definieras av två skärande plan och måste skäras av ett tredje plan , måste den gemensamma skärningspunkten för de tre planen uppskattas. $\varepsilon _{i}:\ {\vec {n}}_{i}\cdot {\vec {x}}=d_{i},\ i=1,2$ $\varepsilon _{3}:\ {\vec {n}}_{3}\cdot {\vec {x}}=d_{3}$

Tre plan med linjärt oberoende normalvektorer har en skärningspunkt $\varepsilon _{i}:\ {\vec {n}}_{i}\cdot {\vec {x}}=d_{i},\ i=1,2,3$ ${\vec {n}}_{1},{\vec {n}}_{2},{\vec {n}}_{3}$

{\vec {p}}_{0}={\frac {d_{1}({\vec {n}}_{2}\times {\vec {n}}_{3})+ d_{2}({\vec {n}}_{3}\times {\vec {n}}_{1})+d_{3}({\vec {n}}_{1}\times { \vec {n}}_{2})}{{\vec {n}}_{1}\cdot ({\vec {n}}_{2}\times {\vec {n}}_{3 })}}\ .

För beviset bör det fastställas med hjälp av reglerna för den trippelskalära produkten . Om trippelpunktsprodukten är 0, så har planen antingen ingen trippel skärning, eller så är det en rät linje (eller ett plan, om alla tre plan är likadana). ${\vec {n}}_{i}\cdot {\vec {p}}_{0}=d_{i},\ i=1,2,3,$

Kurva och yta

I likhet med det plana fallet leder följande fall till icke-linjära system som kan lösas med hjälp av Newtons 1- eller 3-dimensionella iteration [4] :

parametrisk kurva och $C:(x(t),y(t),z(t))$

parametrisk yta

S:(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\ ,

parametrisk kurva och $C:(x(t),y(t),z(t))$

implicit yta

S:f(x,y,z)=0\ .

Exempel:

parametrisk kurva och

C:(t,t^{2},t^{3})

implicit yta (se figur).

S:x^{4}+y^{4}+z^{4}-1=0

Skärningspunkter: (−0,8587, 0,7374, −0,6332), (0,8587, 0,7374, 0,6332).

Skärningen av en linje och en sfär är ett specialfall.

Liksom i fallet med en linje och ett plan består skärningen av en kurva och en yta i allmänt läge av diskreta punkter, men kurvan kan helt eller delvis omfattas av ytan.

Linje och polyeder

Två ytor

Två tvärgående skärande ytor ger en skärningskurva . Det enklaste fallet är skärningslinjen mellan två icke-parallella plan.

Anteckningar

↑ Hartmann, 2003 , sid. 17.
↑ Hartmann, 2003 , sid. 33.
↑ Hartmann, 2003 , sid. 79.
↑ Hartmann, 2003 , sid. 93.

Litteratur

Erich Hartmann. Geometri och algoritmer för datorstödd design . — Darmstadts tekniska universitet, 2003.