Plan våg

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 10 september 2020; kontroller kräver 2 redigeringar .

En plan våg är en våg vars yta med konstant fas är ett plan.

Den plana vågfronten är obegränsad i storlek, fashastighetsvektorn är vinkelrät mot fronten.

En plan våg är en speciell lösning av vågekvationen och en praktisk teoretisk modell : en sådan våg finns inte i naturen, eftersom en platt vågfront börjar vid och slutar vid , vilket uppenbarligen inte kan vara det. En sådan våg skulle bära oändlig kraft , och det skulle ta oändlig energi för att skapa vågen . Bekvämligheten med planvågsmodellen beror på det faktum att en våg med en komplex (reell) front kan representeras som en superposition ( spektrum ) av plana vågor med hjälp av Fouriertransformen i rumsliga variabler. $-{\mathcal {\infty ))$ $+{\mathcal {\infty ))$

En kvasiplan våg är en våg vars front ligger nära en plan våg i något begränsat område. Om dimensionerna av området är tillräckligt stora för fenomenets karakteristiska storlek, kan den kvasiplana vågen ungefär betraktas som en plan våg. En våg med en komplex front kan approximeras av en summa av lokala kvasiplanvågor vars fashastighetsvektorer är normala mot den verkliga fronten vid var och en av dess punkter. Exempel på källor för kvasiplans elektromagnetiska vågor är laser- , reflektor- och linsantenner : fasfördelningen av det elektromagnetiska fältet i ett plan parallellt med aperturen (strålande hål) är nära likformig. När avståndet från bländaren ökar får vågfronten en komplex form.

Definition

Ekvationen för vilken våg som helst är lösningen av en differentialekvation som kallas vågekvationen . Vågekvationen för funktionen skrivs som $A$

\Delta A({\vec {r}},t)={\frac {1}{v^{2}}}\,{\frac {\partial ^{2}A({\vec { r)),t)}{\partial t^{2}}},

var är Laplace-operatören ;

\Delta

A(\vec{r},t)

är den önskade funktionen;

r

är radievektorn för den önskade punkten;

v

är våghastigheten;

t

- tid.

Endimensionellt fall

I det endimensionella fallet tar vågekvationen formen:

{\frac {\partial ^{2}A({\vec {r)),t)}{\partial x^{2))}={\frac {1}{v^{2)) }\,{\frac {\partial ^{2}A({\vec {r)),t)}{\partial t^{2))},

var är koordinaten.

x

En speciell lösning på denna ekvation för en plan övertonsvåg :

A(x,t)=A_{o}\cos \left(kx-\omega t+\varphi _{0}\right),

var är storleken på störningen vid en given punkt i rymden och tiden ;

A(x,t)

x

t

A_{o}

är vågamplituden ;

k

är vågnumret ;

\omega

- cirkulär frekvens ;

\varphi_{0}

är den inledande fasen av svängningar .

Vågtalet uttrycks som:

k={\frac {2\pi }{\lambda )),

var är den rumsliga perioden för förändringen i våglängdsfunktionen .

\lambda

Den cirkulära oscillationsfrekvensen uttrycks:

\omega ={\frac {2\pi }{T}}=2\pi f,

var är svängningsperioden ;

T

f

är oscillationsfrekvensen .

När dessa uttryck ersätts med uttrycket för vågen, kan vågen också beskrivas med uttrycken:

A=A_{o}\cos \left[2\pi \left({\cfrac {x}{\lambda }}-{\cfrac {t}{T}}\right)+\varphi _{ 0}\right],

eller:

A=A_{o}\cos \left[2\pi \left({\cfrac {x}{\lambda }}-ft\right)+\varphi _{0}\right],

eller:

A=A_{o}\cos \left[{\cfrac {2\pi }{\lambda }}(x-vt)+\varphi _{0}\right],

var är fashastigheten för vågutbredning.

v

Flerdimensionellt fall

I det allmänna fallet skrivs planvågsekvationen som:

A({\vec {r}},t)=A_{o}\cos \left(({\vec {k}},{\vec {r}}\,)-\omega t+\varphi _{0}\right),

var är vågvektorn lika med

\vec{k}

{k}{\vec {n});

k

är vågnumret ;

{\vec {n}}

är enhetens normalvektor som dras till vågfronten ;

{\vec {r))

är punktens radievektor, är skalärprodukten av vektorerna och .

({\vec {k)),{\vec {r}}\,)

\vec{k}

{\vec {r))

Komplex notation

Ovanstående ekvationer kan skrivas i den så kallade komplexa formen :

A(x,t)=A_{o}\,e^{i\left(kx-\omega t+\varphi _{0}\right)},

eller i det flerdimensionella fallet:

A({\vec {r}},t)=A_{o}\,e^{i\left(({\vec {k}},{\vec {r}}\,)-\ omega t+\varphi _{0}\right)}.

Riktigheten av denna formel följer av Euler-formeln för en exponent med en komplex exponent.

Generellt sett kan en funktion vara antingen reell eller komplex . Men eftersom det inte finns några komplexa tal i vår verkliga värld, kommer beräkningar som har en ändlig fysisk betydelse alltid ner på att beräkna den reella delen av antingen modulen eller produkten av ett par komplexa konjugeringar av denna funktion. $A( \vec{r},t )$

Den komplexa notationen av en harmonisk funktion innebär också konceptet med en komplex amplitud lika med ${\widehat {A}}=A_{o}e^{i\varphi _{0}}.$

Sedan $A(x,t)={\widehat {A}}\,e^{i\left(({\vec {k}},{\vec {r}}\,)-\omega t\ höger)}.$

Modulen för den komplexa funktionen ger amplituden för svängningarna, och argumentet ger den initiala fasen $\varphi_0.$

Den exponentiella formen av notation är i vissa fall ofta mer bekväm än den trigonometriska.

Våghastighet

Energi för en elastisk plan våg

Låt det ges det $A(x,t) = A_o \cos \left( \omega t - kx + \varphi_0 \right).$

Låt oss allokera i rymden en viss liten volym , så liten att partikelhastigheten och deformationen på alla punkter i denna volym kan anses vara konstant. $\Delta V$ $\cfrac {\partial A} {\partial t}$ $\cfrac {\partial A} {\partial x}$

Då har den betraktade volymen kinetisk energi :

\Delta W_{k}={\cfrac {\rho }{2))\left({\cfrac {\partial A}{\partial t))\right)^{2}\Delta V,

och potentiell energi för elastisk deformation :

\Delta W_{p}={\cfrac {E}{2}}\left({\cfrac {\partial A}{\partial x}}\right)^{2}\Delta V={\ cfrac {\rho v^{2}}{2}}\left({\cfrac {\partial A}{\partial x}}\right)^{2}\Delta V.

Total energi:

W=\Delta W_{k}+\Delta W_{p}={\cfrac {\rho }{2)){\bigg [}\left({\cfrac {\partial A}{\partial t }}\right)^{2}+v^{2}\left({\cfrac {\partial A}{\partial {x}}}\right)^{2}{\bigg ]}\Delta V.

Energitätheten är lika med:

\omega ={\cfrac {W}{\Delta V))={\cfrac {\rho }{2)){\bigg [}\left({\cfrac {\partial A}{\partial t }}\right)^{2}+v^{2}\left({\cfrac {\partial A}{\partial {x}}}\right)^{2}{\bigg ]}=\rho A ^{2}\omega ^{2}\sin ^{2}\left(\omega t-kx+\varphi _{0}\right).

Polarisering

Litteratur

Savelyev IV [Del 2. Vågor. Elastiska vågor.] // Kurs i allmän fysik / Redigerad av L. I. Gladnev, N. A. Mikhalin, D. A. Mirtov. - 3:e uppl. - M. : Nauka, 1988. - T. 2. - S. 274-315. — 496 sid. - 220 000 exemplar.