Tät packning av lika sfärer

Tät packning av lika sfärer  är ett sådant arrangemang av identiska icke-överlappande sfärer i rymden, där andelen utrymme som upptas av de inre områdena av dessa sfärer ( packningsdensitet ) är maximal, liksom problemet med kombinatorisk geometri om att hitta detta packning [1] .

Carl Friedrich Gauss bevisade att den högsta packningsdensiteten som kan uppnås med en enkel vanlig packning ( gitter ) är

Denna densitet uppnås i packningar i ytcentrerade kubiska (fcc) och hexagonala tätpackade (HP, HCP [2] ) gitter (se nedan). Keplers gissning säger att denna packning har den högsta densiteten bland alla möjliga sfärförpackningar, regelbundna och oregelbundna. Denna hypotes bevisades av T. K. Halesefter många år av programmering de beräkningar som krävs för beviset [3] [4] .

Gitter fcc och GP (GPU)

Det finns två enkla regelbundna galler på vilka den maximala medeldensiteten uppnås. De kallas face-centered cubic ( fcc ) (eller cubic close-packed ) och hexagonal close-packed ( HP eller HCP = Hexagonal close-packed cell or lattice), beroende på gittrets symmetri . Båda gittren är baserade på lager av sfärer centrerade vid hörnen på en triangulär plattsättning. Båda gittren kan representeras som en stapel av identiska ark, inuti vilka sfärerna är anordnade i ett triangulärt galler (tätt packade lager); FCC och HP (HCP) skiljer sig åt i placeringen av dessa ark i förhållande till varandra.

Fcc-gittret i matematik är känt som gittret som genereras av A 3 -rotsystemet [5] . I engelsk litteratur kallas denna typ av celler för face-centered cubic ( fcc ). HP (HPC) gitter i den engelska litteraturen kallas hexagonal close-packed ( hcp ).

Plats och blanksteg

Med ett av de tätpackade lagren av kulor som referenspunkt kan vi dela upp resten i olika typer beroende på hur de är placerade i förhållande till det första lagret vad gäller horisontell förskjutning. Det finns tre sådana typer, och de kallas vanligtvis A, B och C.

Med avseende på nivån med kula A (se figuren till vänster "Jämförelse av fcc och hp (hcp) packningar"), är olika positioner av kulorna B och C möjliga. Vilken sekvens av positionerna A, B och C som helst i lager utan upprepning i intilliggande lager är möjlig och ger en packning av samma densitet.

Den mest korrekta förpackningen:

• FCC = ABCABCA (nivåer sammanfaller efter två);
• GP (GPU) = ABABABA (nivåer sammanfaller med en).

Emellertid kan samma packningsdensitet uppnås genom alternativ skiktning av samma täta packningar av sfärer i planet, inklusive strukturer som är aperiodiska i staplingsskiktens riktning. Det finns ett oräkneligt antal oregelbundna arrangemang av plan (t.ex. ABCACBABABAC...), som ibland kallas "Barlow-packningar", uppkallade efter kristallografen William Barlow [6] .

Vid tät packning är avståndet mellan sfärernas mittpunkter i det tätpackade skiktets plan lika med sfärens diameter. Avståndet mellan sfärernas mittpunkter i projektionen på axeln vinkelrät mot det tätpackade lagret är lika med

där d  är sfärens diameter. Detta följer av det tetraedriska arrangemanget av tätpackade sfärer.

Både i FCC- och HPC-layouterna (HCP) har varje sfär tolv grannar (med andra ord är koordinationsnumret för varje sfär i dem 12). Runt sfären finns det tomma områden omgivna av sex sfärer (oktaedriska) och mindre tomma områden omgivna av fyra sfärer (tetraedriska). Avstånden till mitten av dessa tomma områden från mitten av de omgivande sfärerna är lika för tetraedriska och √2 för oktaedriska [Komm 1 ] mellanslag, om sfärens radie är lika med 1. FCC-packning erhålls genom att placera kulor över oktaedriska tomrum i nästa lager, HP (HCP) - över några tetraedriska.

Gallerkonstruktion

När något kulpackande gitter bildas, bör det noteras att om två sfärer berörs kan en linje dras från mitten av en sfär till mitten av den andra sfären, och denna linje passerar genom kontaktpunkten. Avståndet mellan mittpunkterna - den kortaste vägen mellan punkter - är precis på denna räta linje, så detta avstånd är lika med r 1  +  r 2 där r 1  är radien för en sfär och r 2  är radien för den andra. I tät packning har alla sfärer samma radie r , så avståndet mellan mittpunkterna är helt enkelt 2r .

Enkelt HP(HPC)-gitter

För att bilda en ABAB-… hexagonal tät packning av sfärer, kommer koordinaterna för gitterpunkterna att vara centrum för packningens sfärer. Antag att målet är att fylla rutan med sfärer enligt HP(HPC)-schemat. Boxen är placerad i x - y - z- koordinatsystemet .

Först bildar vi en serie sfärer; deras centra kommer att ligga på samma räta linje. X -koordinatvärdena kommer att ändras med 2 r , eftersom avståndet mellan mitten av två sfärer som berörs är 2 r . För dessa bollar kommer y- och z- koordinaterna att vara desamma. För enkelhetens skull antar vi att y- och z- koordinaterna för kulorna i den första raden är lika med r , vilket motsvarar placeringen av kulornas ytor på plan med nollkoordinater y och z . Således kommer koordinaterna för bollarna i den första raden att se ut som ( r ,  r ,  r ), (3 r ,  r ,  r ), (5 r  , r ,  r ), (7 r  , r ,  r ), ... .

Låt oss nu bilda den andra raden av sfärer. Återigen kommer mittpunkterna att ligga på en rät linje, och x -koordinaterna kommer att skilja sig med 2 r , men kulorna kommer att förskjutas längs axeln med r , så att x -koordinaterna för deras mittpunkter blir lika med koordinaterna för punkterna på kontakt mellan kulorna i den första raden. Eftersom varje sfär från den nya raden berör två sfärer från den nedre, bildar deras centrum liksidiga (regelbundna) trianglar med mitten av närliggande bollar. Alla sidlängder kommer att vara lika med 2 r , så skillnaden mellan raderna längs y -koordinaten blir √ 3 r . Det vill säga, den andra raden kommer att ha koordinaterna

Nästa rad med sfärer följer detta mönster och flyttar raden längs x -axeln med r och längs y -axeln med √ 3 r . Vi lägger till rader tills vi når rutans kant.

I ABAB-...-packningen kommer planen för de udda sfärerna att ha exakt samma x- och y -koordinater ; endast z- koordinaterna ändras , vilket också gäller för jämna plan . Båda typerna av plan är utformade enligt samma schema, men positionen för den första sfären i den första raden kommer att vara annorlunda.

Vi använder konstruktionen som beskrivs ovan som lager A. Placera sfären ovanpå detta lager så att den vidrör tre sfärer av lager A. Dessa tre sfärer nuddar redan varandra och bildar en liksidig triangel. Eftersom dessa tre sfärer tangerar den adderade sfären, bildar de fyra centran en regelbunden tetraeder [7] med alla sidor lika med 2 r . Höjden på denna tetraeder är skillnaden i z- koordinater mellan de två lagren och är lika med . Kombinationen med x- och y -koordinater ger mitten av den första raden i plan B:

Koordinaterna för den andra raden följer mönstret som beskrivs ovan:

Skillnaden mellan z -koordinaterna till nästa A-skikt är återigen lika med , och x- och y -koordinaterna är lika med koordinaterna för det första A-skiktet [8] .

I allmänhet kan koordinaterna för centrumen skrivas som:

där i , j och k är x , y och z -  indexen (nollbaserade), och " a mod b " betyder "att ta resten" av division med .

Varianter och generaliseringar

Utrymmen med andra dimensioner

Man kan överväga ett liknande problem med tät packning av hypersfärer (eller cirklar) i euklidiskt utrymme med annan dimension än 3. I synnerhet i tvådimensionellt euklidiskt utrymme är den bästa fyllningen att placera cirklarnas mittpunkter vid hörnen av en parkett bildas av regelbundna hexagoner , där varje cirkel är omgiven av sex andra. Det är från sådana lager som fcc och GP (HCP) packningar byggs. Densitet för detta paket:

1940 bevisades det att denna packning är den tätaste.

År 2016 löste den ukrainska matematikern Marina Vyazovskaya bollpackningsproblemet i två högre dimensionella utrymmen  - åttadimensionella [9] [10] [11] och, medförfattare, i 24-dimensionella [12] [13] . Vyazovskayas lösning på det åttadimensionella fallet är bara 23 sidor lång och är "häpnadsväckande enkel" [13] jämfört med 300 sidor text och 50 000 rader kod för att bevisa Keplers gissning [14] för tredimensionellt rymd.

Den högsta densiteten är känd endast för utrymmesdimensionerna 1 (tätpackning), 2 ( triangulärt gitter ), 3 (fcc, HP (HCP) och andra packningar byggda av triangulära gitterskikt), 8 ( E8-gitter ) och 24 ( Utlakningsgitter ). ) [15] .

Fyller i det återstående utrymmet

Packningarna fcc och fcc (hcp) är de tätaste kända packningarna av identiska sfärer med maximal symmetri (den minsta upprepningsenheten). Tätare packningar av sfärer är kända, men de använder sfärer med olika diametrar. Förpackningar med en densitet på 1 som fyller utrymmet helt kräver icke-sfäriska kroppar, såsom bikakor , eller ett oändligt antal sfärer i en ändlig volym ( Apollonian grid ).

Honeycombs

Om vi ​​ersätter varje kontaktpunkt för två sfärer med en kant som förbinder mitten av de kontaktande sfärerna, får vi tetraedrar och oktaedrar med lika långa sidolängder. FCC-stapling ger tetraedriska-oktaedriska bikakor . HP (HPC) stapling ger roterade tetraedriska-oktaedriska bikakor . Om i stället någon sfär expanderas med punkter som ligger närmare den än någon annan sfär, erhålls dubbla bikakor - rombiska dodekaedriska honeycombs för FCC och trapecerombi dodekaedriska honeycombs för HP.

Sfäriska bubblor i tvålvatten enligt FCC- eller HCP (HCP)-schemat, när vattnet mellan bubblorna torkar upp, tar också formen av rombododekaedriska eller trapecerombi dodekaedriska honeycombs . Sådana FCC- eller HP (HPC)-skum med mycket låg vätskehalt är emellertid instabila, eftersom Plates lag inte gäller för dem . Kelvin-skummet och Weir och Pelan strukturen är mer stabila, har lägre gränssnittsenergi med en liten mängd vätska [16] .

Tät packning av bollar i livet

Många kristaller har en tät packningsstruktur av en typ av atom, eller en tät packning av stora joner med mindre joner som fyller utrymmet mellan dem. Som regel är de kubiska och hexagonala arrangemangen mycket nära i energi, och det är svårt att förutsäga vilken form kristallen kommer att ta.

Thomas Harriot , omkring 1585, företog den första matematiska reflektionen om stapling av kulor i samband med stapling av kanonkulor och betraktade fcc-gallret: kanonkulor staplades vanligtvis i rektangulära eller triangulära träramar, som bildade tresidiga eller fyrsidiga pyramider; båda staplarna ger ett ansiktscentrerat kubiskt gitter och skiljer sig endast i orientering i förhållande till basen. Sexkantig tät packning resulterar i en sexkantig pyramid. I samband med staplingen av kanonkulor är det eponyma problemet med talteorin också känt.

Se även

• kontaktnummer
• Det sällsynta skyddsproblemet
• Lubachevsky-Stilinger algoritm
• Benard-celler
• Syngony
• Kubiksystem
• parallelloeder
• Keplers hypotes
• Miller index
• Hermite konstant
• Slumpmässig tät packning

Kommentar

1. ↑ Avståndet till mitten av det tetraedriska tomma området är lika med radien för den omskrivna cirkeln av tetraedern med sida 2, dvs. Läs formeln för den omskrivna cirkelns radie i artikeln Regular tetrahedron . Avståndet till mitten av en oktaedrisk region är lika med radien för den omskrivna cirkeln av denna region med en sidolängd på 2. Formeln för radien för denna region kan erhållas i artikeln Octahedron

Anteckningar

1. ↑ 1 2 Sloan N. J. A. Packning av bollar  // I vetenskapens värld . - 1984. - Nr 3 . - S. 72-82 .
2. ↑ Podolskaya E. A., Krivtsov A. M. Beskrivning av geometrin hos kristaller med en hexagonal tätpackad struktur baserad på parade / Institute for Problems of Mechanical Engineering RAS, St. Petersburg. // Rysslands fasta tillståndsfysik, 2012. - V. 54. - Issue. 7. - S. - 1327-1334.
3. ↑ Hales, TC (1998), En översikt över Kepler-förmodan, arΧiv : math/9811071v2 . 
4. ↑ Szpiro, 2003 , sid. 12–13.
5. ↑ Conway, Sloane, 1998 , sid. Avsnitt 6.3.
6. ↑ Barlow, 1883 , sid. 186–188.
7. ↑ Grunch.net .
8. ↑ Weisstein, Eric W. Hexagonal Close Packing  på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
9. ↑ Kevin Knudson. Stapla kanonkulor i 8 dimensioner   // Forbes . - 2016. - 29 mars.
10. ↑ Frank Morgan. Sphere Packing in Dimension 8  //  The Huffington Post . - 2016. - 21 mars.
11. ↑ Andreas Loos. Så stapeln Mathematiker Melonen  (tyska)  // Die Zeit . - 2016. - 21 mars.
12. ↑ Lisa Grossman. Nytt matematiskt bevis visar hur man staplar apelsiner i 24 dimensioner  // New Scientist  . - 2016. - 28 mars.
13. ↑ 12 Erica Klarreich . Sfärförpackning löst i högre dimensioner // Quanta  : Magazine. - 2016. - 30 mars.  
14. ↑ Natalie Wolchover. I datorer vi litar på?  (engelska)  // Quanta : Magazine. - 2013. - 22 februari.
15. ↑ Cohn, Kumar, Viller, Radchenko, Viazovska, 2017 .
16. ↑ Cantat, Cohen-Addad, Elias, Graner et al., 2013 .

Litteratur

• George Szpiro. Matematik: hänger bevisen ihop?  // Natur. - 2003. - Juli ( v. 424 ). - doi : 10.1038/424012a .
• Henry Cohn, Abhinav Kumar, Stephen D. Miller, Danylo Radchenko, Maryna Viazovska. Sfärproblemet packning i dimension 24. - 2017. - Februari. - arXiv : 1603.06518v2 .
• John Horton Conway , Neil James Alexander Sloane . Avsnitt 6.3 // Sfärpackningar, galler och grupper. - Springer, 1998. - T. 290. - (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften). — ISBN 0-387-98585-9 .
• William Barlow. Trolig natur av kristallernas inre symmetri // Naturen. - 1883. - T. 29 .
• Isabelle Cantat, Sylvie Cohen-Addad, Florence Elias, François Graner, Reinhard Höhler, Ruth Flatman, Olivier Pitois. Skum, struktur och dynamik. - Oxford: Oxford University Press, 2013. - ISBN 9780199662890 .

Länkar

• P. Krishna & D. Pandey, "Close-Packed Structures" International Union of Crystallography av University College Cardiff Press. Cardiff, Wales. PDF Arkiverad 29 augusti 2017 på Wayback Machine
• D.K. Ett nytt pussel: placera bollar i en kub  // Kvant . - 1990. - Nr 5 . - S. 82 .
• på Sphere Packing . Grunch.net. Hämtad 12 juni 2014. Arkiverad från originalet 20 mars 2015. (obestämd)