Konstant Catalana

Den katalanska konstanten är ett tal som finns i olika tillämpningar av matematik - i synnerhet i kombinatorik . Oftast betecknad med bokstaven G , mindre ofta - K eller C. Det kan definieras som summan av en alternerande serie med oändliga tecken :

G=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}={\frac {1} {1^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2 }}}+\dots

Dess numeriska värde är ungefär [1] :

G = 0,915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774 … (sekvens A006752 i OEIS )

Det är inte känt om G är ett rationellt eller irrationellt tal.

Catalana-konstanten fick sitt namn efter den belgiske matematikern Eugène Charles Catalan ( franska: Eugène Charles Catalan ).

Relation till andra funktioner

Den katalanska konstanten är ett specialfall av Dirichlets betafunktion :

G=\beta (2).

Det motsvarar också det särskilda värdet av Clausen-funktionen , som är relaterad till den imaginära delen av dilogaritmen

G=\operatörsnamn {Cl} _{2}(\pi /2)=\operatörsnamn {Im} \left(\operatörsnamn {Li} _{2}(e^{i\pi /2})\ höger)=\operatörsnamn {Im} {\big (}\operatörsnamn {Li} _{2}(i){\big )}.

Dessutom är det associerat med värdena för trigammafunktionen (ett specialfall av polygammafunktionen ) för bråkargument

\psi _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)=\pi ^{2}+8G,

\psi _{1}\left({\tfrac {3}{4}}\right)=\pi ^{2}-8G,

så

G={\tfrac {1}{16}}\left[\psi _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)-\psi _{1}\left( {\tfrac {3}{4}}\right)\right].

Simon Pluff hittade ett oändligt antal identiteter mellan trigammafunktionenochden katalanska konstanten G . $\psi_{1}$ $\pi ^{2}$

Den katalanska konstanten kan också uttryckas i termer av partiella värden för Barnes G-funktionen och gammafunktionen :

G=4\pi \ln \left({\frac {G({\tfrac {3}{8)))G({\tfrac {7}{8)))}{G({\tfrac {1}{8)))G({\tfrac {5}{8))))}\höger)+4\pi \ln \left({\frac {\Gamma ({\tfrac {3}{8) ))}{\Gamma ({\tfrac {1}{8))))}\right)+{\frac {\pi }{2))\ln \left({\frac {1+{\sqrt { 2}}}{2(2-{\sqrt {2}})))}\höger).

Integral representationer

Nedan är några integralrepresentationer av den katalanska konstanten G i termer av integraler av elementära funktioner :

G=-\int _{0}^{1}{\frac {\ln t}{1+t^{2))}\,dt,

G=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}y^{2}}}\,dx\ ,dy,

G={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {t}{\sin t}}\,dt,

G=\int _{0}^{1}{\frac {\arctan x}{x}}\,dx,

G={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{\cosh x}}\,dx.

Det kan också representeras genom integralen av den fullständiga elliptiska integralen av det första slaget K( x ):

G={\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\mathrm {K} (x)\,dx.

Snabb konvergent serie

Följande formler innehåller snabbt konvergerande serier och är användbara för numeriska beräkningar:

G={\frac {\pi }{8}}\ln({\sqrt {3}}+2)+{\frac {3}{8}}\summa _{n=0}^{ \infty }{\frac {(n!)^{2}}{(2n)!(2n+1)^{2}}}

och

$G=$	$3\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{4n))}\left(-{\frac {1}{2(8n+2)^{ 2))}+{\frac {1}{2^{2}(8n+3)^{2))}-{\frac {1}{2^{3}(8n+5)^{2} }}+{\frac {1}{2^{3}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{4}(8n+7)^{2}}} +{\frac {1}{2(8n+1)^{2}}}\höger)-{}$
	${}-2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{12n}}}\left({\frac {1}{2^{4}( 8n+2)^{2))}+{\frac {1}{2^{6}(8n+3)^{2))}-{\frac {1}{2^{9}(8n+ 5 )^{2}}}-{\frac {1}{2^{10}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{12}(8n+7) ^ {2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+1)^{2}}}\höger).$

Den teoretiska motiveringen för användningen av denna typ av serier gavs av Srīnivāsa Rāmānujan Iyengar för den första formeln [2] och av David J. Broadhurst för den andra formeln [3] . Algoritmer för snabb beräkning av den katalanska konstanten byggdes av E. A. Karatsuba [4] [5] .

Fortsatt bråk

Den fortsatta fraktionen av den katalanska konstanten (sekvens A014538 i OEIS ) är som följer:

G=[0;1,10,1,8,1,88,4,1,1,7,22,1,2,3,26,1,11,1,10,1,9, 3,1,1,1,1,1,1,\dots ]=

=0+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{8+\ldots ))))))) }}\;

Följande generaliserade fortsatta fraktioner för den katalanska konstanten är kända:

2G=2-{\cfrac {1}{3+{\cfrac {2^{2}}{1+{\cfrac {2^{2}}{3+{\cfrac {4^{2 }}{1+{\cfrac {4^{2}}{3+{\cfrac {6^{2}}{1+{\cfrac {6^{2}}{3+{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {4n^{2}}{1+{\cfrac {4n^{2}}{3+\dots )))))))))))))))))) ))))} }}}

2G=1+{\cfrac {1}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {1^{2}}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {1\cdot 2}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {2^{2}}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {2\cdot 3}{ {\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {3^{2}}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^ {2}}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {n\cdot (n+1)}{{\cfrac {1}{2}}+\dots }}}}}}} }}}}}}}}}}}

[6]

Beräknar decimalsiffror

Antalet kända signifikanta siffror i den katalanska konstanten G har ökat markant under de senaste decennierna, tack vare både ökad datorkraft och förbättrade algoritmer [7] .

Antal kända signifikanta siffror i den katalanska konstanten G

datumet	Antal signifikanta siffror	Beräkningsförfattare
1865	fjorton	Eugene Charles Catalan
1877	tjugo	James Whitbread Lee Glaisher
1913	32	James Whitbread Lee Glaisher
1990	20 000	Greg J Fee
1996	50 000	Greg J Fee
1996, 14 augusti	100 000	Greg J. Fee och Simon Plouff
1996, 29 september	300 000	Thomas Papanikolaou
1996	1 500 000	Thomas Papanikolaou
1997	3 379 957	Patrick Demichel
1998, 4 januari	12 500 000	Xavier Gourdon
2001	100 000 500	Xavier Gourdon och Pascal Sebah
2002	201 000 000	Xavier Gourdon och Pascal Sebah
oktober 2006	5 000 000 000	Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo [8]
2008 augusti	10 000 000 000	Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo [9]
31 januari 2009	15 510 000 000	Alexander J. Yee & Raymond Chan [10]
16 april 2009	31 026 000 000	Alexander J. Yee & Raymond Chan [10]

Se även

Anteckningar

↑ Katalanska konstant till 1 500 000 platser (HTML). gutenberg.org. Hämtad 5 februari 2011. Arkiverad från originalet 24 september 2009. (obestämd)
↑ B. C. Berndt, Ramanujans anteckningsbok, del I, Springer Verlag (1985).
↑ DJ Broadhurst, " Polylogarithmic ladders, hypergeometric series and the ten millionth siffror of ζ(3) and ζ(5) Archived 13 July 2019 at the Wayback Machine ", (1998) arXiv math.CA/9803067.
↑ EA Karatsuba. Snabb beräkning av transcendentala funktioner // Problem med informationsöverföring. - 1991. - T. 27 , nr 4 . - S. 87-110 .
↑ E. A. Karatsuba, Snabb beräkning av några speciella integraler av matematisk fysik. Scientific Computing, Validated Numerics, Interval Methods, W. Krämer, J. W. von Gudenberg, red.; pp. 29-41 (2001).
↑ Steven R. Finch Matematiska konstanter 1.6.6
↑ X. Gourdon, P. Sebah, Constants and Records of Computation Arkiverad 15 januari 2011 på Wayback Machine
↑ Shigeru Kondos webbplats Arkiverad 11 februari 2008.
↑ Konstanter och beräkningsregister . Hämtad 6 februari 2011. Arkiverad från originalet 15 januari 2011. (obestämd)
↑ 12 stora beräkningar . Hämtad 6 februari 2011. Arkiverad från originalet 9 december 2009. (obestämd)

Länkar

Victor Adamchik, 33 representationer för katalanska konstant
Victor Adamchik. En viss serie förknippad med katalanska konstant // Zeitschr . f. Analysis und ihre Anwendungen (ZAA): tidskrift. - 2002. - Vol. 21 , nr. 3 . - S. 1-10 .
Simon Plouffe, Några identiteter (III) med katalanska arkiverade 20 april 2009 på Wayback Machine , (1993)
Simon Plouffe, Några identiteter med katalansk konstant och Pi² Arkiverad 21 april 2009 på Wayback Machine , (1999)
Weisstein, Eric W. Catalan's Constant (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
Katalansk konstant: Generaliserad effektserie vid Wolfram Functions
Greg Fee, Catalan's Constant (Ramanujan's Formula) (1996)
David M. Bradley. En klass av serieaccelerationsformler för katalanska konstant // The Ramanujan Journal : journal. - 1999. - Vol. 3 , nr. 2 . - S. 159-173 . - doi : 10.1023/A:1006945407723 .
David M. Bradley (2007), En klass av serieaccelerationsformler för katalanska konstant, arΧiv : 0706.0356 .

Siffror med egennamn

Matematiska konstanter

Algebraisk

Transcendental ,
förmodligen transcendental

Tusen grader

Gamla ryska siffror

Övriga tiopotenser

tolv makter

Annan helhet

Andra nummer

imaginär enhet