Projektiv modell

Den projektiva modellen ( Klein -modellen , Beltrami-Klein- modellen) är en Lobachevsky-geometrimodell som föreslagits av den italienske matematikern Eugenio Beltrami . Den tyske matematikern Felix Klein utvecklade det självständigt.

Med dess hjälp bevisas konsistensen av Lobachevskys geometri under antagandet om konsistensen av euklidisk geometri .

Historik

Denna modell föreslogs av Beltrami , tillsammans med Poincaré -modellen och pseudosfärmodellen [1]

Ännu tidigare, 1859, byggde Cayley denna modell . Men han ansåg det bara som en viss konstruktion i projektiv geometri och märkte tydligen inte något samband med icke-euklidisk geometri . 1869 introducerades en ung (20-årig) Klein för sitt arbete . Han minns att han 1870 gav en rapport om Cayleys arbete vid ett Weierstrass -seminarium och, som han skriver, "avslutade det med att fråga om det fanns ett samband mellan Cayleys och Lobatsjovskys idéer. Jag fick ett svar att det här är två system som är långt ifrån varandra i koncept. Som Klein säger: "Jag lät mig övertalas av dessa invändningar och la undan tanken som redan hade mognat." Men 1871 återvände han till denna idé, formaliserade den matematiskt och publicerade [2] .

Modell

Lobachevsky-planet representeras i denna modell av en öppen skiva som avgränsas av någon cirkel , kallad det absoluta . Punkterna i det absoluta, även kallade "idealpunkter", tillhör inte längre Lobatsjovskijplanet. Den raka linjen i Lobatsjovsky-planet är ett ackord av de absoluta sammanbindande två idealpunkterna.

Lobachevsky-geometrins rörelser i den projektiva modellen är deklarerade projektiva transformationer av planet, som översätter det inre av det absoluta till sig självt. Kongruenta är siffrorna inom det absoluta, översatta till varandra genom sådana rörelser. Om punkterna och ligger på ackordet så att deras ordning på linjen , då avståndet i Lobachevsky-planet definieras som $A$ $B$ $PQ$ $PABQ$ $\ell (A,B)$

\ell (A,B)={\frac {R}{2}}\,{{\rm {ln}}}(PQ;BA)

där betecknar det dubbla förhållandet , är krökningsradien för Lobachevsky-planet. $(PQ;BA)$ $R$

Anteckningar

Varje fakta av euklidisk geometri som beskrivs på ett sådant språk representerar något faktum av Lobatsjovskijs geometri. Med andra ord är varje påstående om Lobatjovskijs icke-euklidiska geometri på planet inget annat än ett uttalande om euklidisk geometri på planet, med hänvisning till figurerna inuti cirkeln, återberättade i de angivna termerna.

Det euklidiska axiomet om paralleller är helt klart inte uppfyllt i denna modell, eftersom det genom en punkt som inte ligger på ett givet ackord passerar hur många ackord som helst som inte skär det. $O$ $a$

Egenskaper

De ackord som möts på gränscirkeln motsvarar asymptotiskt parallella linjer .

Två ackord är vinkelräta om, utsträckt utanför skivan, var och en passerar genom den andras pol ( ackordets pol är skärningspunkten för tangenterna till det absoluta i ackordets ändpunkter). Korden som passerar genom skivans mitt har en pol i oändligheten vinkelrät mot kordans riktning (därav följer att de räta vinklarna på diametrarna inte är förvrängda).

Cirklar i modellen blir ellipser ;
Horocyklerna motsvarar en ellips som har kontakt med det absoluta av ordning 4.
Den ekvidistanta linjen motsvarar ellipsbågarna som berör det absoluta vid två absoluta punkter på denna linje.

Litteratur

Klein F. Om den så kallade icke-euklidiska geometrin. I samlingen: Foundations of Geometry, M., GITTL, 1956.
Shafarevich I. R., Remizov A. O. Linjär algebra och geometri, kap. XII - Fizmatlit, Moskva, 2009.

Anteckningar

↑ Eugenio Beltrami, Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante, Annali. di Mat., ser II, 2 (1868), 232-255.
↑ Shafarevich I. R., Remizov A. O. Linjär algebra och geometri, kap. XII, par. 2, - Fizmatlit, Moskva, 2009.