Skillnadsschema

Ett skillnadsschema är ett ändligt system av algebraiska ekvationer associerade med något differentialproblem som innehåller en differentialekvation och ytterligare villkor (till exempel randvillkor och/eller initialfördelning ). Således används skillnadsscheman för att reducera ett differentialproblem, som har en kontinuumkaraktär, till ett ändligt system av ekvationer, vars numeriska lösning är i grunden möjlig på datorer. Algebraiska ekvationer associerade med en differentialekvation erhålls med hjälp av skillnadsmetoden , som skiljer teorin om skillnadsscheman från andra numeriska metoder för att lösa differentialproblem (till exempel projektionsmetoder som Galerkinmetoden ).

Lösningen av skillnadsschemat kallas den ungefärliga lösningen av differentialproblemet.

Även om den formella definitionen inte lägger betydande begränsningar på formen av algebraiska ekvationer, är det i praktiken meningsfullt att endast beakta de scheman som på något sätt motsvarar ett differentialproblem. Viktiga begrepp i teorin om skillnadsscheman är begreppen konvergens, approximation, stabilitet och konservatism.

Egenskaper för skillnadsscheman

Låt oss presentera följande notation:

u(t)

är den exakta lösningen av differentialekvationen.

u_{h}(t)

- exakt lösning av skillnadsschemat

{\tilde {u}}_{h}(t)

- numerisk lösning av skillnadsschemat (med avrundning)

Då har uppgiften följande egenskaper:

\|u(t+\Delta t)-u(t)\|

- ansvarig för uppgiftens villkor (konditionering) (En analog till villkorlighet för difurer är stabilitet i betydelsen dynamiska system , Lyapunov-stabilitet används ofta )

och den numeriska lösningen har följande egenskaper:

\|u_{h}(t)-u(t)\|

- ansvarig för approximationen av problemets skillnadsschema ( konsistens , de:Konsistenz_(Numerik) )

\|{\tilde {u}}_{h}(t)-u_{h}(t)\|

- ansvarig för stabiliteten hos skillnadsschemat i den numeriska lösningen (stabilitet)

\|{\tilde {u}}_{h}(t)-u(t)\|

- ansvarig för konvergensen av den numeriska lösningen (till den exakta lösningen) (konvergens)

Approximation

Det sägs att en differentialoperator definierad på funktioner definierade i domänen approximeras på en viss klass av funktioner av en ändlig skillnadsoperator definierad på funktioner definierade på ett rutnät beroende på steget om konvergensvillkoret är uppfyllt $L(u)$ $u$ $D\subset {\mathbb {R}}^{N}$ $u\i U$ $R_{h}(u_{h})$ $u_{h}$ $h$

||L(u)-R_{h}(u_{h})||\till 0,\ \ h\till 0\ \ \ (\förallt u\i U).

En approximation sägs vara av noggrannhetsordningen if $k$

||L(u)-R_{h}(u_{h})||\leq h^{k}M,\ \ h\till 0\ \ \ (\förallt u\in U),

där är en konstant som beror på den specifika funktionen , men som inte beror på steget . Normen som används ovan kan vara annorlunda, och begreppet approximation beror på dess val. En diskret analog till normen för enhetlig kontinuitet används ofta : $M$ $u\i U$ $h$

||u_{h}||=\max _{{n}}|u_{h}(x_{n})|,

ibland används diskreta analoger av integralnormer [1] [2] .

Exempel . Approximation av en operator med en finit differensoperator $L(u)=u_{{xx}}$

R_{h}(u_{h})(x_{i})={\frac {u_{i+1}-2u_{i}+u_{i-1}}{h^{2}} },\quad u_{i}=u(x_{i}),\quad x_{i+1}=x_{i}+h,

på ett begränsat intervall har andra ordningens noggrannhet på klassen av jämna funktioner . $D\subset {\mathbb {R}}$ $U=C^{4}(D)$

Bevis

Använder Taylor-formeln

u_{n \pm 1} = u_n \pm h u_x(x_n) + \frac{h^2}{2} u_{xx}(x_n) \pm \frac{h^3}{3!} u_{xxx }(x_n) + \frac{h^4}{4!} u_{xxxx}(x_n+\xi_{\pm}), \quad \xi_{\pm} \in (0, \pm h),

resulterar i en uppskattning:

{\bigl |}u_{{xx}}(x_{n})-R_{h}(u_{h})(x_{n}){\bigr |}={\frac {1}{h^{ 2}}}\,{\bigl |}u_{{n+1}}-2u_{{n}}+u_{{n-1}}-h^{2}u_{{xx}}(x_{ n}){\bigr |}={\frac {h^{2}}{4!}}\,{\Bigl |}u_{{xxxx}}(x_{n}+\xi _{{+} })+u_{{xxxx}}(x_{n}+\xi _{{-}}){\Bigr |}\leq {\frac {h^{2}}{4!}}\,C,

var är en konstant

C=2\sup \limits _{{x\in D}}|u_{{xxxx}}(x)|<\infty .

Ett ändligt differensproblem approximerar ett differentialproblem, och approximationen har en noggrannhetsordning om både själva differentialekvationen och gränsvillkoren (och initiala) villkoren approximeras av motsvarande ändliga differensoperatorer med en noggrannhetsordning som inte är lägre än . $k$ $k$

Exempel . Approximation av värmeekvationen (partiellt differensschema) med en finit differensekvation , där $u_{{t}}-u_{{xx}}=0$ $R_{h}(u_{h})=0$

R_{h}(u_{h})(t_{m},x_{n})={\frac {u_{n}^{{m+1}}-u_{n}^{{m}}} {\Delta t))-{\frac {u_{{n+1}}^{m}-2u_{{n}}^{m}+u_{{n-1}}^{m}}{h ^{2}}},

u_{j}^{i}=u(t_{i},x_{j}),\quad t_{{i+1}}=t_{{i}}+\Delta t,\quad x_{{j +1}}=x_{{j}}+h,\quad \Delta t=\sigma h^{2},\quad \sigma =const>0,

har den andra ordningen av noggrannhet i koordinat och den första ordningen av noggrannhet i tid på klassen av -släta funktioner. $C^{4}$

Hållbarhet

Approximationsförhållanden räcker inte för att resultatet av skillnadsschemat ska närma sig det exakta svaret för h→0 . I fallet med kretsar vars koefficienter inte beror på lösningen av differentialekvationen måste stabilitetsvillkoret vara uppfyllt. Sådana kretsar kan representeras som någon slags linjär operator som omvandlar funktionsvärdena vid tidpunkten t till funktionsvärdena vid tidpunkten t+h . Stabilitetsvillkoret kräver att egenvärdena ( komplex i allmänhet ) för denna operator inte överstiger 1+ch i modul , där c>0 är någon konstant , eftersom h→0 . Om detta villkor inte är uppfyllt ökar kretsfelen snabbt och resultatet blir sämre ju mindre steget är.

Konvergens

Konvergensen av en numerisk lösning förstås som dess konvergens till den exakta lösningen när rutnätsteget h minskar.

\lim _{h\to 0+}\|{\tilde {y}}_{h}(t)-y(t_{n})\|=0.

(I betydelsen rutnätsnormen)

Om både approximationsvillkoret och stabilitetsvillkoret är uppfyllda, så konvergerar resultatet av skillnadsschemat till lösningen av en differentialekvation ( Filippov-Ryaben'kii-satsen ). [1] [3] I utländsk litteratur kallas denna sats " Lax ekvivalenssatsen (en) ".

Courants skick

Courant-tillståndet, eller Courant-Friedrichs-Levy-kriteriet (CFL) — utbredningshastigheten för störningar i ett differensproblem bör inte vara mindre än i ett differentiellt. Om detta villkor inte är uppfyllt kan det hända att resultatet av skillnadsschemat inte tenderar att lösa differentialekvationen. Med andra ord, i ett tidssteg ska partikeln inte "rinna igenom" mer än en cell.

I fallet med kretsar vars koefficienter inte beror på lösningen av differentialekvationen, följer Courant-villkoret av stabilitet.

För hyperboliska ekvationssystem tar detta tillstånd ofta formen

$\tau \leq \min \left({\frac {h}{|\lambda |_{{max}}}}\höger)$

( är tidssteget, är det rumsliga rutnätssteget, är det maximala modulo-egenvärdet vid punkten. Minimum tas över alla punkter i rutnätet.) $\tau$ $h$ $|\lambda |_{{max}}$

Klassificering av system

Explicita scheman

Explicita kretsar beräknar värdet av en rutnätsfunktion från angränsande punktdata. Ett exempel på ett explicit schema för differentiering: (andra ordningen för approximation). Explicita scheman är ofta instabila. $f'(x)={\frac {f(x+h)-f(xh)}{2h))$

Enligt Godunovs teorem finns det inga monotona bland de linjära skillnadsscheman för transportekvationen med en approximationsordning högre än den första.

Implicita scheman

Implicita scheman använder ekvationer som uttrycker data i termer av flera intilliggande resultatpunkter. För att hitta resultatet löses ett system av linjära ekvationer. Ett exempel på ett implicit schema för strängekvationen: . Implicita scheman är vanligtvis stabila. $f(x,t+h)-2f(x,t)+f(x,th)=f(x+h,t+h)-2f(x,t+h)+f(xh,t+h) )$

Semi-implicita scheman

I vissa steg används ett explicit schema, vid andra ett implicit (som regel växlar dessa steg).
Exempel - Crank-Nicholson-schema, när beslutet tas som genomsnittet av de explicita och implicita beslutsschemana för att förbättra noggrannheten

Kompakta kretsar

Kompakta diagram använder ekvationer som relaterar resultatvärden på flera intilliggande punkter till datavärden på flera intilliggande punkter. Detta gör det möjligt att öka ordningen på approximationen. Ett exempel på ett kompakt schema för differentiering: (4:e approximationsordningen). ${\frac {1}{6}}f'(xh)+{\frac {2}{3}}f'(x)+{\frac {1}{6}}f'(x+h)= {\frac {f(x+h)-f(xh)}{2h))$

Konservativa system

När skillnadsschemat uppfyller samma integralförhållanden (till exempel bevarande av energi, entropi) som den ursprungliga differentialekvationen, då talar man om konservatismens egenskap. Konservativa system presenteras vanligtvis i divergerande form.

Exempel på konservativa scheman för hydrodynamik är Samarskys schema , Belotserkovskys metod för stora partiklar .

Schema på offset rutnät

I dessa rutnätsscheman, där resultatet sätts och data förskjuts från varandra. Till exempel är resultatpunkterna i mitten mellan datapunkterna. I vissa fall tillåter detta användning av enklare randvillkor.

Se även

Länkar

"Difference Schemes" - Wikibooks kapitel om "Difference Schemes for Hyperbolic Equations"
Demyanov A. Yu., Chizhikov D. V. Implicit hybrid monotont skillnadsschema av andra ordningens noggrannhet
Ryaben'kiy V. S. , Filippov A. F. Om stabiliteten hos differensekvationer. — M .: Gostekhizdat, 1956.
Godunov S. K. , Ryaben'kiy V. S. Introduktion till teorin om skillnadsscheman. — M .: Fizmatgiz, 1962.
Babenko K. I. Grunderna för numerisk analys. — M .: Nauka, 1986.
Berezin I. S. , Zhidkov N. P. Computational methods, - Vilken utgåva som helst.
Bakhvalov N. S. , Zhidkov N. P., Kobelkov G. M. Numeriska metoder, - Vilken upplaga som helst.
Marchuk GI Metody vychislitel'noi matematiki [Methods of computational mathematics]. — M .: Nauka, 1977.
Shishkin GI Grid approximationer av singulärt störda elliptiska och paraboliska ekvationer. - Jekaterinburg: Ryska vetenskapsakademins Ural-gren, 1992. - ISBN 5-7691-0159-8 .

Anteckningar

↑ 1 2 Ryaben'kii V. S., Filippov A. F. Om differensekvationers stabilitet. M., Gostekhizdat, 1956.
↑ Godunov S.K., Ryabenky V.S. Introduktion till teorin om skillnadsscheman. Moskva: Fizmatgiz, 1962.
↑ Babenko K.I. Grunderna för numerisk analys. M.: Vetenskap. 1986.

Ändlig skillnadsmetod
Allmänna artiklar	Ändlig skillnadsmetod skillnadsschema skillnadsekvation
Typer av skillnadsscheman	Euler-metoden Runge-Kutta-metoden Adams metod Werlet integration Tidsdomän ändlig skillnadsmetod