Gruppexpansion

En grupptillägg är en grupp som innehåller den givna gruppen som en normal undergrupp av . I förlängningsproblemet ges som regel en normal undergrupp och en kvotgrupp , och en förlängning söks så att , eller motsvarande, så att det finns en kort exakt sekvens : $N$ $F$ $G\supset N$ $G/N\cong Q$ $G$

1\to N\to G\to Q\to 1

I det här fallet sägs det vara en förlängning av [1] (ibland används en annan formulering: gruppen är en förlängning av [2] [3] ). $G$ $F$ $N$ $G$ $N$ $F$

En förlängning kallas en central förlängning om undergruppen ligger i mitten av gruppen . $N$ $G$

Exempel

Grupper är också tillägg med . $\mathbb {Z} _{4}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2))$ ${\mathbb {Z}}_{2}$ ${\mathbb {Z}}_{2}$

En uppenbar förlängning är en direkt produkt : om , då är både en förlängning av och . Om är en halvdirekt produkt av grupperna och ( ), då är en förlängning med . $G=K\ gånger H$ $G$ $H$ $K$ $G$ $K$ $H$ $G=K\rtider H$ $G$ $H$ $K$

Kransprodukter från grupper ger ytterligare exempel på tillägg.

Egenskaper

Om vi kräver det och är Abeliska grupper , då är uppsättningen av isomorfismklasser för förlängningen av en grupp med en given (Abelisk) grupp , i själva verket en grupp som är isomorf till : $G$ $F$ $F$ $N$

\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(Q,N)

( Ext funktör ). Vissa andra allmänna klasser av förlängningar är kända, men det finns ingen teori som tar hänsyn till alla möjliga förlängningar samtidigt, i denna mening brukar problemet med gruppförlängning anses vara svårt.

Eftersom varje finit grupp har en maximal normal undergrupp med en enkel faktorgrupp , kan alla finita grupper konstrueras som sammansättningsserier , där varje grupp är en förlängning av någon enkel grupp . Detta faktum har blivit ett av de viktiga incitamenten för att lösa problemet med klassificering av enkla ändliga grupper . $G$ $N$ $G/N$ $\{A_{i}\}$ $A_{{i+1}}$ $A_{i}$

Klassificering av tillägg

Att lösa förlängningsproblemet innebär att klassificera alla förlängningar av en grupp med , eller, mer specifikt, uttrycka alla sådana förlängningar i termer av matematiska enheter som är enklare i någon mening (lätt att beräkna eller välförstådd). I allmänhet är denna uppgift mycket svår, och alla de mest användbara resultaten klassificerar tillägg som uppfyller vissa ytterligare villkor. $H$ $K$

För klassificeringsproblemet är ett viktigt begrepp ekvivalensen av extensions; tillägg sägs vara:

1\to K{\stackrel {i}{{}\to {}}}G{\stackrel {\pi}{{}\to {}}}H\to 1

och

1\to K{\stackrel {i'}{{}\to {}}}G'{\stackrel {\pi '}{{}\to {}}}H\to 1

är ekvivalenta (eller kongruenta) om det finns en gruppisomorfismsom gördiagrammet kommutativt : $T:G\to G'$

Det räcker faktiskt med en homomorfismgrupp. På grund av diagrammets antagna kommutativitet tvingas kartläggningen att vara en isomorfism av det korta lemmat på fem homomorfismer .

Det kan hända att förlängningarna och inte är likvärdiga, utan är isomorfa som grupper. Till exempel finns det icke-ekvivalenta förlängningar av Klein-fyrgruppen med [4] , men det finns, upp till isomorfism, endast fyra grupper av ordning 8 som innehåller en normal ordningsundergrupp med en kvotgrupp som är isomorf till Klein-fyrgruppen . $1\to K\to G\to H\to 1$ $1\to K\to G^{\prime }\to H\to 1$ $G$ $G'$ $åtta$ ${\mathbb {Z}}/2{\mathbb {Z}}$ $2$

Triviala tillägg

En trivial förlängning är en förlängning:

1\to K\to G\to H\to 1

vilket motsvarar tillägget:

1\till K\till K\ gånger H\till H\till 1

där vänster och höger pilar är inkludering och projektion av varje faktor , respektive . $K\ gånger H$

Klassificeringar av delade tillägg

En delad förlängning är en förlängning:

1\to K\to G\to H\to 1

med en sådan homomorfism att övergång från till med och sedan tillbaka till genom faktormappningen av en kort exakt sekvens genererar identitetsmappingen på , det vill säga . I den här situationen brukar man säga att de delar upp ovanstående exakta sekvens . $s\colon H\to G$ $H$ $G$ $s$ $H$ $H$ $\pi \circ s=\mathrm {id} _{H}$ $s$

Delade tillägg är mycket lätta att klassificera, eftersom en tillägg delas om och endast om gruppen är en halvdirekt produkt av och . Semidirekta produkter är i sig lätta att klassificera, eftersom de motsvarar en-till-en homomorfismer , där är automorfismgruppen . $G$ $K$ $H$ $H\to \operatörsnamn {Aut} (K)$ $\operatörsnamn {Aut} (K)$ $K$

Central expansion

Den centrala expansionen av en gruppär den korta exakta sekvensen av grupper $G$

1\to A\to E\to G\to 1

sådan som ligger i ( gruppens mitt ). Uppsättningen av isomorfismklasser av centrala gruppförlängningar med (där agerar trivialt på ) är en en-till-en-korrespondens med kohomologigruppen . $A$ $Z(E)$ $E$ $G$ $A$ $G$ $A$ $H^{2}(G,A)$

Exempel på centrala förlängningar kan konstrueras genom att ta vilken grupp som helst och vilken Abelisk grupp som helst , inställning lika med . Den här typen av delat exempel (en delad förlängning i betydelsen förlängningsproblemet, eftersom det är en undergrupp av ) är av föga intresse, eftersom det motsvarar ett element i enligt ovanstående korrespondens. Mer allvarliga exempel finns i teorin om projektiva representationer i fall där projektiva representationer inte kan lyftas till vanliga linjära representationer . $G$ $A$ $E$ $A\times G$ $G$ $E$ $0$ $H^{2}(G,A)$

I fallet med finita perfekta grupper finns det en universell perfekt central förlängning .

På liknande sätt är den centrala förlängningen av Lie-algebra den exakta sekvensen $\mathfrak{g}$

0\rightarrow {\mathfrak {a}}\rightarrow {\mathfrak {e}}\rightarrow {\mathfrak {g}}\rightarrow 0,

en som är i mitten . $\mathfrak{a}$ ${\mathfrak {e))$

Det finns en allmän teori om centrala förlängningar i Maltsev-varieteter [5] .

Lögngrupper

I Lie- gruppteorin uppstår centrala förlängningar i samband med algebraisk topologi . Grovt sett är centrala förlängningar av Lie-grupper med diskreta grupper detsamma som att täcka grupper . Närmare bestämt är ett anslutet täckande utrymme för en ansluten Lie-grupp en naturlig central förlängning av gruppen , med projektionen ${\displaystyle G^{\ast ))$ $G$ $G$

\pi \colon G^{*}\to G

är en homomorfismgrupp och är surjektiv. (Strukturen av en grupp beror på valet av att kartlägga identitetselementet till identitetselementet .) Till exempel, när är gruppens universella täckning , är kärnan den grundläggande gruppen i gruppen , som är känd för att vara abelisk ( H-mellanrum ). Omvänt, om en Lie-grupp och en diskret central undergrupp ges , är kvotgruppen en Lie-grupp och är dess täckande utrymme. $G^{\star }$ $G$ $G^{\star }$ $G$ $\pi$ $G$ $G$ $Z$ $G/Z$ $G$

Mer allmänt, om grupperna , och i den centrala förlängningen är Lie-grupper och mappningarna mellan dem är Lie-grupphomomorfismer, då om Lie-algebra i gruppen är , algebra är , och algebra är , då är den centrala förlängningen av the Lie algebra av . I teoretisk fysiks terminologi kallas algebrageneratorer för centralladdningar . Dessa generatorer ligger i mitten av algebra . Enligt Noethers teorem motsvarar generatorer av symmetrigrupper bevarade kvantiteter och kallas laddningar . $A$ $E$ $G$ $G$ $\mathfrak g$ $A$ ${\mathfrak a}$ $E$ ${\mathfrak {e))$ ${\mathfrak {e))$ $\mathfrak g$ $\mathbf {a}$ ${\mathfrak a}$ ${\mathfrak {e))$

Grundläggande exempel på centrala förlängningar som täckande grupper:

spinorgrupper , som dubbelt täcker de speciella ortogonala grupperna , som (i jämn dimension) dubbelt täcker den projektiva ortogonala gruppen ;
metaplektiska grupper som täcker symplektiska grupper två gånger .

Fallet involverar den fundamentala gruppen, som är en oändlig cyklisk grupp ; här är den centrala förlängningen välkänd från teorin om modulära former för fallet med former med vikt . Den motsvarande projektiva representationen är Weyl-representationen konstruerad från Fouriertransformen , i detta fall, på den reella axeln . Metaplektiska grupper förekommer också inom kvantmekaniken . $SL_{2}(\mathbf {R} )$ ${\tfrac {1}{2))$

Se även

Lie Algebra Extension
Ringförlängning
Algebra Virasoro
HNN extension
Topologisk gruppförlängning

Anteckningar

↑ I allmän algebra antas oftast en strukturförlängning vara en struktur i vilken är en understruktur, därför definieras i synnerhet en fältförlängning ; men i gruppteorin (möjligen på grund av notationen ) har en annan terminologi etablerats, och fokus ligger inte på , utan på kvotgruppen , så man tror att den utökas med hjälp av . $K$ $L\upprörd K$ $K$ $\operatorname {Ext} (Q,N)$ $N\subset G$ $F$ $F$ $N$
↑ Anmärkning 2.2. . Hämtad 15 mars 2019. Arkiverad från originalet 26 maj 2019. (obestämd)
↑ Brown, Porter, 1996 , sid. 213–227.
↑ Dummit, Foote, 2004 , sid. 830.
↑ Janelidze, Kelly, 2000 .

Litteratur

David S. Dummit, Richard M. Foote. abstrakt algebra. - tredje upplagan. - Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc., 2004. - ISBN 0-471-43334-9 .
McLane S. Homology. — M .: Mir, 1966.
Taylor RL Täcker grupper av icke anslutna topologiska grupper // Proceedings of the American Mathematical Society. - 1954. - T. 5 . — S. 753–768 .
Brown R., Mucuk O. Täcker grupper av icke-anslutna topologiska grupper återbesökt // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. - 1994. - T. 115 . — s. 97–110 .
Brown R., Porter T. Om Schreier-teorin om icke-abelska förlängningar: generaliseringar och beräkningar // Proceedings of the Royal Irish Academy. - 1996. - T. 96A . — S. 213–227 .
Janelidze G., Kelly GM Centrala förlängningar i Maltsev-varianter // Theory and Applications of Categories. - 2000. - T. 7 . — S. 219–226 .
Morandi PJ Group Extensions och $H^{3}$ .
Gruppförlängningar . Gruppnamn . Tillträdesdatum: 14 juni 2019. (obestämd)