En grupptillägg är en grupp som innehåller den givna gruppen som en normal undergrupp av . I förlängningsproblemet ges som regel en normal undergrupp och en kvotgrupp , och en förlängning söks så att , eller motsvarande, så att det finns en kort exakt sekvens :
.I det här fallet sägs det vara en förlängning av [1] (ibland används en annan formulering: gruppen är en förlängning av [2] [3] ).
En förlängning kallas en central förlängning om undergruppen ligger i mitten av gruppen .
Grupper är också tillägg med .
En uppenbar förlängning är en direkt produkt : om , då är både en förlängning av och . Om är en halvdirekt produkt av grupperna och ( ), då är en förlängning med .
Kransprodukter från grupper ger ytterligare exempel på tillägg.
Om vi kräver det och är Abeliska grupper , då är uppsättningen av isomorfismklasser för förlängningen av en grupp med en given (Abelisk) grupp , i själva verket en grupp som är isomorf till :
( Ext funktör ). Vissa andra allmänna klasser av förlängningar är kända, men det finns ingen teori som tar hänsyn till alla möjliga förlängningar samtidigt, i denna mening brukar problemet med gruppförlängning anses vara svårt.
Eftersom varje finit grupp har en maximal normal undergrupp med en enkel faktorgrupp , kan alla finita grupper konstrueras som sammansättningsserier , där varje grupp är en förlängning av någon enkel grupp . Detta faktum har blivit ett av de viktiga incitamenten för att lösa problemet med klassificering av enkla ändliga grupper .
Att lösa förlängningsproblemet innebär att klassificera alla förlängningar av en grupp med , eller, mer specifikt, uttrycka alla sådana förlängningar i termer av matematiska enheter som är enklare i någon mening (lätt att beräkna eller välförstådd). I allmänhet är denna uppgift mycket svår, och alla de mest användbara resultaten klassificerar tillägg som uppfyller vissa ytterligare villkor.
För klassificeringsproblemet är ett viktigt begrepp ekvivalensen av extensions; tillägg sägs vara:
och
är ekvivalenta (eller kongruenta) om det finns en gruppisomorfismsom gördiagrammet kommutativt :
Det räcker faktiskt med en homomorfismgrupp. På grund av diagrammets antagna kommutativitet tvingas kartläggningen att vara en isomorfism av det korta lemmat på fem homomorfismer .
Det kan hända att förlängningarna och inte är likvärdiga, utan är isomorfa som grupper. Till exempel finns det icke-ekvivalenta förlängningar av Klein-fyrgruppen med [4] , men det finns, upp till isomorfism, endast fyra grupper av ordning 8 som innehåller en normal ordningsundergrupp med en kvotgrupp som är isomorf till Klein-fyrgruppen .
En trivial förlängning är en förlängning:
,vilket motsvarar tillägget:
,där vänster och höger pilar är inkludering och projektion av varje faktor , respektive .
En delad förlängning är en förlängning:
med en sådan homomorfism att övergång från till med och sedan tillbaka till genom faktormappningen av en kort exakt sekvens genererar identitetsmappingen på , det vill säga . I den här situationen brukar man säga att de delar upp ovanstående exakta sekvens .
Delade tillägg är mycket lätta att klassificera, eftersom en tillägg delas om och endast om gruppen är en halvdirekt produkt av och . Semidirekta produkter är i sig lätta att klassificera, eftersom de motsvarar en-till-en homomorfismer , där är automorfismgruppen .
Den centrala expansionen av en gruppär den korta exakta sekvensen av grupper
sådan som ligger i ( gruppens mitt ). Uppsättningen av isomorfismklasser av centrala gruppförlängningar med (där agerar trivialt på ) är en en-till-en-korrespondens med kohomologigruppen .
Exempel på centrala förlängningar kan konstrueras genom att ta vilken grupp som helst och vilken Abelisk grupp som helst , inställning lika med . Den här typen av delat exempel (en delad förlängning i betydelsen förlängningsproblemet, eftersom det är en undergrupp av ) är av föga intresse, eftersom det motsvarar ett element i enligt ovanstående korrespondens. Mer allvarliga exempel finns i teorin om projektiva representationer i fall där projektiva representationer inte kan lyftas till vanliga linjära representationer .
I fallet med finita perfekta grupper finns det en universell perfekt central förlängning .
På liknande sätt är den centrala förlängningen av Lie-algebra den exakta sekvensen
en som är i mitten .
Det finns en allmän teori om centrala förlängningar i Maltsev-varieteter [5] .
I Lie- gruppteorin uppstår centrala förlängningar i samband med algebraisk topologi . Grovt sett är centrala förlängningar av Lie-grupper med diskreta grupper detsamma som att täcka grupper . Närmare bestämt är ett anslutet täckande utrymme för en ansluten Lie-grupp en naturlig central förlängning av gruppen , med projektionen
är en homomorfismgrupp och är surjektiv. (Strukturen av en grupp beror på valet av att kartlägga identitetselementet till identitetselementet .) Till exempel, när är gruppens universella täckning , är kärnan den grundläggande gruppen i gruppen , som är känd för att vara abelisk ( H-mellanrum ). Omvänt, om en Lie-grupp och en diskret central undergrupp ges , är kvotgruppen en Lie-grupp och är dess täckande utrymme.
Mer allmänt, om grupperna , och i den centrala förlängningen är Lie-grupper och mappningarna mellan dem är Lie-grupphomomorfismer, då om Lie-algebra i gruppen är , algebra är , och algebra är , då är den centrala förlängningen av the Lie algebra av . I teoretisk fysiks terminologi kallas algebrageneratorer för centralladdningar . Dessa generatorer ligger i mitten av algebra . Enligt Noethers teorem motsvarar generatorer av symmetrigrupper bevarade kvantiteter och kallas laddningar .
Grundläggande exempel på centrala förlängningar som täckande grupper:
Fallet involverar den fundamentala gruppen, som är en oändlig cyklisk grupp ; här är den centrala förlängningen välkänd från teorin om modulära former för fallet med former med vikt . Den motsvarande projektiva representationen är Weyl-representationen konstruerad från Fouriertransformen , i detta fall, på den reella axeln . Metaplektiska grupper förekommer också inom kvantmekaniken .