Rotor (differentialoperatör)

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 5 oktober 2021; verifiering kräver 21 redigeringar .

Rotor , rotation eller virvelvind är en vektordifferentialoperator över ett vektorfält .

Indikeras på olika sätt:

$\operatörsnamn{rot}$ (vanligast i ryskspråkig [1] litteratur),
$\operatörsnamn{curl}$ (i engelskspråkig litteratur, föreslagen av Maxwell [2] ),
$\mathbf {\nabla } \times$ — som en differentialoperator nabla , vektoriellt multiplicerad med ett vektorfält, det vill säga för ett vektorfält, kommer resultatet av rotoroperatorns verkan, skrivet i denna form, att vara vektorprodukten av nabla-operatorn och detta fält: . $\mathbf {F}$ $\mathbf {\nabla } \times \mathbf {F}$

Resultatet av rotoroperatörens verkan på ett specifikt vektorfält kallas fältrotorn eller helt enkelt rotorn och är ett nytt vektorfält [3] : $\mathbf {F}$ $\mathbf {F}$ $\mathbf {F}$

\operatorname {rot} \mathbf {F} \equiv \mathbf {\nabla } \times \mathbf {F}

Fältet (vektorns längd och riktning vid varje punkt i rymden) kännetecknar i en viss mening ( se nedan ) fältets rotationskomponent vid motsvarande punkter. $\operatorname {rot} \mathbf {F}$ $\operatorname {rot} \mathbf {F}$ $\mathbf {F}$

Definition

Rotorn för ett vektorfält är en vektor vars projektion i varje riktning är gränsen för förhållandet mellan vektorfältets cirkulation längs konturen , vilket är kanten på ett plant område , vinkelrätt mot denna riktning, till värdet av denna area (area), när storleken på området tenderar till noll, och själva området drar ihop sig till punkt [4] : $\operatorname {rot} \mathbf {a}$ $\mathbf {a}$ $\operatorname {rot} _{\mathbf {n} }\mathbf {a}$ $\mathbf n$ $L$ $\Delta S$

\operatorname {rot} _{\mathbf {n} }\mathbf {a} =\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\oint \limits _{L}\mathbf {a\ cdot \,dr} }{\Delta S))

Konturens rörelseriktning väljs så att konturen, sedd i riktningen , förflyttas medurs [5] . $\mathbf n$ $L$

Operationen som definieras på detta sätt existerar strängt taget endast för vektorfält över tredimensionellt utrymme. För generaliseringar till andra dimensioner, se nedan .

En alternativ definition kan vara en direkt beräkningsdefinition av en differentialoperator, som reducerar till

\operatorname {rot} \mathbf {a} =\nabla \times \mathbf {a}

som kan skrivas i specifika koordinater som visas nedan .

Ibland kan du stöta på en sådan alternativ [6] definition [7]

\operatorname {rot} \mathbf {a} {\Big |}_{O}=\lim _{S\to O}{\frac {\oint \limits _{S}[\mathbf {a} \times d\mathbf {S} ]}{V}}

, var är punkten där fältets rotor bestäms ,

O

\mathbf {a}

S

- någon sluten yta som innehåller en punkt inuti och som krymper till den i gränsen,

O

d\mathbf {S}

är vektorn för ett element på denna yta, vars längd är lika med arean av ytelementet, ortogonal mot ytan vid en given punkt, tecknet betecknar en vektorprodukt,

\ gånger

V

är volymen inuti ytan .

S

Denna sista definition är sådan att den omedelbart ger rotorvektorn, utan att behöva definiera projektionerna på de tre axlarna separat.

Intuitiv bild

Om är hastighetsfältet för gas (eller vätskeflöde), så är en vektor proportionell mot vinkelhastighetsvektorn för ett mycket litet och lätt dammkorn (eller kula) i flödet (och medbringas av rörelsen av gas eller vätska; även om kulans mitt kan fixeras om så önskas, bara så att den fritt kan rotera runt den). $\mathbf {v} (x,y,z)$ $\operatorname {rot} \mathbf {v}$

Närmare bestämt , var är denna vinkelhastighet. $\operatorname {rot} \mathbf {v} =2{\boldsymbol {\omega }}$ ${\boldsymbol {\omega ))$

För en enkel illustration av detta faktum, se nedan .

Denna analogi kan dras ganska noggrant ( se nedan ). Den grundläggande definitionen av cirkulation som ges ovan kan anses likvärdig med den som sålunda erhållits.

Uttryck i specifika koordinater

Rotorformel i kartesiska koordinater

I ett tredimensionellt kartesiskt koordinatsystem beräknas rotorn (enligt definitionen ovan) enligt följande (här betecknad med ett vektorfält med kartesiska komponenter , och är orts av kartesiska koordinater): $\mathbf {F}$ $(F_{x},F_{y},F_{z})$ $\mathbf e_x, \mathbf e_y, \mathbf e_z$

\operatorname {rot} (F_{x}\mathbf {e} _{x}+F_{y}\,\mathbf {e} _{y}+F_{z}\mathbf {e} _{ z})={}

= \left( \partial_y F_z - \partial_z F_y \right) \mathbf e_x+ \left( \partial_z F_x - \partial_x F_z \right) \mathbf e_y+ \left( \partial_x F_y - \partial_y F_x \höger) \_math ekv

\equiv \left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {e } _{x}+\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf { e} _{y}+\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {e}_{z}

eller

(\operatörsnamn {rot} \mathbf {F} )_{x}=\partial _{y}F_{z}-\partial _{z}F_{y}\equiv {\frac {\partial F_ {z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}

(\operatörsnamn {rot} \mathbf {F} )_{y}=\partial _{z}F_{x}-\partial _{x}F_{z}\equiv {\frac {\partial F_ {x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}

(\operatörsnamn {rot} \mathbf {F} )_{z}=\partial _{x}F_{y}-\partial _{y}F_{x}\equiv {\frac {\partial F_ {y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}

(vilket kan betraktas som en alternativ definition, väsentligen sammanfallande med definitionen i början av avsnittet, åtminstone under förutsättning att fältkomponenterna är differentierbara).

För enkelhetens skull kan vi formellt representera rotorn som vektorprodukten av nabla-operatören (till vänster) och vektorfältet:

\operatorname {rot} \mathbf {F} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}\partial _{x}\\\partial _{y}\\ \partial _{z}\end{pmatrix}}\times \mathbf {F} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e} _{x}&\mathbf {e} _{y}&\mathbf {e } _{z}\\\partial _{x}&\partial _{y}&\partial _{z}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}

(den sista likheten representerar formellt vektorprodukten som en determinant ).

Rotorformel i kurvlinjära koordinater

Ett bekvämt allmänt uttryck för en rotor, lämpligt för godtyckliga kurvlinjära koordinater i 3D-rymden, är att använda Levi-Civita-tensorn (med upphöjda, nedsänkta och Einsteins summeringsregel ):

{\displaystyle (\operatörsnamn {rot} \mathbf {v} )_{i}=\varepsilon _{ijk}g^{jm}\nabla _{m}v^{k))

där är koordinatnotationen för Levi-Civita-tensorn, inklusive faktorn , är den metriska tensorn i representationen med upphöjda skrifter, , och är de kovarianta derivatorna av de kontravarianta koordinaterna för vektorn . $\varepsilon_{ijk}$ ${\sqrt {g))$ $g^{jm}$ $g\equiv \det(g_{rs})$ ${\displaystyle \nabla _{m}v^{k))$ ${\mathbf v}$

Detta uttryck kan också skrivas om som:

{\displaystyle (\operatörsnamn {rot} \mathbf {v} )^{n}=g^{ni}\varepsilon _{ijk}g^{jm}\nabla _{m}v^{k))

Rotorformel i ortogonala kurvlinjära koordinater

\operatorname {rot} \mathbf {A} =\operatörsnamn {rot} (\mathbf {q_{1}} A_{1}+\mathbf {q_{2}} A_{2}+\mathbf {q_ {3}}A_{3})=

{}={\frac {1}{H_{2}H_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}(A_{3}H_{3 })-{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}(A_{2}H_{2})\right]\mathbf {q_{1}} \ +

{}+{\frac {1}{H_{3}H_{1}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}(A_{1}H_{1 })-{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}(A_{3}H_{3})\right]\mathbf {q_{2}} \ +

{}+{\frac {1}{H_{1}H_{2}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}(A_{2}H_{2 })-{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}(A_{1}H_{1})\right]\mathbf {q_{3}}

{}={\frac {1}{H_{1}H_{2}H_{3}}}{\begin{vmatrix}\mathbf {(} H_{1}{e}_{1}) &\mathbf {(} H_{2}{e}_{2})&\mathbf {(} H_{3}{e}_{3})\\{\frac {\partial }{\partial \mathbf {q} _{1))}&{\frac {\partial }{\partial \mathbf {q} _{2))}&{\frac {\partial }{\partial \mathbf {q} _{3 }}}\\(A_{1}H_{1})&(A_{2}H_{2})&(A_{3}H_{3})\end{vmatrix}}

var är Lame-koefficienterna . $Hej$

Generaliseringar

En generalisering av krullen som tillämpas på vektor- (och pseudovektorfält) på utrymmen med godtycklig dimension (förutsatt att utrymmets dimension sammanfaller med fältvektorns dimension) är ett antisymmetriskt tensorfält med valens två, vars komponenter är likvärdig:

(\operatorname {rot} \mathbf {F} )_{ij}=\partial _{i}F_{j}-\partial _{j}F_{i}\equiv {\frac {\partial F_ {j}}{\partial x_{i}}}}-{\frac {\partial F_{i}}{\partial x_{j}}}

Samma formel kan skrivas i termer av den yttre produkten med nabla-operatorn:

\operatorname {rot} \mathbf {F} =\nabla \wedge \mathbf {F}

För ett tvådimensionellt plan kan en liknande formel med en pseudoskalär produkt användas (en sådan krull kommer att vara en pseudoskalär, och dess värde sammanfaller med projektionen av den traditionella vektorprodukten på normalen till detta plan, om den är inbäddad i ett tredimensionellt euklidiskt rum).

Om strukturen för ett komplext utrymme (med koordinat ) introduceras på ett tvådimensionellt reellt utrymme (med koordinater och ) och tvådimensionella vektorfält skrivs som komplext värderade funktioner , då använder man differentiering med avseende på en komplex variabel $x$ $y$ $z=x+iy$ $F Z)$

{\frac {\partial {}}{\partial z}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial {}}{\partial x}}-i{ \frac {\partial {}}{\partial y}}\right)

rotorn och divergensen (och de kommer att förbli reella tal) kan skrivas på följande sätt:

\operatörsnamn {rot} f=2\operatörsnamn {Im} {\frac {\partial f}{\partial z))

\operatörsnamn {div} f=2\operatörsnamn {Re} {\frac {\partial f}{\partial z))

Grundläggande egenskaper

Rotoroperationen är linjär över konstantfältet: för alla vektorfält och och för alla tal (konstant) och $\mathbf {F}$ $\mathbf {G}$ $a$ $b$

\operatörsnamn {rot} (a\mathbf {F} +b\mathbf {G} )=a\operatörsnamn {rot} \mathbf {F} +b\operatörsnamn {rot} \mathbf {G}

Om är ett skalärt fält (funktion) och är vektor, då: $\varphi$ $\mathbf {F}$

\operatorname {rot} (\varphi \mathbf {F} )=\operatörsnamn {grad} \varphi \times \mathbf {F} +\varphi \operatorname {rot} \mathbf {F}

\nabla \times (\varphi \mathbf {F} )=(\nabla \varphi )\times \mathbf {F} +\varphi (\nabla \times \mathbf {F} )

Om fältet är potentiellt är dess rotor lika med noll (fältet är irroterande): $\mathbf {F}$ $\mathbf {F}$

\mathbf {F} =\operatörsnamn {grad} \varphi \implies \operatörsnamn {rot} \mathbf {F} ={\boldsymbol {0))

Det omvända är sant lokalt [8] : om fältet är irroterande så är det lokalt (i tillräckligt små områden) potentiellt (det vill säga det finns ett sådant skalärt fält som kommer att vara dess gradient): $\varphi$ $\mathbf {F}$

\operatörsnamn {rot} \mathbf {F} ={\boldsymbol {0}}\implies \mathbf {F} =\operatörsnamn {grad} \varphi

Således kan olika vektorfält ha samma rötor. I det här fallet kommer de nödvändigtvis att skilja sig åt med ett irrotationsfält (det vill säga lokalt med gradienten för något skalärt fält).

Rotorns divergens är noll (rotorfältet är divergensfritt):

\operatörsnamn {div} \operatörsnamn {rot} \mathbf {F} =0

\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {F} )=0

Den omvända egenskapen gäller också lokalt - om fältet är divergensfritt är det lokalt rotorn för något fält , kallat dess vektorpotential : $\mathbf {F}$ $\mathbf {G}$

\operatörsnamn {div} \mathbf {F} =0\implies \mathbf {F} =\operatörsnamn {rot} \mathbf {G}

Divergensen av korsprodukten av två vektorfält uttrycks i termer av deras rotorer med formeln:

\operatörsnamn {div} (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=(\operatörsnamn {rot} \mathbf {F} )\cdot \mathbf {G} -\mathbf {F} \cdot \operatörsnamn {rot} \mathbf {G}

Således, om och är irroterande vektorfält, kommer deras vektorprodukt att vara divergenslös och kommer lokalt att ha en vektorpotential. Till exempel, om , och , är det lätt att hitta vektorpotentialen för :

F

G

\mathbf {F} =\nabla f

\mathbf {G} =\nabla g

\mathbf {F} \times \mathbf {G}

\mathbf {F} \times \mathbf {G} =\operatörsnamn {rot} (f\nabla g)

. Lokalt är varje divergensfritt vektorfält i en 3D-domän korsprodukten av två gradienter.

Rotorns krullning är lika med divergensgradienten minus Laplacian:

\operatörsnamn {rot} \operatörsnamn {rot} \mathbf {F} =\operatörsnamn {grad} \operatörsnamn {div} \mathbf {F} -\Delta \mathbf {F}

Rotorn för fältens vektorprodukt är lika med:

\operatörsnamn {rot} (\mathbf {F\ gånger G} )=(\operatörsnamn {div} \mathbf {G} )\mathbf {F} -(\operatörsnamn {div} \mathbf {F} )\ mathbf {G} +\nabla _{\mathbf {G} }\mathbf {F} -\nabla _{\mathbf {F} }\mathbf {G}

Fysisk tolkning

När ett kontinuerligt medium rör sig ges fördelningen av dess hastigheter (det vill säga vätskeflödeshastighetsfältet) nära punkten O av Cauchy-Helmholtz formel:

\mathbf {v} (\mathbf {r} )=\mathbf {v} _{O}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} +\nabla \varphi +o(\ mathbf {r} )

där är vektorn för vinkelrotation av elementet i mediet vid punkten , och är den kvadratiska formen av koordinaterna, är deformationspotentialen för elementet i mediet. ${\boldsymbol {\omega ))$ $O$ $\varphi$

Således består rörelsen av ett kontinuerligt medium nära en punkt av translationsrörelse (vektor ), rotationsrörelse (vektor ) och potentiell rörelse—deformation (vektor ). Genom att tillämpa rotordriften på Cauchy- Helmholtz- jämlikhetsmiljöelementetformeln får vi att vid den punkt som $O$ $\mathbf {v} _{O}$ ${\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r}$ $\nabla\varphi$ $O$ $\operatorname {rot} \mathbf {v} =2{\boldsymbol {\omega }}$

Som en intuitiv bild, som beskrivits ovan, här kan du använda idén om rotationen av en liten dammfläck som kastas in i flödet (medbringas av flödet med sig själv, utan dess märkbara störning) eller om rotationen av en liten en placerad i flödet med en fast axel (utan tröghet, roterad av flödet, märkbart utan att förvränga det) hjul med raka (ej spiralformade) blad. Om den ena eller den andra, när man tittar på den, roterar moturs, betyder det att rotorvektorn för flödeshastighetsfältet vid denna punkt har en positiv projektion mot oss.

Kelvin-Stokes formel

Cirkulationen av en vektor längs en sluten kontur, som är gränsen för en viss yta, är lika med flödet av denna vektors rotor genom denna yta:

\oint \limits _{\partial S}\mathbf {F} \cdot \,\mathbf {dl} =\int \limits _{S}(\operatörsnamn {rot} ~\mathbf {F} )\ cdot \mathbf {dS}

Ett specialfall av Kelvin-Stokes formel för en plan yta är innehållet i Greens teorem .

Exempel

I detta kapitel, för enhetsvektorer längs axlarna för (rektangulära) kartesiska koordinater, kommer vi att använda notationen $\mathbf e_x, \mathbf e_y, \mathbf e_z.$

Ett enkelt exempel

Betrakta ett vektorfält beroende på koordinaterna och så: $\mathbf {F}$ $x$ $y$

\mathbf{F}(x,y)=y\mathbf e_x - x \mathbf e_y

I förhållande till detta exempel är det lätt att se att , var är radievektorn, och , det vill säga fältet kan betraktas som hastighetsfältet för punkterna i en stel kropp som roterar med en vinkelhastighet av enhet i storlek , riktad i axelns negativa riktning (det vill säga medurs, om du tittar "uppifrån" - mot axeln ). Intuitivt är det mer eller mindre uppenbart att fältet vrids medurs. Om vi placerar ett hjul med blad i en vätska som strömmar med sådana hastigheter (det vill säga roterar som helhet medurs), var som helst, kommer vi att se att det kommer att börja rotera medurs. (För att bestämma riktningarna använder vi, som vanligt, regeln för höger hand eller höger skruv ). $\mathbf {F} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r}$ $\mathbf {r}$ ${\boldsymbol {\omega }}=-1\mathbf {e} _{z}$ $\mathbf {F}$ $z$ $z$
$z$ -komponenten i fältet antas vara lika med noll. Men om den inte är noll, men konstant (eller till och med bara beroende på ) - kommer resultatet för rotorn som erhålls nedan att vara detsamma. $\mathbf {F}$ $z$

Låt oss beräkna rotorn:

\mathbf{\nabla} \times \mathbf{F} =0 \mathbf e_x + 0 \mathbf e_y+ \left[ {\frac{\partial}{\partial x))(-x) -{\frac{\partial }{\partial y)) y \right] \mathbf e_z = -2\mathbf e_z

Som väntat sammanföll riktningen med axelns negativa riktning . I det här fallet visade sig rotorn vara en konstant, det vill säga fältet visade sig vara homogent, oberoende av koordinaterna (vilket är naturligt för rotationen av en stel kropp). Vad är underbart $z$ $\mathbf{\nabla} \times \mathbf{F}$

vätskans rotationshastighet, beräknad från rotorn och befunnits vara exakt lika , matchade exakt vad som anges i den fysiska tolkningsparagrafen , det vill säga det här exemplet är en bra illustration av det faktum som anges där $\operatörsnamn {rot}{\mathbf F}/2$ . (Naturligtvis ger beräkningar som helt upprepar ovanstående, men bara för icke-enhetlig vinkelhastighet, samma resultat ). $\mathbf {\nabla } \times \mathbf {F} =2{\boldsymbol {\omega }}$

Vinkelhastigheten för rotation i detta exempel är densamma vid vilken punkt som helst i rymden (rotationsvinkeln för ett dammkorn limmat på en solid kropp beror inte på platsen där dammkornet limmas). Rotorplotten är därför inte alltför intressant: $\mathbf {F}$

Ett mer komplext exempel

Betrakta nu ett lite mer komplext vektorfält [9] :

{\displaystyle \mathbf {F} (x,y)=-x^{2}\mathbf {e} _{y))

Hans schema:

Vi kanske inte ser någon rotation, men tittar vi närmare till höger ser vi ett större fält vid, säg, punkt än vid punkt . Om vi skulle installera ett litet skovelhjul där, skulle det större flödet på höger sida få hjulet att rotera medurs, motsvarande skruvning i riktningen . Om vi skulle placera hjulet på vänster sida av fältet, skulle det större flödet på dess vänstra sida få hjulet att rotera moturs, motsvarande skruvning i riktningen . Låt oss kontrollera vår gissning med en beräkning: $x=4$ $x=3$ $-z$ $+z$

\mathbf{\nabla} \times \mathbf{F} = 0 \mathbf e_x + 0 \mathbf e_y + {\frac{\partial}{\partial x))(-x^2) \mathbf e_z = -2x \ mathbf e_z

I själva verket sker skruvning i riktning för negativ och för positiv , som förväntat. Eftersom denna rotor inte är densamma vid varje punkt, ser dess graf lite mer intressant ut: $+z$ $x$ $-z$ $x$

Det kan ses att grafen för denna rotor inte beror på eller (som den borde vara) och är riktad längs för positiv och i riktning för negativ . $y$ $z$ $-z$ $x$ $+z$ $x$

Förklarande exempel

I en tornado roterar vindarna runt mitten, och vektorfältet för vindhastigheter har en icke-nollrotor (någonstans) i den centrala regionen. (se virvelrörelse ). (Det är sant, närmare kanten någonstans kan rotorn också få ett nollvärde, se nedan ).
För vektorfältet för rörelsehastigheter för punkter i en roterande stel (absolut stel) kropp, är den densamma genom hela volymen av denna kropp och är lika med (vektor) två gånger rotationsvinkelhastigheten ( för detaljer, se ovan ) . I det speciella fallet med rent translationell rörelse eller vila kan denna rötor vara lika med noll, såväl som vinkelhastigheten, även för alla punkter på kroppen. ${\mathbf v}$ $\operatorname {rot} \mathbf {v}$
Om hastigheterna för bilar på banan beskrevs av ett vektorfält, och olika körfält hade olika hastighetsgränser, skulle rotorn vid gränsen mellan körfälten vara noll.
Faradays lag om elektromagnetisk induktion , en av Maxwells ekvationer , skrivs helt enkelt (i differentialform) genom rotorn: det elektriska fältets rotor är lika med förändringshastigheten för magnetfältet (med tiden) taget med motsatt tecken.
Maxwells fjärde ekvation - Ampère-Maxwell-lagen - är också skriven i differentialform med hjälp av en rotor: rotorn för den magnetiska fältstyrkan är lika med summan av de konventionella strömtätheterna och förskjutningsströmmen [10] .

Ett viktigt kontraintuitivt exempel

Man bör komma ihåg att rotorns riktning kanske inte motsvarar fältets rotationsriktning (låt det vara fältet för vätskehastigheter), vilket verkar uppenbart, motsvarande flödesriktningen. Den kan ha en riktning motsatt flödet, och i synnerhet kan rotorn visa sig vara lika med noll, även om strömlinjerna är böjda eller till och med representerar exakta cirklar). Med andra ord är krökningsriktningen för vektorlinjerna i ett vektorfält inte på något sätt relaterad till riktningen för vektorn för detta fälts rotor.

Låt oss överväga ett sådant exempel. Låt vätskeflödeshastighetsfältet definieras av formeln: ${\mathbf v}$

{\displaystyle \mathbf {v} =-f(y)\mathbf {e} _{x))

{\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {v} =f'(y)\mathbf {e} _{z))

Om , flödet bär partikeln från höger till vänster (det vill säga moturs för en observatör från ovan längs axeln ) , men om och är en minskande funktion, så är rotorn riktad nedåt överallt, vilket innebär att varje vätskepartikel är vriden medurs (medan också och deformerad). $f'(y)>0$ $z$ $f'(y)<0$ $f(y)$

Ovanstående innebär att mediet som helhet kan rotera runt betraktaren i en riktning, och var och en av dess små volymer kan rotera i motsatt riktning, eller inte rotera alls.

Anteckningar

↑ Även på tyska, varifrån, tydligen, denna beteckning kom in på ryska, och nästan överallt i Europa, förutom England, där en sådan beteckning anses "alternativ" (kanske på grund av dissonans: engelsk röta - röta, förfall) .
↑ O. Heaviside . Relationerna mellan magnetisk kraft och elektrisk ström Arkiverad 22 juli 2016 på Wayback Machine . // Elektrikern, 1882.
↑ Mer exakt - om - ett pseudo -vektorfält , då - ett vanligt vektorfält (vektor - polär), och vice versa, om fältet är ett fält av en vanlig (polär) vektor, då - ett pseudo-vektorfält. $\mathbf {F}$ $\operatorname {rot} \mathbf {F}$ $\operatorname {rot} \mathbf {F}$ $\mathbf {F}$ $\operatorname {rot} \mathbf {F}$
↑ Sammandragning till en punkt är en förutsättning, bara att tendera mot noll räcker inte, eftersom vi vill få fältkarakteristiken vid en viss punkt. $\Delta S$
↑ Den vanliga konventionen, överensstämmer med definitionen genom vektorprodukten med nabla-operatorn.
↑ Motsvarigheten av dessa definitioner, om gränsen finns och inte beror på metoden för sammandragning till en punkt, är synlig om vi väljer ytan av den andra definitionen i form av en cylindrisk yta med baser erhållna genom parallell överföring av plats för den första definitionen med ett mycket litet avstånd i två motsatta riktningar ortogonalt mot . I gränsen bör de närma sig snabbare än storleken på . Sedan delas uttrycket för den andra definitionen upp i två termer, en som innehåller integralen över sidoytan sammanfaller med den första definitionen, och den andra ger noll i projektionen på normalen till baserna, eftersom den själv är ortogonal mot den på baser. Man kan istället betrakta bara en liten parallellepiped som en yta, då är det inte så lätt att direkt strikt, men generellt är analogin tydlig. $S$ $\Delta S$ $\Delta S$ $\Delta S$ $\Delta S$ $d\mathbf {S}$
↑ Formellt liknar definitionen av divergens genom flöde genom en yta: $\operatorname {rot} \mathbf {a} {\Big |}_{O}=\lim _{S\to O}{\frac {\oint \limits _{S}(\mathbf {a} \cdot d\mathbf {S} )}{V}}$ .
↑ Lokalitetssatsen är viktig för det allmänna fallet när fälten som betraktas här och kan definieras på ett utrymme (manifold) eller domän av icke-trivial topologi, och när villkoren också är uppfyllda generellt sett på ett utrymme eller domän av icke-trivial topologi. trivial topologi. För fallet med ett euklidiskt utrymme eller dess enkelt sammankopplade region behövs inte lokalitetssatsen; Det vill säga, då finns det ett sådant skalärt fält som kommer att vara sant överallt i detta utrymme eller denna region. $\mathbf {F}$ $\varphi$ $\operatörsnamn {rot} \mathbf {F} ={\boldsymbol {0}}$ $\varphi$ $\mathbf {F} =\operatörsnamn {grad} \varphi$
↑ Den enklaste fysiska implementeringen av ett sådant fält (upp till en additiv konstant som inte påverkar beräkningen av rotorn, eftersom ; dessutom, om så önskas, kan denna konstant sättas till noll genom att byta till en referensram som är associerad med den snabbaste strömmande vatten i mitten av strålen) - laminärt flöde (viskös) vätska mellan två parallella solida plan vinkelrät mot axeln , under inverkan av ett enhetligt kraftfält (tyngdkraft) eller tryckskillnad. Vätskeflödet i ett rör med cirkulärt tvärsnitt ger samma beroende , därför är beräkningen av rotorn som anges nedan också tillämplig i detta fall (det enklaste sättet är att ta axeln som sammanfaller med rörets axel, och även om beroendet inte längre kommer att vara en konstant, kommer det att vara noll vid , som i huvudexemplet, det vill säga beräkningen och svaret för alla plan som passerar genom rörets axel är desamma, och detta löser problemet). $\operatörsnamn {rot} \mathrm {const} ={\boldsymbol {0}}$ $x$ $v_y(x)$ $y$ $\mathbf v (z)$ $\partial v_y/\partial z$ $z=0$
↑ Matematisk ordbok för högre utbildning. V. T. Vodnev, A. F. Naumovich, N. F. Naumovich

Se även

Differentialkalkyl

Main

privata vyer

Differentialoperatorer
( i olika koordinater )

Första beställning	Nabla-operatör Lutning Divergens Rotor Helmholtzian
andra beställning	Elliptisk operatör Laplace-operatör Laplace vektor operatör D'Alembert operatör Laplace-Beltrami operatör
högre order	Hypoelliptisk operatör

Relaterade ämnen