Vektor fält

Ett vektorfält är en mappning som associerar varje punkt i det aktuella utrymmet med en vektor med början vid denna punkt. Till exempel är vindhastighetsvektorn vid en given tidpunkt olika vid olika punkter och kan beskrivas av ett vektorfält.

Definition och variationer

Euklidiska rymden

Ett vektorfält på ett euklidiskt (eller pseudo-euklidiskt ) utrymme [1] definieras som en vektorfunktion av en punkt i rymden som mappar detta utrymme in i (på) sig själv [2] : ${\mathcal {E}}$

{\mathcal {F}}:{\mathcal {E}}\longrightarrow {\mathcal {E}}.

Det vill säga att varje punkt i rymden är associerad med en viss vektor (värdet av vektorfältet vid en given punkt i rymden). I det allmänna fallet skiljer sig denna vektor för olika punkter i rymden, det vill säga i det allmänna fallet tar vektorfältet olika värden på olika punkter i rymden. Vid varje punkt i rymden har fältvektorn ett visst värde och en viss (förutom de fall då fältet försvinner) riktning i detta utrymme [3] .

I litteraturen (särskilt i den äldre, såväl som i den fysiska), i förhållande till ett vektorfält på ett visst utrymme, används också prepositionen v ( det vill säga de säger både fältet på rymden och fältet i rymden).

Variation

Gilla avsnitt

Mer generellt, när det ursprungliga utrymmet är ett grenrör , definieras vektorfältet som en sektion av tangentbunten till det givna grenröret, d.v.s. en karta som mappar varje punkt till en vektor från tangentrymden till . $sid$ $X_{p}$ $sid$

Som operatör

Ett vektorfält på ett grenrör är en linjär operator som uppfyller produktregeln: $X$ $M$ $X:C^{\infty }(M)\högerpil C^{\infty }(M)$

X(f\cdot g)=f\cdot (Xg)+(Xf)\cdot g

för godtyckligt . $f,g\in C^{\infty }(M)$

I fysik

Inom fysiken har termen vektorfält , förutom den allmänna betydelsen som beskrivs ovan, en speciell betydelse, främst i förhållande till fundamentala fält ( se nedan ). Innebörden av denna användning kokar ner till det faktum att grundläggande fysiska fält klassificeras enligt deras potential, och en av dessa typer är vektorfält (som elektromagnetiska eller gluonfält ).

Notation

Ett vektorfält betecknas vanligtvis helt enkelt i enlighet med de konventioner som antagits för vektorer

i fysik görs detta vanligtvis med fetstil eller en pil ovanför bokstaven, till exempel,
- $\mathbf {E}$ eller ; ${\vec {v}}$
- för 4-vektorer är indexnotation traditionell, till exempel ; $A_{i}$
i den matematiska litteraturen som helhet finns det inga allmänt accepterade specialbeteckningar för vektorer i allmänhet och vektorfält i synnerhet.

Det är inte ovanligt att uttryckligen ange beroendet av en punkt i rymden [4] , till exempel:

\mathbf {B} (p),

var är en symbolisk beteckning på en punkt i rymden,

sid

eller

\mathbf {B} (\mathbf {r} ),

var är radievektorn som kännetecknar en punkt i rymden.

\mathbf {r}

Det är ganska vanligt att specificera ett vektorfält som en funktion av koordinater i det utrymme där fältet är definierat, till exempel:

{\vec {F}}(x,y,z)

eller (för ett tidsberoende fält):

{\vec {F}}(x,y,z,t).

Termens historia

Termen fält (tillsammans med begreppet fältlinjer ) ( eng. field, lines of force ) introducerades i fysiken av Michael Faraday omkring 1830 i studiet av elektromagnetiska fenomen .

Grunderna för den analytiska teorin om kraftfält utvecklades av Maxwell , Gibbs och Heaviside under andra hälften av 1800-talet.

Specialfall av vektorfält

Vektorfält på en rak linje

Vilken verklig funktion som helst av en reell variabel kan tolkas som ett endimensionellt vektorfält.

Vektorfält på planet

Om är radievektorn , som i det givna koordinatsystemet har formen , så beskrivs vektorfältet av en vektorfunktion av formen $\mathbf {r}$ $\mathbf {r} =(x,y)$

\mathbf {F} (\mathbf {r} )={\big (}F_{x}(x,y),F_{y}(x,y){\big )}.

Vektorfält i 3D-rymden

Om är radievektorn , som i det givna koordinatsystemet har formen , så beskrivs vektorfältet av en vektorfunktion av formen $\mathbf {r}$ $\mathbf {r} =(x,y,z)$

\mathbf {F} (\mathbf {r} )={\big (}F_{x}(x,y,z),F_{y}(x,y,z),F_{z}( x,y,z){\big )}.

I det tredimensionella rummet är följande egenskaper hos vektorfältet meningsfulla

Krökt integral

\int \limits _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {dl} =\int \limits _{C}F_{\tau }\,dl,

där punkten betyder den inre produkten, är vektorelementet för den krökta banan längs vilken integrationen sker, är projektionen på den (positiva) tangenten till den krökta banan, är det skalära elementet för banan (längdelementet), C är betongkurvan, integrationsvägen (antas vanligtvis vara tillräckligt jämn) . Den kanske enklaste fysiska prototypen av en sådan integral är arbetet med kraften som verkar på en punkt när punkten rör sig längs en given bana. $\mathbf {dl}$ ${\displaystyle F_{\tau ))$ $\mathbf {F}$ $dl$ $\mathbf {F}$

Upplaga

är integralen med sluten slinga:

\Gamma =\oint \limits _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {dl} =\oint \limits _{C}F_{\tau }\,dl,

där integranden sammanfaller med den som beskrivits precis ovan, och skillnaden ligger i integrationsvägen C , som i detta fall är sluten per definition, vilket indikeras av en cirkel på integraltecknet.

Vektorfältflöde

${\mathbf {F}}({\mathbf {r}})$ genom ytan S definieras som en integral över S :

\Phi _{F}=\iint \limits _{S}\mathbf {F} \cdot \mathbf {dS} =\iint \limits _{S}F_{n}\,dS,

där är projektionen av fältvektorn på normalen till ytan, är "ytans vektorelement", definierat som enhetens normalvektor multiplicerad med arealementet . Det enklaste exemplet på denna konstruktion är volymen vätska som passerar genom ytan S , när den strömmar med en hastighet F. $F_{n}$ $\mathbf {dS}$ $dS$

Derivat

Analogen till derivatan för ett vektorfält är tensorn av partiella derivator ( Jacobian ), som i kartesiska koordinater har formen

J={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial F_{x}}{\partial x}}(x,y,z)&{\dfrac {\partial F_{x}}{\partial y}}(x,y,z)&{\dfrac {\partial F_{x}}{\partial z}}(x,y,z)\\{\dfrac {\partial F_{y}}{\ partiell x))(x,y,z)&{\dfrac {\partial F_{y)){\partial y))(x,y,z)&{\dfrac {\partial F_{y)){\ partiell z))(x,y,z)\\{\dfrac {\partial F_{z)){\partial x))(x,y,z)&{\dfrac {\partial F_{z)){ \partial y}}(x,y,z)&{\dfrac {\partial F_{z}}{\partial z}}(x,y,z)\end{bmatrix}}.

Divergens

är spåret av en sådan tensor av derivator. Det beror inte på koordinatsystemet (det är en invariant av koordinattransformationer, en skalär ), och i rektangulära kartesiska koordinater beräknas den med formeln

\operatorname {div} \mathbf {F} ={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+ {\frac {\partial F_{z)){\partial z)).

Samma uttryck kan skrivas med den symboliska operatorn nabla :

\operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} .

Ostrogradsky-Gauss-satsen gör att man kan beräkna flödet av ett vektorfält med hjälp av volymintegralen för fältdivergensen.

Rotor

är vektorkarakteristiken för virvelkomponenten i vektorfältet. Detta är en vektor med koordinater

\operatorname {rot} \mathbf {F} =\left({\frac {\partial F_{z)){\partial y))-{\frac {\partial F_{y)){\partial z }}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\ höger)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\ mathbf {k} ,

där i , j och k är enhetsvektorerna för x- , y- och z -axlarna .

För att göra det lättare att komma ihåg kan du villkorligt representera rotorn som en vektorprodukt :

\operatorname {rot} \mathbf {F} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {F} .

Gradient

- den viktigaste och enklaste operationen som låter dig få ett vektorfält från ett skalärt fält . Vektorfältet som erhålls genom att tillämpa en sådan operation på ett skalärt fält f kallas gradienten av f :

\operatorname {grad} f=\left({\frac {\partial f}{\partial x)),{\frac {\partial f}{\partial y)),{\frac {\partial f }{\partial z))\right)\equiv {\frac {\partial f}{\partial x))\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y))\mathbf {j } +{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {k} ,

eller skriva med nabla :

\operatörsnamn {grad} f\equiv \nabla f.

Ett vektorfält vars divergens är noll överallt kallas solenoidal ; det kan representeras som en krullning av något annat vektorfält.

Ett vektorfält vars krullning är noll vid någon punkt kallas potential ( irrotations ); det kan representeras som gradienten för något skalärt fält (potential).

Helmholtz-satsen gäller : om ett vektorfält överallt i domänen D har en divergens och krullning, så kan detta fält representeras som summan av en potential och ett solenoidfält.

Ett vektorfält för vilket både divergensen och krullen är noll överallt kallas harmonisk ; dess potential är en harmonisk funktion .

Vektorlinjer

Integralkurva (även - vektorlinje , för kraftfält - kraftlinje , för fältet för vätska eller gashastighet - strömlinje ; de första termerna är generella, resten är deras synonymer beroende på sammanhanget) för fältet kallas en kurva , tangent till vilken i alla punkter på kurvan sammanfaller med fältets värde: ${\mathbf {F}}({\mathbf {r}})$ ${\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(t)$

{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\mathbf {F} {\big (}\mathbf {r} (t){\big )}.

För kraftfält visar kraftlinjer tydligt riktningen för fältkrafternas verkan.

Om i ett tillräckligt litet område av rymden fältet inte försvinner någonstans, då passerar en och endast en kraftlinje genom varje punkt i denna region. Punkter där fältvektorn är noll är singular, fältets riktning är inte definierad i dem, och kraftlinjernas beteende i närheten av dessa punkter kan vara annorlunda: det är möjligt att ett oändligt antal kraftlinjer passera genom en singulär punkt, men det är möjligt att ingen passerar.

Ett vektorfält kallas komplett om dess integralkurvor definieras på hela grenröret.

Vektorfält i n -dimensionellt utrymme

Alla konstruktioner och egenskaper som anges för vektorfält i tredimensionellt rymd kan direkt generaliseras till valfri ändlig rymddimension n .

Dessutom är de flesta av dessa generaliseringar ganska triviala, med undantag för definitionen av rotorn , för den korrekta konstruktionen av vilken man i ett godtyckligt n -dimensionellt fall, i motsats till det tredimensionella fallet, måste använda det yttre , och inte vektorprodukten (som endast definieras för det tredimensionella fallet). För n = 2 tar motsvarande operation formen av en pseudoskalär produkt .

Dessutom, i fallet med en godtycklig n , behövs en viss noggrannhet med definitionen av flödet. Huvuddefinitionerna visar sig vara helt analoga för ett flöde genom en hyperyta av dimension ( n − 1).

Fysiska exempel

Inom fysiken är typiska exempel på ett vektorfält kraftfält (ett kraftfält är ett fält med någon kraft (beroende på kroppens position i rymden på vilken denna kraft verkar) eller nära relaterat till fältstyrkans styrka ).

Andra typiska exempel är hastighetsfältet (till exempel flödeshastigheten för en vätska eller gas), förskjutningsfältet (till exempel i ett deformerat elastiskt medium) och många andra [5] , till exempel strömtäthetsvektorn , energiflödesvektor, eller flödestätheten för vissa materialpartiklar (till exempel vid diffusion), vektorn för temperatur, koncentration eller tryckgradient , och så vidare.

Några fler detaljer:

elektromagnetiskt fält . Detta fysiska fält ger flera exempel på vektorfält (i allmänhet tidsberoende) i gammal tredimensionell mening: fältet för intensitetsvektorn E , fältet för den magnetiska induktionsvektorn , vektorpotentialen (tredimensionell); även vektorfält i matematisk mening är deras funktioner, som till exempel Poynting-vektorn .
- Det elektromagnetiska fältet är ett exempel på ett vektorfält i en mer modern (fyrdimensionell) mening, som beskrivs i detalj nedan (se även Elektromagnetisk potential ).
- Ett specialfall av ett elektromagnetiskt fält - ett elektrostatiskt fält - ger ett av de enklaste och viktigaste exemplen på ett vektorfält (ett tredimensionellt vektorfält som inte är beroende av tid, i elektrostatik är det elektriska fältstyrkan).
- Ett annat intressant specialfall ges av magnetostatik , som utforskar ett vektorfält med något annorlunda egenskaper än elektrostatik - ett virvelfält med magnetisk fältstyrka eller magnetisk induktion, dessutom associerat med ett annat vektorfält - vektorpotentialfältet.

Gravitationsfält : i den klassiska Newtonska gravitationsteorin är gravitationsfältstyrkan ett vektorfält, formellt helt likt det elektriska fältstyrkafältet i elektrostatik, med undantag för skillnaden i numeriska koefficienter (konstanter), inklusive deras tecken. Observera att i den allmänna relativitetsteorin och teorierna som generaliserar den, är gravitationsfältet inte vektor, utan tensor , eftersom gravitationen bestäms av den metriska tensorn .

Hastighetsfältet för en vätska inom hydrodynamik eller en gas inom aerodynamik . Den hydrodynamiska analogin är den mest illustrativa för den fysiska förståelsen av de grundläggande konstruktionerna av vektoranalys. I den hydrodynamiska (hydrauliska) tolkningen är fältet hastighetsfältet i vätskan. Vektorfältet, i detta fall, motsvarar ett stadigt flöde (det vill säga fältet antas endast bero på rumsliga koordinater). Om flödet ändras med tiden, bör det beskrivas med ett variabelt vektorfält som beror på tiden.

Historiskt sett har hydrodynamik haft en enorm inverkan på bildandet av de grundläggande strukturerna för vektoranalys och själva terminologin. Alltså begrepp som t.ex

vektorfältflöde,
virvel ( rotor ) och vektorfältcirkulation,
effektivisera

och även, i en eller annan grad, många andra (praktiskt taget var och en av dem har, om inte ett hydrodynamiskt ursprung, så en hydrodynamisk tolkning).

Funktioner för användningen av termen i fysik

Generellt sett har termen vektorfält i fysiken samma betydelse som i matematik, som beskrivs ovan. I denna mening kan varje vektorvärderad fysisk storhet som är en funktion av en punkt i rymden, ofta också beroende av tid, kallas ett vektorfält.

Men det finns också en specifik tillämpning av denna term, som förekommer huvudsakligen i klassificeringen av grundläggande fysiska fält. I det här fallet betyder orden "vektorfält" att vektorfältet ( 4-vektor eller högre dimension, om vi har att göra med abstrakta flerdimensionella teoretiska modeller) är den mest fundamentala storheten - potentialen och inte dess derivator (fältstyrka och liknande). Så till exempel kallas ett elektromagnetiskt fält som ett vektorfält , vars potential är ett 4-vektorfält , medan dess styrka från en modern synvinkel är en tensor . Gravitationsfältet kallas i denna mening tensor, eftersom dess potential är ett tensorfält .

En praktisk synonym för ordet "vektorfält" i denna mening är termen vektorpartikel i modern fysik (även, om man delar dessa nära begrepp, talar man om en vektorpartikel som en excitation av ett vektorfält, eller för att uttrycka det mer traditionellt , är en vektorpartikel ett kvantum av ett vektorfält). En annan praktisk synonym är spin 1 partikel eller spin 1 fält .

Av de grundläggande fälten inkluderar vektor (i den angivna betydelsen) elektromagnetisk ( foton ), gluon (fält av starka interaktioner ), såväl som fältet för massiva vektorbosoner - bärare av den svaga interaktionen . Gravitationsfältet, till skillnad från de listade, är ett tensorfält .

Med den övervägda klassificeringen (klassificering enligt spinn av det fundamentala bosoniska fältet) är vissa egenskaper hos motsvarande fält direkt relaterade, till exempel att partiklar av samma laddning (relaterade till denna typ av interaktion) attraheras eller stöts bort när de interagerar genom detta fält är en sådan laddning densamma eller motsatt för partiklar och antipartiklar. Partiklar som interagerar genom ett vektorfält stöter bort varandra med samma laddning och attraherar med den motsatta, och partikel-antipartikelparet har en motsatt laddning till varandra (som i synnerhet i fallet med ett elektromagnetiskt fält) - i kontrast till gravitationsfältets och gravitationsladdningarnas egenskaper.

Anteckningar

↑ I princip kan ett vektorfält definieras på liknande sätt inte bara på ett euklidiskt eller pseudo-euklidiskt, utan också på ett godtyckligt linjärt eller affint utrymme, men vanligtvis antas rummet fortfarande vara ändligt dimensionellt, och det antas att skalär produkt definieras på den (nödvändig för att bestämma de grundläggande operationerna för vektoranalysen , såsom divergens , kurvlinjär integral , etc.); i fysiska tillämpningar är detta oftast det vanliga fysiska tredimensionella rummet eller fyrdimensionellt rumstid .
↑ Denna formella matematiska definition skiljer inte mellan basutrymmet och rymden av fältvektorer - eftersom den ena kan erhållas från den andra genom att multiplicera med ett tal ( skalär ). Ur fysikens synvinkel finns det en viss skillnad mellan dessa utrymmen, eftersom fältvektorn som regel mäts i andra måttenheter, så identiteten för huvudrymden och fältvektorernas utrymme är något godtycklig ( fältvektorn kan avbildas i huvudutrymmet, men längden på denna vektor kommer att vara villkorad). Men i alla fall, med den vanliga standardintroduktionen av konceptet med ett vektorfält, sammanfaller dimensionerna av dessa utrymmen, dessutom är fältvektorn bunden till huvudrummet i den meningen att fältvektorns riktning (om den inte är noll) bestäms helt i det utrymme som fältet ges, kan det expanderas i en bas (eller ram ) i detta huvudutrymme, även om expansionskoefficienterna och inte kommer att vara dimensionslösa (i betydelsen fysiska enheter) tal.
↑ Om vi betraktar ett fält som är beroende av tid (det vill säga förändras över tid), så förstås det att det antar ett specifikt specifikt värde (storlek och riktning) vid varje punkt i rummet vid varje specifik tidpunkt (och kl. olika tidpunkter, dessa värden generellt sett olika för en punkt).
↑ Naturligtvis, i det här fallet, om nödvändigt, kan det funktionella beroendet av vissa andra parametrar också indikeras, till exempel var är en punkt i rymden, är någon ytterligare parameter (till exempel laddningen för källan). ${\vec {E}}({\vec {r}},Q),$ ${\vec {r))$ $F$
↑ Dessa exempel kan vara mer fundamentala eller mindre, men i princip kan nästan alla vektorfysiska kvantiteter som beror på koordinater betraktas som ett vektorfält.

Litteratur

Borisenko AI, Tarapov IE Vektoranalys och principer för tensorkalkyl. - M . : Högre skolan, 1966, 251 sid.
Kumpyak D. E. Vektor- och tensoranalys. Arkiverad 27 februari 2014 på Wayback Machine universitet , 2007, 158 sid.
McConnel A. J. Introduktion till tensoranalys med tillämpningar inom geometri, mekanik och fysik. Arkivexemplar daterad 27 februari 2014 på Wayback Machine - M . : Fizmatlit, 1963, 411 sid.
Fikhtengolts G. M. Kurs i differential- och integralkalkyl, volym III. — M .: Nauka , 1966.