En serie ömsesidiga primtal

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 29 juni 2020; verifiering kräver 1 redigering .

Ett antal ömsesidiga primtal skiljer sig åt . Det är:

\sum _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{p}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{ \frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{ 17}}+\cdots=\infty

Detta faktum bevisades av Leonhard Euler 1737 [1] , vilket stärkte resultatet av Euklid (3:e århundradet f.Kr.) att det finns oändligt många primtal .

Det finns ett antal bevis på Eulers resultat, inklusive en uppskattning för den nedre gränsen för delsummor, som säger att

\sum _{\scriptstyle p{\text{primtal)) \atop \scriptstyle p\leq n}{\frac {1}{p))\geqslant \ln \ln(n+1)-\ln {\frac {\pi ^{2}}{6}}

för alla naturliga tal n . Den dubbla naturliga logaritmen (ln ln) indikerar att seriens divergens är mycket långsam. Se artikeln "Meissel-Mertens konstant" .

Harmonisk serie

Divergensen i denna serie bevisades av Euler. För att göra detta övervägde han den harmoniska serien :

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}} +{\frac {1}{4}}+\cdots =\infty$

Och även följande "identitet" , med vilken han också visade att uppsättningen av primtal är oändlig:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=\prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p}}+{ \frac {1}{p^{2}}}+\cdots \right)=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-1}}}$

Här tas produkten över alla primtal. Sådana oändliga produkter kallas idag Euler-produkter . Produkten ovan är en återspegling av aritmetikens grundsats . Euler märkte att om antalet primtal var ändliga, så skulle produkten till höger behöva konvergera, vilket motsäger divergensen i övertonsserien.

Bevis

Eulers bevis

För att fortsätta resonemanget som beskrivs ovan, tog Euler den naturliga logaritmen för varje sida. Han använde sedan Taylor-seriens expansion , såväl som konvergensen av inverspotensserier: ${\textstyle -\ln(1-x)=x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{ 4}}{4}}+\dots }$

{\begin{aligned}\ln \left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\right)&{}=\ln \left(\ prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-1))}\right)=-\summa _{p}\ln \left(1-{\frac {1}{p)) \right)\\&{}=\summa _{p}\left({\frac {1}{p}}+{\frac {1}{2p^{2}}}+{\frac {1} {3p^{3}}}+\cdots \right)\\&{}=\summa _{p}{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{2}}\summa _ {p}{\frac {1}{p^{2}}}+{\frac {1}{3}}\summa _{p}{\frac {1}{p^{3}}}+{ \frac {1}{4}}\sum _{p}{\frac {1}{p^{4}}}+\cdots \\&{}=A+{\frac {1}{2}}B+ {\frac {1}{3}}C+{\frac {1}{4}}D+\cdots \\&{}=A+K\end{aligned}}

med fast konstant K < 1 . Sedan använde han fastigheten

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n))=\ln \infty ,

vars härledning han förklarade, till exempel, i en senare uppsats från 1748 [2] , genom att tilldela x = 1 i Taylor-expansionen

\ln \left({\frac {1}{1-x}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n} }.

Detta gjorde att han kunde dra slutsatsen att

A={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{ \frac {1}{11}}+\cdots =\ln \ln \infty .

Förmodligen menade Euler att summan av reciproka av primtal mindre än n växer asymptotiskt eftersom ln ln n som n tenderar till oändlighet. Det visade sig att så faktiskt är fallet, och en mer korrekt version av detta faktum bevisades rigoröst av Franz Mertens 1874 [3] . Euler, å andra sidan, fick det korrekta resultatet med hjälp av icke rigorösa metoder.

Erdős bevis med övre och nedre gränser

Följande motsägelsebevis beror på Pal Erdős .

Låt p i beteckna det i -te primtalet. Föreställ dig att summan av reciproka av primtal konvergerar . De där.

\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{p_{i))}<\infty

Då finns det ett minsta positivt heltal k så att

\sum _{i=k+1}^{\infty }{\frac {1}{p_{i}}}<{\frac {1}{2}}\qquad (1)

För ett positivt heltal x , låt M x beteckna mängden n från mängden {1, 2, …, x } som inte är delbara med något primtal som är större än p k (eller, ekvivalent, allt som är produkten av potenser av primtal ). Vi kan nu mata ut en övre och nedre gräns för antalet element i . För stora x leder dessa gränser till en motsägelse. $n\leqslant x$ ${\displaystyle p_{i}\leqslant p_{k))$ $|M_{x}|$ $M_{x}$

Högsta poäng:

Vilket n som helst i M x kan skrivas som m och r med positiva heltal , där r är ett kvadratfritt tal . Eftersom det bara kan finnas k primtal (med exponent 1) i primtalsfaktoriseringen av r finns det som mest 2k olika möjligheter för r . Dessutom finns det högst möjliga värden för m . Detta ger den övre gränsen

n=m^{2}r

{\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{k))

\sqrt{x}

|M_{x}|\leq 2^{k}{\sqrt {x}}\qquad (2)

Nedre poäng:

De återstående talen i skillnaden mellan mängderna {1, 2, …, x } \ M x är alla delbara med primtal större än . Låt beteckna mängden av sådana n från {1, 2, …, x } som är delbara med det i -te primtal . Sedan

x-|M_{x}|

p_{k}

{\displaystyle N_{i,x))

pi}

{\displaystyle \{1,2,\ldots ,x\}\smallsetminus M_{x}=\bigcup _{i=k+1}^{\infty }N_{i,x))

Eftersom antalet heltal inte överstiger (i själva verket är det lika med noll för ), får vi

{\displaystyle N_{i,x))

{\displaystyle {\tfrac {x}{p_{i))))

p_{i}>x

{\displaystyle x-|M_{x}|\leqslant \sum _{i=k+1}^{\infty }|N_{i,x}|<\summa _{i=k+1}^{\ infty }{\frac {x}{p_{i))))

Med hjälp av (1), härifrån får vi

{\frac {x}{2}}<|M_{x}|\qquad (3)

Vi får en motsägelse — om , uppskattningar (2) och (3) inte kan utföras samtidigt, eftersom . $x\geqslant 2^{2k+2}$ ${\tfrac {x}{2}}\geqslant 2^{k}{\sqrt {x}}$

Bevis på att en serie växer med en takt av log-log

Det finns ytterligare ett bevis som ger en lägre uppskattning för delsummor. I synnerhet visar detta att dessa summor växer minst lika mycket som ln ln n . Beviset är en variant av idén med Eulers produktexpansion . Nedan är summor eller produkter över p alltid summor eller produkter över vissa uppsättningar av primtal.

Beviset är baserat på följande fyra ojämlikheter:

Varje positivt heltal i kan representeras unikt som en produkt av kvadratfria tal och en kvadrat. Detta ger ojämlikheten

{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}\leqslant \prod _{p\leq n}{\left(1+{\frac {1}{p }}\right)}\summa _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2))))

, där, för valfritt i mellan 1 och n , den (nedbrutna) produkten motsvarar den kvadratfria delen av i , och summan motsvarar kvadratdelen av i (se artikeln " Aritmetikens grundsats ").

Övre gräns för den naturliga logaritmen

{\begin{aligned}\ln(n+1)&=\int _{1}^{n+1}{\frac {dx}{x}}\\&=\summa _{i= 1}^{n}\underbrace {\int _{i}^{i+1}{\frac {dx}{x}}} _{{}\,<\,{\frac {1}{i} }}\\&<\summa _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}\end{aligned}}

Den nedre gränsen 1 + x < exp( x ) för exponentialfunktionen gäller för alla x > 0 .
Låt . Övre gräns (med hjälp av teleskopserien ) för delsummor $n \geqslant 2$

{\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}&<1+\sum _{k=2}^{n }\underbrace {\left({\frac {1}{k-{\frac {1}{2))))-{\frac {1}{k+{\frac {1}{2))))\ höger)} _{=\,{\frac {1}{k^{2}-{\frac {1}{4))))\,>\,{\frac {1}{k^{2} ))}\\&=1+{\frac {2}{3}}-{\frac {1}{n+{\frac {1}{2}}}}<{\frac {5}{3} }\end{aligned}}

Genom att kombinera alla dessa ojämlikheter får vi

{\begin{aligned}\ln(n+1)&<\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}\\&\leq \prod _{p \leq n}{\left(1+{\frac {1}{p}}\right)}\summa _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}} \\&<{\frac {5}{3}}\prod _{p\leq n}{\exp \left({\frac {1}{p}}\right)}\\&={\frac {5}{3}}\exp \left(\sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}\right)\end{aligned}}

Efter att ha dividerat med och tagit den naturliga logaritmen för båda delarna får vi ${\tfrac {5}{3}}$

\ln \ln(n+1)-\ln {\frac {5}{3}}<\sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}

Q.E.D. ∎

Använder sig av

\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}

(se "Baselproblem" ), konstanten ovan kan förbättras till . I själva verket visar det sig att $\ln {\tfrac {5}{3}}=0{,}51082\ldots$ $\ln {\tfrac {\pi ^{2}}{6}}=0{,}4977\ldots$

\lim _{n\to \infty }\left(\summa _{p\leq n}{\frac {1}{p}}-\ln \ln n\right)=M

var är Meissel-Mertens konstant (något liknande den mer välkända Euler-Mascheroni konstanten ). $M=0{,}261497\ldots$

Bevis från Dusars ojämlikhet

Från Dusars ojämlikhet har vi

p_{n}<n\ln n+n\ln \ln n\quad

för

n\geqslant 6

Sedan

{\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{p_{n))}&\geqslant \sum _{n=6}^{\infty }{\frac {1}{p_{n))}\\&\geqslant \sum _{n=6}^{\infty }{\frac {1}{n\ln n+n\ln \ln n }}\\&\geqslant \sum _{n=6}^{\infty }{\frac {1}{2n\ln n}}=\infty \end{aligned}}

enligt Cauchy-Maclaurin integral konvergenstest . Detta visar att serien till vänster divergerar.

Delsummor

Medan partiella summor av reciproka för primtal så småningom når vilket heltalsvärde som helst, kan de aldrig vara lika med ett heltal.

Ett av bevisen [4] på detta görs genom induktion - den första delsumman är lika och den har formen (det vill säga udda/jämn). Om den n :te delsumman (för ) har formen , då är den e summan lika med ${\tfrac {1}{2))$ ${\tfrac {udda}{jämn}}$ $n\geqslant 1$ ${\tfrac {udda}{jämn}}$ $(n+1)$

{\frac {\text{udda}}{\text{jämn}}}+{\frac {1}{p_{n+1}}}={\frac {{\text{udda}}\ cdot p_{n+1}+{\text{jämn}}}{{\text{jämn}}\cdot p_{n+1}}}={\frac {{\text{udda}}+{\text {jämn}}}{\text{jämn}}}={\frac {\text{udda}}{\text{jämn}}}

eftersom det :e primtalet är udda. Eftersom summan återigen är av formen , kan delsumman inte vara ett heltal (2 delar nämnaren men delar inte täljaren), vilket bevisar påståendet. $(n+1)$ $p_{n+1}$ ${\tfrac {udda}{jämn}}$

Ett annat bevis skriver om uttrycket för summan av de första n reciprokala för primtal (eller summan av reciproka av alla primtal) i termer av en gemensam nämnare , som är produkten av alla dessa primtal. Sedan delar vart och ett av dessa primtal alla utom en av termerna i täljaren och delar därför inte täljaren som en helhet. Men varje primtal delar en nämnare. Således är fraktionen irreducerbar och är inte ett heltal.

Se även

Euklids teorem , som säger att det finns oändligt många primtal.
Bruns teorem om konvergensen av summan av reciproka av tvillingprimtal till Bruns konstant .

Anteckningar

↑ Euler, 1737 , sid. 160–188.
↑ Euler, 1748 , sid. 228, ex. ett.
↑ Mertens, 1874 , sid. 46–62.
↑ Lord, 2015 , sid. 128–130.

Litteratur

William Dunham. Euler Mästaren över oss alla. - MAA , 1999. - S. 61-79. — ISBN 0-88385-328-0 .
Leonhard Euler . Olika observationer rörande oändliga serier = Variae observationes circa series infinitas // Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae. - 1737. - T. 9 .
Leonhard Euler . Introduktion i analysin infinitorum . Tomus Primus. — Lausanne: Bousquet, 1748.
Mertens F. Ein Beitrag zur analytischer Zahlentheorie // J. Reine Angew. Math.. - 1874. - T. 78 .
Nick Lord. Snabba bevis på att vissa summor av bråk inte är heltal // The Mathematical Gazette. - 2015. - T. 99 . - doi : 10.1017/mag.2014.16 .

Länkar

Caldwell, Chris K. Det finns oändligt många primtal, men hur stor är en oändlighet? . (obestämd)

Sekvenser och rader
Sekvenser	Numerisk sekvens Grundläggande sekvens Linjär återkommande sekvens Fibonacci-siffror lockiga siffror Faktoriell Barker-sekvens de bruijn sekvens
Rader, grundläggande	Radsumma Resten av raden Villkorlig konvergens Omväxlande serie Rad flersektion
Nummerserier ( operationer med nummerserier )	harmonisk serie Leibniz-serien En serie omvända kvadrater En serie ömsesidiga primtal Dirichlet rad Mercator-serien Rad Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
funktionella rader	Taylor-serien Laurent-serien Fourier-serier Trigonometrisk Fourier-serie trigonometrisk serie Wiener-serien
Andra radtyper	Neumann-serien Puiseux rad