Triviala objekt i algebra

I algebra (en gren av matematik) är många algebraiska strukturer triviala , det vill säga de enklaste objekten . Liksom uppsättningar består de av ett enda element , betecknat med symbolen " 0 ", och själva objektet - som " {0} ", eller helt enkelt "0" beroende på sammanhanget (till exempel i exakta sekvenser ). Objekt som motsvarar triviala fall är viktiga för att förena resonemang: till exempel är det bekvämare att säga att "lösningar av ekvationen T  x = 0 alltid bildar ett linjärt rum" än att göra reservationen "... eller en mängd { 0 }”.

De viktigaste av dessa objekt är:

• Trivial grupp , den enklaste av grupper . Det är också den enklaste av de abeliska grupperna , och alla objekt som listas nedan ärver dess struktur, förstås som addition .
• Trivial ring , den enklaste av ringar .
• Noll (trivial, eller tom -genererad ) modul , den enklaste av modulerna över en given ring R ).
• Noll (eller nolldimensionellt ) linjärt utrymme över ett fält R , det enklaste av linjära utrymmen.
• Nollalgebra , den enklaste av algebran över en ring eller över ett fält R.

I de tre sista fallen definieras multiplikation med en skalär som κ0 = 0  , där κ ∈ R .

Alla nollalgebra är också trivial som en ring. Nollalgebra över ett fält är ett linjärt nollrum, och över en ring är det en nollmodul.

Tolkning med kategoriteori

När det gäller kategoriteori är ett trivialt objekt ett terminalt , och ibland (beroende på definitionen av en morfism ) null (det vill säga både terminalt och initialt ) objekt.

Ett trivialt föremål är unikt upp till isomorfism .

Terminaliteten hos ett trivialt objekt betyder att morfismen A → {0} existerar och är unik för alla objekt A i kategorin. Denna morfism mappar varje element i objektet A till 0 .

2↕ _		=		[ ]	‹0
	↔ 1		^ 0	↔ 1
Nullrymdselementet, skrivet som en tom kolumnvektor (höger), multipliceras med en tom 2×0 matris för att få en 2-dimensionell nollvektor (vänster). Matrismultiplikationsregler iakttas .

I kategorierna Rng (ringar utan obligatorisk enhet), R - Mod och Vect R , är en trivialring, en nollmodul respektive ett mellanslag nollobjekt. Nollobjektet är per definition initial, det vill säga morfismen {0} → A finns och är unik för alla objekt A i kategorin. Denna morfism mappar 0 , det enda elementet i objektet {0} , till noll 0 ∈ A . Detta är en monomorfism och dess bild (en undermodul/delrum i A genererad av noll element ) är isomorf till {0}.

Strukturer med en enhet

I strukturer med en enhet ( ett neutralt multiplikationselement) är saker och ting inte så enkla. När definitionen av en morfism i en kategori kräver att de bevaras, är det triviala objektet antingen endast terminalt (men inte initialt) eller existerar inte alls (till exempel när definitionen av en struktur kräver olikheten 1 ≠ 0 ).

I kategorin Ring för enhetsringar är ringen med heltal Z det initiala objektet, inte {0}.

Se även

• Den tomma semigruppen
• Trivial algebra

Länkar

• David Sharpe. Ringar och faktorisering  (neopr.) . - Cambridge University Press , 1987. - S.  10  : trivial ring . - ISBN 0-521-33718-6 .
• Barile, Margherita. Trivial Module  (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
• Barile, Margherita. Zero Module  (engelska) på Wolfram MathWorlds webbplats .