Schwinger-Tomonaga ekvation

Schwinger-Tomonaga-ekvationen , i kvantfältteorin , den grundläggande rörelseekvationen [1] , som generaliserar Schrödinger-ekvationen till det relativistiska fallet.

Vågfunktionen i det relativistiska fallet måste ges som en funktion av rymdliknande hyperytor . Schwinger-Tomonagas ekvation för vågfunktionen har formen: [2] $\Psi [\sigma ]$

i\hbar {\frac {\delta \Psi [\sigma ]}{\delta \sigma (x)))={\mathcal {H))(x)\Psi [\sigma ],

var är densiteten för Hamiltonian ${\mathcal {H}}(x)$

H(t)=\int {\mathcal {H}}(x)d^{3}\mathbf {x} .

$x=(x^{0},\mathbf {x} )$ är en koordinat i Minkowski rymden . Schwinger-Tomonaga-ekvationen för densitetsmatrisen , som också är en funktion av rymdliknande hyperytor, har formen: [3] $\mathbb {R} ^{1,3}$

i\hbar {\frac {\delta \rho [\sigma ]}{\delta \sigma (x)))=[{\mathcal {H}}(x),\rho [\sigma ]].

Rymdliknande hyperytor definieras av ett tredimensionellt grenrör i , som kan förlängas i alla rymdliknande riktningar. Dessa grenrör bestäms av det faktum att hyperytan vid varje punkt har en enhetsnormalvektor $\sigma$ $\mathbb {R} ^{1,3}$ $x\in \sigma$

n_{\mu}(x)n^{\mu}(x)=1,

tidsliknande

n^{0}(x)\geqslant 1.

Schwinger-Tomonaga-ekvationen är en funktionell differentialekvation . Det kan ses som en differentialekvation i en kontinuumfamilj av tidsvariabler. [3] För att göra detta är det nödvändigt att välja parametriseringen av hyperytan med koordinaterna för det tredimensionella rummet , då kan punkterna representeras som . Således har varje punkt sin egen tidsvariabel . $\sigma$ $\mathbf {x}$ $\mathbb {R} ^{3}$ $x\in \sigma$ $x=(x^{0}(\mathbf {x} ),\mathbf {x} )$ $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{3}$ $x^{0}=x^{0}(\mathbf {x} )$

Funktionell derivata i Schwinger-Tomonaga-ekvationen

Låt oss betrakta en punkt och en varierad hyperyta , som skiljer sig från endast i något område av punkten . Låt beteckna volymen av den fyrdimensionella regionen innesluten mellan och . Sedan definieras den funktionella derivatan av en godtycklig funktionell , som är en mappning från mängden hyperytor till reella tal , [4] enligt följande [5] $x\in \sigma$ $\sigma +\delta \sigma$ $\sigma$ $Oxe$ $x$ $\Omega (x)$ $\sigma$ $\sigma +\delta \sigma$ ${\frac {\delta }{\delta \sigma (x)))$ $F[\sigma ]$

{\frac {\delta F[\sigma ]}{\delta \sigma (x)))={\underset {\Omega (x)\högerpil 0}{\lim )){\frac {F[ \sigma +\delta \sigma ]-F[\sigma ]}{\Omega (x))).

Lösning av Schwinger-Tomonaga-ekvationen

Lösningen av Schwinger-Tomonaga-ekvationen för densitetsmatrisen kan representeras som [6]

\rho (\sigma )=U(\sigma ,\sigma _{0})\rho (\sigma _{0})U^{\dolk }(\sigma ,\sigma _{0}),

var är den enhetliga utvecklingsoperatorn för formuläret $U(\sigma ,\sigma _{0})$

U(\sigma ,\sigma _{0})=\mathrm {Texp} \left[-i\hbar \int _{\sigma _{0))^{\sigma }{\mathcal {H} }(x)d^{4}x\höger],

var är den tidsordnade exponenten. är den initiala densitetsmatrisen definierad på den initiala hyperytan . På liknande sätt kan lösningen till Schwinger-Tomonaga-ekvationen för vågfunktionen representeras som $\mathrm {Texp}$ $\rho (\sigma _{0})$ $\sigma _{0}$

\Psi (\sigma )=U(\sigma ,\sigma _{0})\Psi (\sigma _{0}),

var är den initiala vågfunktionen. $\Psi (\sigma _{0})$

Nödvändigt villkor för integrerbarhet

Precis som partiella differentialekvationer kräver kommuterbarhet för dessa derivator för integrerbarhet, så har Schwinger-Tomonaga-ekvationen för densitetsmatrisen ett nödvändigt integrerbarhetsvillkor [6] , vilket kräver att variationsderivatorna pendlar vid godtyckliga punkter på varje fast rymdliknande hyperyta : $\sigma$

{\frac {\delta ^{2}\rho [\sigma ]}{\delta \sigma (x)\delta \sigma (y)))-{\frac {\delta ^{2}\rho [\sigma ]}{\delta \sigma (y)\delta \sigma (x)))=0,\qquad \forall x,y\in \sigma .

Detta tillstånd är en konsekvens av mikrokausalitetskravet för Hamiltonianens densitet . Det står att Hamiltonians för olika punkter av spacelike intervaller ${\mathcal {H}}(x)$

[{\mathcal {H}}(x),{\mathcal {H}}(y)]=0,\qquad (xy)^{2}<0.

Med hänsyn till Jacobi-identiteten har vi faktiskt:

{\frac {\delta ^{2}\rho [\sigma ]}{\delta \sigma (x)\delta \sigma (y)))-{\frac {\delta ^{2}\rho [\sigma ]}{\delta \sigma (y)\delta \sigma (x)))=[[{\mathcal {H}}(x),{\mathcal {H}}(y)],\rho [\sigma ]]=0,\qquad \forall x,y\in \sigma .

Integrerbarhetsvillkoret säkerställer lösningens unika karaktär.

Rum-tidspaketet och Schrödinger-ekvationen

Ett mellanslagspaket definieras [7] av en jämn enparameterfamilj $\mathbb {R} ^{1,3}$

{\mathcal {F}}=\{\sigma (\tau )\}

bestående av rymdliknande hyperytor med egenskapen att varje punkt tillhör en och endast en hyperyta : $\sigma (\tau )$ $x\in \mathbb {R} ^{1,3}$ $\sigma (\tau )$

\forall x\in \mathbb {R} ^{1,3}\;\exists !\tau \in \mathbb {R} :x\in \sigma (\tau ).

Vi betecknar hyperytan som motsvarar punkten som . En fast bunt genererar en familj av tillståndsvektorer $x$ $\sigma _{x}$ ${\mathcal {F}}$

|\Psi (\tau )\rangle =\Psi (\sigma (\tau )).

Sedan kan Schwinger-Tomonaga-ekvationen omformuleras i integralformen

|\Psi (\tau )\rangle =|\Psi (0)\rangle -i\hbar \int _{\sigma _{0))^{\sigma (\tau )}{\mathcal {H }}(x)\Psi (\sigma _{x})d^{4}x.

Fyrdimensionell integration utvidgas till det område som omges av den initiala hyperytan och familjens hyperyta , som helt och hållet ligger i framtiden . $\sigma _{0}=\sigma (0)$ $\sigma (\tau )$ $\sigma _{0}$

Låt hyperytorna definieras av det implicita uttrycket $\sigma (\tau )$

{\tilde {f}}(x,\tau )=0,

där finns en jämn skalär funktion. Därefter enhetens normalvektor ${\tilde {f))(x,\tau )$

n_{\mu }(x)={\frac {1}{\sqrt ({\frac {\partial {\tilde {f))(x,t)}{\partial x^{\mu } }}{\frac {\partial {\tilde {f}}(x,t)}{\partial x_{\mu }})))}}{\frac {\partial {\tilde {f}}(x , t)}{\partial x^{\mu }}}.

För enkelhetens skull normaliserar vi funktionen som definierar hyperplanet för att eliminera normaliseringsfaktorn i formeln för det normala $f(x,\tau )=0$

n_{\mu }(x)={\frac {\partial f(x,t)}{\partial x^{\mu ))}.

Differentiering av integralekvationen för tillståndsvektorer

{\frac {d}{d\tau }}|\Psi (\tau )\rangle =-{\frac {i}{\hbar }}\int _{\sigma (\tau )}\left |{\frac {\partial f}{\partial \tau }}\right|{\mathcal {H}}(x)|\Psi (\tau )\rangle d\sigma (x),

där integrationen utförs över hyperytan . Denna ekvation är en samvariant generalisering av Schrödinger-ekvationen. Ta med i beräkningen $\sigma (\tau )\in {\mathcal {F}}$

\int _{\sigma (\tau )}\left|{\frac {\partial f}{\partial \tau ))\right|{\mathcal {H))(x)d\sigma (x )=\int _{\sigma (\tau )}\left|n_{0}{\frac {\partial x_{0}}{\partial \tau }}\right|{\mathcal {H}}(x )d\sigma (x)=H(\tau )

rörelseekvationen för tillståndsvektorerna tar formen

i\hbar {\frac {d}{d\tau }}|\Psi (\tau )\rangle =H(\tau )|\Psi (\tau )\rangle .

Historisk bakgrund

Omedelbart efter kvantmekanikens tillkomst började försök att bygga upp dess relativistiska generalisering. Emellertid uppstod en grundläggande svårighet på denna väg, [1] på grund av det faktum att i kvantmekanikens formalism [8] spelar tiden en väsentligt framstående roll, skild från koordinater. Å andra sidan, i relativitetsteorin måste tids- och rumskoordinater agera symmetriskt som komponenter i en 4-vektor.

För att hitta en relativistisk generalisering av ekvationen för utvecklingen av tillstånd, var det nödvändigt att förstå att icke-relativistisk tid spelar två roller samtidigt, som är uppdelade i den relativistiska generaliseringen. Å ena sidan är detta den individuella tiden för händelsen - det är den här tiden som ska vara symmetrisk med koordinaterna, å andra sidan fungerar den som en evolutionsparameter som ordnar händelser vid rumsligt åtskilda punkter. Den relativistiska generaliseringen av denna andra funktion av tiden kan vara vilken som helst uppsättning av ömsesidigt rymdliknande punkter, så att vilken tidsliknande världslinje som helst inkluderar en och endast en punkt av denna uppsättning. En sådan samling är en rymdliknande hyperyta . $\sigma$

Ekvationen i den beskrivna formen introducerades oberoende av S. Tomonaga 1946 och J. Schwinger 1948 och tjänade som grund för konstruktionen av Lorentz-invariant störningsteorin .

Anteckningar

↑ 1 2 Prokhorov, 1992 , TOMONAG - SCHWINGERS EKVATION.
↑ Bogolyubov och Shirkov, 1984 , sid. 397.
↑ 1 2 Breuer och Petruccione, 2010 , sid. 620.
↑ En sådan definition kräver att den definieras inte bara på rymdliknande hyperytor, utan också på deras tillräckligt små variationer.
↑ Bogolyubov och Shirkov, 1984 , sid. 400.
↑ 1 2 Breuer och Petruccione, 2010 , sid. 622.
↑ Breuer och Petruccione, 2010 , sid. 623.
↑ Och även i dess ursprungliga formalism av klassisk Hamiltonsk mekanik .

Litteratur

Bogolyubov N.N. , Shirkov D.V. Introduktion till teorin om kvantiserade fält. - 4:e upplagan, Rev. - M. : Nauka, Huvudupplagan av fysisk och matematisk litteratur, 1984. - 600 sid. — ISBN 978-5-93972-774-7 .
Breuer H.-P. , Petruccione F. . Teori om öppna kvantsystem / Per. från engelska. ed. Yu. I. Bogdanova . - M. - Izhevsk: Forskningscentrum "Regular and Chaotic Dynamics", Institutet för datorforskning, 2010. - 824 sid. — ISBN 978-5-93972-774-7 .
Prokhorov A. M. (red.). Fysisk uppslagsverk . - M .: Soviet Encyclopedia , 1992. - T. 3. - 672 sid. — ISBN 5-85270-034-7 .