Fasutrymme

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 11 februari 2017; kontroller kräver 26 redigeringar .

Fasrum i matematik och fysik är ett rum , vars varje punkt motsvarar ett och endast ett tillstånd från mängden av alla möjliga tillstånd i systemet . Den punkt i rymden som motsvarar systemets tillstånd kallas " avbildande " eller " representerande " för den. Således kan förändringen i systemets tillstånd, det vill säga dess dynamik , jämföras med rörelsen av den representerande punkten; banan för denna punkt kallas fasbanan (det bör noteras att den inte är identisk med den faktiska rörelsebanan), och hastigheten för en sådan representativ punkt kallas fashastigheten. [A:1] [1]

Begreppet fasrum utvecklades i slutet av 1800-talet av Ludwig Boltzmann , Henri Poincaré och Willard Gibbs . [A:2]

Allmänna bestämmelser

Som regel väljs utrymmen med euklidisk metrisk , med antingen kartesiska eller polära koordinatsystem.

För system med en frihetsgrad degenererar fasutrymmet till ett fasplan .

Fasbanor

Med hjälp av ekvationerna för banan i fasrummet (fasplanet) byggs integralkurvor för systemet som studeras , dvs kurvor i fasrummet så att tangenten vid varje punkt har en lutning som ges av banekvationen. Den geometriska konstruktionen av integralkurvor kallas " kvalitativ integration av ekvationer ". [2]

Begreppen " integralkurva " och " fasbana " i det allmänna fallet bör särskiljas, " eftersom det kan hända att en integralkurva inte består av en, utan av flera fasbanor samtidigt ." [3]

Mönstret av kurvor i fasutrymmet (på fasplanet) kan beskrivas med:

eller en ekvation - i koordinatform , det vill säga att använda ekvationer som inte innehåller tid - och studera integralkurvor med den,
eller beskriva med ett ekvationssystem i parametrisk form , där den oberoende variabeln , tid, spelar rollen som en parameter, och studera fasbanorna. [fyra] $t$

Behovet av att skilja mellan dessa två sätt att representera samma familj av kurvor kan demonstreras av exemplet på det enklaste konservativa systemet som beskrivs av ekvationsformen . [fyra] ${\ddot {x}}=f(x)$

Hela fasbanan är kurvan i fasrummet, som beskrivs av den representerande punkten för hela tiden för dess rörelse (från till ). [3] $t=-\infty$ $t=+\infty$

Fasporträtt

Fasporträttet av systemet som studeras är en uppsättning fasbanor för alla möjliga initiala förhållanden . [3] Det kan ses som ett integrerat grenrör . [A:3]

Eftersom man, när man studerar beteendet hos ett system, i första hand är intresserad av stationära rörelser i systemet, [2] kan fasporträttet också betraktas som en uppdelning av fasrummet i attraktionsdomäner för stationära lösningar. [A:1]

Klassificeringen av arten av singularpunkterna i ett system av ekvationer kan utföras på basis av egenskaperna hos fasporträttet, eftersom åtminstone för vissa system varje singularpunkt i ett system av differentialekvationer också är en singularpunkt i betydelsen som används i differentialgeometri . [fyra]

F.p. vanligtvis på något sätt deformeras när systemparametrarna ändras . En kvalitativ förändring i f.p. motsvarar försvinnandet av befintliga och födelsen av nya stationära lösningar, och en sådan förändring i f.p. kallas en bifurkationssituation . [A:1]

För enkelhetens skull är studiet av systemets fasporträtt uppdelat [4] i studiet av systemets rörelsers natur:

nära jämviktstillstånd,
genom hela fasplanet.

När man studerar fasporträttet är den allmänna topologiska bilden av rörelser på fasplanet i första hand av intresse . [fyra]

Fashastighet

Fashastigheten är den hastighet med vilken systemets tillstånd ändras; den motsvarar rörelsehastigheten för den representerande punkten i fasrummet. [fyra]

För att beräkna storleken på fashastigheten introduceras begreppet " fasradievektor ", vilket görs inom klassisk mekanik. [3]

Till exempel, för det enklaste konservativa systemet som beskrivs av ekvationen , beräknas hastigheten för den representerande punkten som: ${\ddot {x}}=f(x)$

\mathbf {v} =\mathbf {i} y+\mathbf {j} f(x)

och kommer att vara unikt definierad överallt, och försvinner endast vid en singulär punkt. [4] Fashastighetsmodulen i detta fall kommer att beräknas som:

v={\frac {ds}{dt}}={\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy} {dt}}\right)^{2}}}={\sqrt {y^{2}+\left[f(x)\right]^{2}}}

var:

{\frac {dx}{dt}}=y

och .

{\frac {dy}{dt}}=f(x)

Beräkning av fashastigheten gör det möjligt att spåra förändringar i systemet mer exakt. Så, till exempel, i fallet med en sadel-nod-bifurkation, kan man hitta en region av systemtillstånd där en signifikant minskning av fashastighetsmodulen inträffar. [A:1]

Funktioner hos olika typer av system

Mekaniska system

I klassisk mekanik fungerar släta grenrör som fasutrymmen . I fallet med mekaniska system är detta ett jämnt dimensionellt utrymme, koordinaterna i vilka är de vanliga rumsliga koordinaterna (eller generaliserade koordinaterna ) för systemets partiklar och deras momenta (eller generaliserade rörelsemängd ). Dessutom, inom mekanik, bestäms rörelsen av den representativa punkten av relativt enkla Hamilton-ekvationer , vars analys gör att man kan dra slutsatser om beteendet hos komplexa mekaniska system. [5]

Till exempel har fasutrymmet för ett system som består av en fri materialpunkt 6 dimensioner, varav tre är tre vanliga koordinater och ytterligare tre är momentumkomponenter. Följaktligen kommer fasutrymmet för ett system med två fria materialpunkter att innehålla 12 dimensioner, och så vidare.

Termodynamik och statistisk mekanik

Inom termodynamik och statistisk mekanik har termen "fasrum" två betydelser: 1) det används i samma betydelse som i klassisk mekanik; 2) det kan också hänvisa till rymden, som parametriseras av systemets makroskopiska tillstånd, såsom tryck, temperatur, etc.

Dynamiska system

I teorin om dynamiska system och teorin om differentialekvationer är fasrummet ett mer allmänt begrepp. Den är inte nödvändigtvis jämndimensionell, och dynamiken i den ges inte nödvändigtvis av Hamiltons ekvationer .

Fallet med flera system

Om vi tar flera identiska system i beaktande måste vi specificera flera punkter i fasrummet. Helheten av sådana system kallas en statistisk ensemble . Enligt Liouvilles teorem utvecklas en sluten kurva (eller yta) som består av punkter i fasrummet i ett Hamilton-system på ett sådant sätt att arean (eller volymen) av fasrummet som finns i den bevaras i tiden.

Exempel

Begreppet fasrum används i stor utsträckning inom olika fysikområden. [B: 1] [B: 2] Det visade sig vara mycket användbart för att studera fenomenet bifurkationsminne . [A:1]

Att tolka tillståndet för ett rörligt objekt som en punkt i fasrymden löser Zenos paradox . (Paradoxen är att om vi beskriver ett objekts tillstånd genom dess position i konfigurationsutrymmet, så kan objektet inte röra sig.)

Harmonisk oscillator

Det enklaste autonoma oscillatorsystemet kallades " harmonisk oscillator "; dess dynamik beskrivs av en linjär differentialekvation av formen:

{\ddot x}+\omega _{0}^{2}x=0.

Ett sådant system gör periodiska sinusformade (harmoniska) rörelser; oscillerande rörelse uppstår inte bara i fallet och det vill säga när oscillatorn är i ett jämviktstillstånd i det initiala ögonblicket - i detta fall fortsätter den att förbli i den ytterligare. Koordinatekvationen för fasbanan för ett sådant system definierar integralkurvor i form av en familj av liknande (med ett konstant förhållande av axlar) ellipser , och genom varje punkt i f.p. korsar en och endast en ellips. Det angivna jämviktstillståndet är en singulär punkt i detta system, nämligen centrum . [3] $x_{0}=0$ ${\dot {x}}_{0}=0$

Kvantoscillator

Fasrummet för tillstånden hos en kvantoscillator gör det möjligt att beskriva kvantbruset för en förstärkare i termer av osäkerheterna hos de hermitiska och anti-hermitiska komponenterna i fältet; i detta fall krävs inte antagandet om linjäriteten för fasrumstransformationen som utförs av förstärkaren. [A:4] Derivaterna av förstärkarens överföringsfunktion definierar en nedre gräns för nivån av kvantbrus. Grovt sett, ju mer komplex transformationen är, desto större kvantbrus.

Fasrummet gör det möjligt att konstruera en enhetlig formalism för klassisk och kvantmekanik. [A:5] Evolutionsoperatorn är formulerad i termer av Poisson-fästet; i kvantfallet är denna konsol en vanlig kommutator. I detta fall bygger klassisk och kvantmekanik på samma axiom; de är formulerade i termer som är vettiga i både klassisk och kvantmekanik.

Kaosteori

Klassiska exempel på fasdiagram från kaosteorin är:

Lorentz attraktion
Befolkningstillväxt (d.v.s. logistisk kartläggning )
Parametriskt plan för komplexa kvadratiska polynom med Mandelbrot set .

Optik

Fasutrymme används ofta i icke-avbildande optik , [B: 3] är en gren av optik dedikerad till belysning och solpaneler. Det är också ett viktigt begrepp inom Hamiltonsk optik .

Se även

Anteckningar

↑ Andronov, 1981 , sid. 38-41.
↑ 1 2 Andronov, 1981 , Introduktion, sid. 15-34.
↑ 1 2 3 4 5 Andronov, 1981 , Kapitel I. linjära system, sid. 35-102.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 Andronov, 1981 , kapitel II. Konservativa olinjära system, sid. 103-167.
↑ V. I. Arnold , V. V. Kozlov , A. I. Neishtadt , Matematiska aspekter av klassisk och celestial mekanik , Dynamiska system - 3, Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Modern prob. matta. Fundam. riktningar, 3, VINITI, M., 1985, 5-290.

Litteratur

Böcker

↑ Andronov A. A. , Witt A. A. , Khaikin S. E. Theory of Oscillations. - 2:a uppl., reviderad. och korrigerad - M . : Nauka , 1981. - 918 sid.
↑ Lichtenberg A. Dynamik hos partiklar i fasrymden. — M .: Atomizdat , 1972. — 304 sid.
↑ Julio Chaves. Introduktion till icke-avbildande optik . - Andra upplagan. - CRC Press , 2015. - 786 sid. — ISBN 978-1482206739 . Arkiverad 18 februari 2016 på Wayback Machine

Artiklar

↑ 1 2 3 4 5 Feigin M.I. Manifestation av bifurkationsminneseffekter i beteendet hos ett dynamiskt system // Soros Educational Journal : Journal. - 2001. - T. 7 , nr 3 . - S. 121-127 . Arkiverad från originalet den 30 november 2007. (ryska)
↑ Nolte, DD Den trassliga berättelsen om fasrum // Fysik idag: Journal. - 2010. - Vol. 63 , nr. 4 . — S. 31–33 . - doi : 10.1063/1.3397041 .
↑ Neishtadt, Anatoly. Om stabilitetsförlustfördröjning för dynamisk bifurkation (engelska) // Discrete and Continuous Dymanical Systems - Series S: Journal. - 2009. - Vol. 2 , nr. 4 . - P. 897-909 . — ISSN 1937-1632 . - doi : 10.3934/dcdss.2009.2.897 .
↑ Kuznetsov D. , Roilich D. Kvantbrus i fasrumskartläggning // Optik och spektroskopi : tidskrift. - 1997. - T. 82 , nr 6 . - S. 990-995 . (ryska)
↑ Shirokov Yu. M. Kvantmekanik och klassisk mekanik i representationen av fasrum // ECHAYA : journal. - 1979. - T. 10 , nr 1 . — S. 5–50 . (ryska)

Länkar

För definitioner av detta begrepp, se även ordböckerna:
- Stora sovjetiska encyklopedien.
- Matematisk uppslagsverk. — M.: Sovjetiskt uppslagsverk. I. M. Vinogradov. 1977-1985.
- Fysisk uppslagsverk.
- Ekonomisk och matematisk ordbok.
I internetportalen "Physical Encyclopedia" se artiklar som förtydligar begreppet f.p. i statistisk fysik och f.p. i teorin om dynamiska system .
State space på Scholarpedia.org