Heltalstriangel

En heltalstriangel är en triangel vars längder på alla sidor är heltal. En rationell triangel kan definieras som en triangel vars sidor är rationella tal. Vilken rationell triangel som helst kan reduceras till en heltalstriangel (genom att multiplicera alla sidor med samma antal, den minsta gemensamma multipeln av nämnarna), så det finns ingen signifikant skillnad mellan heltalstrianglar och rationella trianglar. Observera dock att det finns andra definitioner av den "rationella triangeln". Således, 1914 Carmichael [1] använde termen för att hänvisa till vad vi nu kallar Heronian triangeln . Somos [2] använder termen för trianglar vars sidoförhållanden är rationella tal. Conway och Guy [3] definierar en rationell triangel som en triangel med rationella sidor och vinklar (i grader), i vilket fall endast liksidiga trianglar med rationella sidor är rationella.

Heltalstrianglar har flera egenskaper gemensamma (se första avsnittet nedan). Alla andra avsnitt ägnas åt heltalstrianglar med specifika egenskaper.

Grundläggande egenskaper för hela trianglar

Heltalstrianglar med en given omkrets

Varje triangel av positiva tal kan bli sidor i en triangel, det är bara nödvändigt att tillfredsställa triangelolikheten - den längsta sidan måste vara kortare än summan av de andra två sidorna. Varje sådan trippel definierar en unik (upp till kongruens) triangel. Så antalet heltalstrianglar med omkretsen p är lika med antalet partitioner av p i tre positiva delar som uppfyller triangelolikheten. Dessa tal är närmast p 2 ⁄ 48 för jämnt p och till ( p + 3) 2 ⁄ 48 för udda [4] [5] . Detta betyder också att antalet heltalstrianglar med jämn omkrets p = 2 n är lika med antalet med udda omkrets p = 2 n - 3. Det finns alltså inga trianglar med omkretsen 1, 2 och 4, det finns bara en med omkretsar 3, 5, 6 och 8, och två vardera med omkretsar 7 och 10. Sekvensen av antalet heltalstrianglar med omkretsar p , som börjar med p = 1:

0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 7, 5, 8, 7, 10, 8... ( OEIS - sekvens A005044 )

Heltalstrianglar med en given större sida

Antal heltalstrianglar (upp till kongruens[ okänd term ] ) med given längsta sida c är lika med antalet tripletter ( a , b , c ) så att a + b > c och a ≤ b ≤ c . Detta värde är Ceiling[ ( c + 1) ⁄ 2 ] * Golv[ ( c + 1) ⁄ 2 ] [4] . För jämnt c är detta lika med två gånger triangeltalet c ⁄ 2 ( c ⁄ 2 + 1), och för udda c är detta lika med kvadraten på ( c + 1) 2 ⁄ 4 . Det betyder att antalet heltalstrianglar med den största sidan c överstiger antalet heltalstrianglar med den största sidan c −2 med c . Sekvens av antalet icke-kongruenta heltalstrianglar med den största sidan c , som börjar med c = 1:

1, 2, 4, 6, 9, 12, 16, 20, 25, 30, 36, 42, 49, 56, 64, 72, 81, 90... ( OEIS - sekvens A002620 )

Antalet heltalstrianglar (upp till kongruens ) med en given största sida c vars hörn ligger på eller inuti en halvcirkel med diametern c är lika med antalet trippel ( a , b , c ) så att a + b > c , a 2 + b 2 ≤ c 2 och a ≤ b ≤ c . Detta nummer är detsamma som antalet heltals trubbiga eller rätvinkliga trianglar med den största sidan c . Sekvensen av antalet sådana trianglar, som börjar med c = 1:

0, 0, 1, 1, 3, 4, 5, 7, 10, 13, 15, 17, 22, 25, 30, 33, 38, 42, 48... ( OEIS - sekvens A236384 )

Skillnaden mellan de två sista sekvenserna ger antalet heltalstrianglar med spetsiga vinklar (upp till kongruens) med den längsta sidan c . Sekvensen av antalet spetsiga trianglar, med början från c = 1:

1, 2, 3, 5, 6, 8, 11, 13, 15, 17, 21, 25, 27, 31, 34, 39, 43, 48, 52... ( OEIS - sekvens A247588 )

Arean av en heltalstriangel

Enligt Herons formel , om T är arean av en triangel, och längderna på sidorna är a , b och c , då

4T={\sqrt {(a+b+c)(a+bc)(a-b+c)(-a+b+c))).

Eftersom alla faktorer under rottecknet på formelns högra sida är heltal måste alla heltalstrianglar ha ett heltalsvärde på 16T 2 .

Vinklar för en heltalstriangel

Enligt cosinuslagen har varje vinkel i en heltalstriangel en rationell cosinus .

Om vinklarna i någon triangel bildar en aritmetisk progression, måste en av dess vinklar vara 60°. [6] För heltalstrianglar måste de återstående vinklarna också ha rationella cosinus, och metoden för att generera sådana trianglar ges nedan. Men förutom det triviala fallet med en liksidig triangel, finns det inga integrala trianglar vars vinklar bildar en geometrisk eller harmonisk progression. Detta beror på att vinklarna måste vara rationella vinklar av formen πp ⁄ q med rationell 0 < p ⁄ q < 1. Men alla heltalstriangelvinklar måste ha rationella cosinus, vilket bara kan ske när p ⁄ q = 1 ⁄ 3 [ 7] , det vill säga en heltalstriangel är liksidig.

Dela en sida efter höjd

Varje höjd som sjunker från en vertex till den motsatta sidan eller dess förlängning delar upp denna sida (eller förlängning) i segment med rationell längd.

Herons trianglar

Allmän formel

En heronisk triangel är en triangel med heltalssidor och heltalsarea. Varje heronisk triangel har sidor som är proportionella mot [8] .

a=n(m^{{2}}+k^{{2}})

b=m(n^{{2}}+k^{{2}})

c=(m+n)(mn-k^{{2}})

, Semiperimeter ,

=mn(m+n)

område ,

=mnk(m+n)(mn-k^{{2}})

för heltal m , n och k som uppfyller villkoren

\gcd {(m,n,k)}=1

mn>k^{2}\geq m^{2}n/(2m+n)

m\geq n\geq 1

Bildförhållandefaktorn för trianglar är i allmänhet ett rationellt tal , där det krymper den heroniangenererade triangeln till en primitiv och sträcker den primitiva triangeln till önskad storlek. ${\frac {p}{q))$ $q=\gcd {(a,b,c)}$ $sid$

Pythagoras trianglar

Pythagoras triangel är en heronisk rätvinklig triangel och dess tre sidor är kända som den pytagoreiska triangeln [ 9] . Alla primitiva (utan en gemensam faktor) Pythagoras trippel med hypotenusa kan erhållas med formlerna $(a,b,c)$ $c$

a=m^{2}-n^{2}

b=2 min

c=m^{2}+n^{2}

, Semiperimeter ,

=m(m+n)

område ,

=mn(m^{2}-n^{2})

där m och n är coprime- heltal och ett av dem är jämnt, medan m > n .

Pythagoras trianglar med heltalshöjd baserad på hypotenusan

I ingen primitiv Pythagoras triangel är höjden baserad på hypotenusan uttryckt som ett heltal . Det finns dock icke-primitiva pythagoriska trianglar av detta slag. Alla pytagoreiska trianglar med benen a och b , hypotenusan c och heltalshöjden sjunkit till hypotenusan, som kommer att behöva uppfylla likheterna och , genereras av formlerna [10] [11] $d$ $a^{{2}}+b^{{2}}=c^{{2}}$ ${\tfrac {1}{a^{2}}}+{\tfrac {1}{b^{2}}}={\tfrac {1}{d^{2}}}$

a=(m^{2}-n^{2})(m^{2}+n^{2})

b=2 min(m^{2}+n^{2})

c=(m^{2}+n^{2})^{2}

d=2 min(m^{2}-n^{2})

, Semiperimeter= ,

=m(m+n)(m^{2}+n^{2})

Area= ,

=mn(m^{2}-n^{2})(m^{2}+n^{2})^{2}

för samprimtal m , n med m > n .

Dessutom, från vilken pytagoreisk triangel som helst med benen x , y och hypotenusan z , kan du få en annan pythagoras triangel med heltalshöjd d per hypotenusa c med formeln [11]

(a,b,c,d)=(xz,yz,z^{2},xy).

Heroniska trianglar med sidor i aritmetisk progression

En triangel med heltalssidor och heltalsarea har sidor i en aritmetisk progression om och endast om [12] sidorna är lika ( b - d , b , b + d ), där

b=2(m^{2}+3n^{2})/g

d=(m^{2}-3n^{2})/g

och där g är den största gemensamma delaren av tal och $m^{2}-3n^{2},$ $2 min$ $m^{2}+3n^{2}.$

Heroniska trianglar med en vinkel två gånger den andra

Alla heronska trianglar med B=2A genereras [13] antingen av formlerna

a={\tfrac {k^{2}(s^{2}+r^{2})^{2}}{4}}

b={\tfrac {k^{2}(s^{4}-r^{4})}{2}}

c={\tfrac {k^{2}(3s^{4}-10s^{2}r^{2}+3r^{4})}{4))

, område ,

={\tfrac {k^{2}csr(s^{2}-r^{2})}{2))

med heltal k , s , r så att s 2 > 3 r 2 , eller formler

a={\tfrac {q^{2}(u^{2}+v^{2})^{2}}{4}}

b=q^{{2}}uv(u^{{2}}+v^{{2}})

c={\tfrac {q^{2}(14u^{2}v^{2}-u^{4}-v^{4})}{4))

, område ,

={\tfrac {q^{2}cuv(v^{2}-u^{2})}{2}}

med heltal q , u , v så att v > u och v 2 < (7+4√3) u 2 .

Ingen heronisk triangel med B = 2 A är likbent eller rätvinklig.

Likbenta heroniska trianglar

Alla likbenta heroniska trianglar erhålls genom att multiplicera med ett rationellt antal [14] sidor

a=2(u^{2}-v^{2})

b=u^{2}+v^{2}

c=u^{2}+v^{2}

för coprime heltal u och v med u > v .

Herons trianglar som ansikten på en tetraeder

Det finns tetraedrar som har en heltalsvolym och heronska trianglar som ansikten . Som ett exempel, en tetraeder med kant 896 motsatt kant 990, och de återstående fyra kanterna 1073 vardera. Två ytor av denna tetraeder har en area på 436800, de andra två har en area på 471240, och volymen är 124185600 [15] .

Egenskaper för Herons trianglar

Omkretsen av den heronska triangeln är alltid ett jämnt tal [16] . Således har en heronsk triangel ett udda antal sidor med jämn längd [17] och varje primitiv heronsk triangel har exakt en jämn sida.
Halvperimetern s i en heronsk triangel med sidorna a , b och c kan inte vara ett primtal . Detta kan ses av att s(sa)(sb)(sc) måste vara en perfekt kvadrat, och om s är primtal måste en av faktorerna vara delbar med s , men detta är omöjligt eftersom alla sidor är mindre än s .
Arean av en heronisk triangel är alltid delbar med 6 [16] .
Alla höjder i den heroniska triangeln är rationella tal [2] . Detta är lätt att se från formeln för arean av en triangel. Eftersom den heroniska triangeln har heltalssidor och area, kommer två gånger arean dividerat med basen att ge ett rationellt tal. Vissa heronska trianglar har tre icke-heltalshöjder, till exempel den spetsiga triangeln (15, 34, 35) med area 252 och den trubbiga triangeln (5, 29, 30) med area 72. Vilken heronisk triangel som helst med ett eller flera icke-heltal höjder kan omvandlas till en heronianliknande triangel genom att multiplicera alla sidor med den minsta gemensamma multipeln av höjdernas nämnare.
Heroniska trianglar som inte har en heltalshöjd ( oupplösliga och icke-pytagoreiska) har sidor som är delbara med enkla typer 4 k +1 [18] . Men nedbrytbara heroniska trianglar måste ha två sidor som är hypotenusor av pythagoras trianglar. Därför har alla icke-pytagoreiska icke-pytagoreiska heroniska trianglar minst två sidor som är delbara med primtal av formen 4 k + 1. Slutligen har alla heronska trianglar minst en sida delbar med ett primtal av formen 4k +1 .
Alla segment av vinkelräta från mittpunkterna på sidorna till den andra sidan av den heroniska triangeln är rationella tal — för alla triangel ges de av formlerna och , där sidorna är a ≥ b ≥ c och arean är lika med till T [19] , och i den heroniska triangeln är värdena a , b , c och T heltal. $p_{a}={\tfrac {2aT}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}},$ $p_{b}={\tfrac {2bT}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}},$ $p_{c}={\tfrac {2cT}{a^{2}-b^{2}+c^{2}}}$
Det finns inga liksidiga heroniska trianglar [2] .
Det finns inga heroniska trianglar med sidorna 1 eller 2 [20] .
Det finns oändligt många primitiva heronska trianglar med sidor a förutsatt att a > 2 [20] .
Det finns inga heroniska trianglar med sidor som bildar en geometrisk progression [12] .
Om två sidor av en heronisk triangel har en gemensam divisor, måste den divisorn vara summan av två kvadrater [21] .
Vilken vinkel som helst i den heroniska triangeln har en rationell sinus. Detta följer av formeln för arean av en triangel Area = (1/2) ab sin C , där arean och sidorna a och b är heltal (och samma för de andra sidorna).
Det finns inga heroniska trianglar vars inre vinklar bildar en aritmetisk progression. Detta följer av det faktum att i fallet med en aritmetisk progression av vinklar måste en vinkel vara lika med 60°, och sinus för denna vinkel är inte rationell [6] .
Varje kvadrat som är inskriven i en heronisk triangel har rationella sidor - för vilken triangel som helst har en inskriven kvadrat på sidan av längden a sidor , där T är arean av triangeln [22] . I en heronisk triangel är både T och a heltal. ${\tfrac {2Ta}{a^{2}+2T}}$
Varje heronisk triangel har en rationell incirkelradie - för varje triangel är denna radie lika med förhållandet mellan arean och halva omkretsen, och båda dessa kvantiteter i den heronianska triangeln är rationella.
Varje heronisk triangel har en rationell radie av den omskrivna cirkeln - i allmänhet är radien lika med en fjärdedel av produkten av sidorna dividerat med arean. I en heronisk triangel är sidorna och arean heltal.

Heltalstrianglar på ett tvådimensionellt gitter

Ett tvådimensionellt gitter är en regelbunden matris av isolerade punkter där, om en punkt väljs som origo (0, 0), alla andra punkter kommer att se ut som ( x, y ), där x och y löper över alla positiva och negativa heltal. En triangel på ett gitter är vilken triangel som helst vars hörn är punkter på gittret. Enligt Picks formel har en triangel på ett gitter en rationell area, som antingen är ett heltal eller har en nämnare på 2. Om en triangel på ett gitter har heltalssidor, så är det en heronisk triangel [17] .

Dessutom har det visat sig att alla heronska trianglar kan ritas på ett gitter [23] . Därför kan man hävda att en heltalstriangel är heronisk om och bara om den kan ritas på ett gitter.

Heltalstrianglar med specifika vinkelegenskaper

Heltalstrianglar med en rationell halveringslinje

Familjen av trianglar med heltalssidor och rationell vinkelhalveringslinje A ges av ekvationerna [24] $a,b,c$ $d$

a=2(k^{2}-m^{2})

b=(km)^{2}

c=(k+m)^{2}

d={\tfrac {2km(k^{2}-m^{2})}{k^{2}+m^{2))}

med hela . $k>m>0$

Heltalstrianglar med heltals n -delare för alla vinklar

Det finns trianglar där tre sidor och alla tre bisektrar är heltal [25] .

Det finns trianglar där tre sidor och två trisektorer av varje vinkel är heltal [25] .

Men för n >3 finns det inga trianglar med heltalssidor där ( n -1) n -sektorerna för varje vinkel är heltal [25] .

Heltalstrianglar med en vinkel som har en rationell cosinus

Vissa heltalstrianglar med en vinkel i spetsen A som har en rationell cosinus h/k ( h <0 eller >0; k >0) ges av formlerna [26]

a=p^{2}-2pqh+q^{2}k^{2}

b=p^{2}-q^{2}k^{2}

c=2qk(p-qh)

där p och q är positiva heltal för coprime för vilka p>qk .

Heltalstrianglar med 60° vinkel (vinklar i aritmetisk progression)

För alla heltalstrianglar med en vinkel på 60° bildar vinklarna en aritmetisk progression. Alla sådana trianglar liknar trianglar [6]

a=4 min

b=3m^{2}+n^{2}

c=2mn+|3m^{2}-n^{2}|

med coprime heltal m , n och 1 ≤ n ≤ m eller 3 m ≤ n . Alla primitiva lösningar kan erhållas genom att dividera a , b och c med den största gemensamma divisorn.

Heltalstrianglar med en vinkel på 60° kan erhållas med formlerna [27]

a=m^{2}-mn+n^{2}

b=2mn-n^{2}

c=m^{2}-n^{2}

med coprime heltal m , n och med 0 < n < m (vinkeln på 60° är motsatt sidan av längden a ). Alla primitiva lösningar kan erhållas genom att dividera a , b och c med den största gemensamma divisorn (till exempel kan liksidiga trianglar erhållas med m = 2 och n = 1, men detta ger a = b = c = 3, vilket inte är en primitiv lösning). Se även ( Burn 2003 ), ( Läs 2006 ).

Eisensteintrippeln är en uppsättning heltal som är sidorna i en triangel, och en av triangelns vinklar är 60 grader.

Heltalstrianglar med en 120° vinkel

Heltalstrianglar med en vinkel på 120° kan erhållas med formlerna [28]

a=m^{2}+mn+n^{2}

b=2 min+n^{2}

c=m^{2}-n^{2}

med coprime heltal m , n och 0 < n < m (vinkeln 120° är motsatt sidan av längden a ). Alla primitiva lösningar kan erhållas genom att dividera a , b och c med den största gemensamma divisorn (till exempel med m = 4 och n = 1 får vi a = 21, b = 9 och c = 15, och denna lösning är inte primitiv , men från den kan man få en primitiv lösning a = 7, b = 3 och c = 5 genom att dividera med 3. Men samma lösning kan erhållas genom att ta m = 2 och n = 1). Se även ( Burn 2003 ), ( Läs 2006 ).

Heltalstrianglar med en vinkel lika med en annan vinkel med valfri rationell koefficient

För positiva coprime heltal h och k , en triangel med sidor som ges av formlerna nedan har vinklar , och , och därför är vinklarna i förhållandet h : k , medan sidorna av triangeln är heltal: [29] $h\alfa$ $k\alfa$ $\pi -(h+k)\alfa$

a=q^{h+k-1}{\frac {\sin h\alpha }{\sin \alpha }}=q^{k}\cdot \sum _{0\leq i\leq {\frac { h-1}{2}}}(-1)^{i}{\binom {h}{2i+1}}p^{h-2i-1}(q^{2}-p^{2} )^{i},

b=q^{h+k-1}{\frac {\sin k\alpha }{\sin \alpha }}=q^{h}\cdot \sum _{0\leq i\leq {\frac { k-1}{2}}}(-1)^{i}{\binom {k}{2i+1}}p^{k-2i-1}(q^{2}-p^{2} )^{i},

c=q^{h+k-1}{\frac {\sin(h+k)\alpha }{\sin \alpha ))=\summa _{0\leq i\leq {\frac {h+k -1}{2}}}(-1)^{i}{\binom {h+k}{2i+1}}p^{h+k-2i-1}(q^{2}-p^ {2})^{i},

där och p , q är relativt primtal för vilka . $\alpha =\cos ^{-1}{\frac {p}{q))$ $\cos {\frac {\pi }{h+k}}<{\frac {p}{q}}<1$

Heltalstrianglar med en vinkel två gånger den andra

För vinkel A motsatt sida , och vinkel B motsatt sida , vissa trianglar med B=2A ges av formler [30] $a$ $b$

a=n^{2}

b=mn

c=m^{2}-n^{2}

med heltal m , n så att 0 < n < m < 2 n .

Observera att för alla trianglar med B = 2 A (med heltalssidor eller inte), gäller [31] . $a(a+c)=b^{2}$

Heltalstrianglar med en vinkel lika med 3/2 av den andra

Ekvivalensklassen för liknande trianglar med ges av formlerna [30] $\ B={\tfrac {3}{2}}A$

a=mn^{3}

b=n^{2}(m^{2}-n^{2})

c=(m^{2}-n^{2})^{2}-m^{2}n^{2}

med heltal så att , var är det gyllene snittet . $\m,n$ $\ 0<\varphi n<m<2n$ $\ \varphi$ $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1,61803$

Observera att för alla trianglar med (oavsett om de har heltalssidor eller inte), . $\ B={\tfrac {3}{2}}A$ $\ (b^{2}-a^{2})(b^{2}-a^{2}+bc)=a^{2}c^{2}$

Heltalstrianglar med en vinkel tre gånger den andra

Vi kan få alla trianglar som uppfyller vinkelrelationen B=3A med formlerna [32]

a=n^{{3}}

b=n(m^{{2}}-n^{{2}})

c=m(m^{{2}}-2n^{{2}})

var och är heltal för vilka . $m$ $n$ ${\sqrt {2}}n<m<2n$

Observera att för alla trianglar med B = 3A (med heltalssidor eller inte), . $ac^{2}=(ba)^{2}(b+a)$

Heltalstrianglar med ett heltalsförhållande mellan radierna för de omskrivna och inskrivna cirklarna

Villkoret för att en heltalstriangel ska ha ett heltalsförhållande N av den omslutna cirkelns radie och den inskrivna cirkelns radie är känt i termer av elliptiska kurvor [33] [34] . Det minsta fallet, en liksidig triangel, har N =2. I alla kända fall är N ≡ 2 (mod 8), det vill säga N -2 är delbart med 8.

Några heltalstrianglar

Den enda triangeln med på varandra följande heltal som sidor och area har sidor och area . $(3,4,5)$ $6$
Den enda triangeln med på varandra följande heltal för sidor och höjd har sidor och höjd 12 sjunkna med en sida med längd 14. $(13,14,15)$
Triangeln och dess multipler är de enda räta trianglarna med heltalssidor vars sidor bildar en aritmetisk progression [35] . $(3,4,5)$
Triangeln och dess multipler är de enda trianglarna med heltalssidor som har en vinkel två gånger den andra och vars sidor bildar en aritmetisk progression [35] . $(4,5,6)$
Triangeln och dess multipler är de enda trianglarna med heltalssidor som har en vinkel på 120°, och sidorna bildar en aritmetisk progression [35] . $(3,5,7)$
Den enda heltalstriangeln med area lika med halvomkretsen [36] har sidor . $(3,4,5)$
Heltalstrianglar med area lika med omkrets har bara sidor [36] [37] (5, 12, 13), (6,8,10), (6,25,29), (7,15,20) och ( 9 ,10,17). Av dessa är endast de två första rektangulära.
Det finns heltalstrianglar med tre rationella medianer [38] . Den minsta av dem har sidor (68, 85, 87). Du kan också ge (127, 131, 158), (113, 243, 290), (145, 207, 328) och (327, 386, 409).
Det finns inga likbenta pytagoreiska trianglar [39] .
De enda primitiva pytagoreiska trianglarna för vilka kvadraten på omkretsen är en multipel av arean är [40]
- 1) en triangel (3,4,5) med omkretsen 12, arean 6 och förhållandet mellan kvadraten på omkretsen och arean 24 - den egyptiska triangeln
- 2) en triangel (5,12,13) med omkretsen 30, arean 30 och förhållandet mellan kvadraten på omkretsen och arean 30
- 3) en triangel (9, 40, 41) med omkretsen 90, arean 180 och förhållandet mellan kvadraten på omkretsen och arean 45

Anteckningar

↑ Carmichael, 1959 , sid. 11-13.
↑ 1 2 3 Somos, M., " Rationella trianglar arkiverade 3 mars 2016 på Wayback Machine ".
↑ Conway, Guy, 1996 .
↑ 1 2 Jenkyns, Muller, 2000 , sid. 634-639.
↑ Honsberger, 1973 , sid. 39-37.
↑ 1 2 3 Zelator, K., "Triangle Angles and Sides in Progression and the diophantine equation x 2 +3y 2 =z 2 ," Cornell Univ. arkiv , 2008
↑ Jahnel, 2010 , sid. 2.
↑ Carmichael, 1959 .
↑ Sierpinski, 2003 .
↑ Sork, 1999 .
↑ 1 2 Richinick, Jennifer, "The upside-down Pythagorean Theorem", Mathematical Gazette 92, juli 2008, 313-317.
↑ 1 2 Buchholz, MacDougall, 1999 , sid. 263-269.
↑ Mitchell, 2007 , sid. 326-328.
↑ Sastry, 2005 , sid. 119–126.
↑ Sierpiński, 2003 , sid. 107.
↑ 12 Friche , 2002 .
↑ 1 2 Buchholz, MacDougall, 2001 , sid. 3.
↑ Yiu, 2008 , sid. 40.
↑ Mitchell, 2013 , sid. 53-59: Sats 2.
↑ 12 Carlson , 1970 .
↑ Blichfeldt, 1896-1897 , sid. 57-60.
↑ Bailey, DeTemple, 1998 , sid. 278–284.
↑ Marshall, Perlis, 2012 , sid. 2.
↑ Zelator, Konstantine, Mathematical Spectrum 39(3), 2006/2007, 59-62.
↑ 1 2 3 Bruyn, 2005 , sid. 47–52.
↑ Sastry, 1984 , sid. 289-290.
↑ Gilder, 1982 , sid. 261 266.
↑ Selkirk, 1983 , sid. 251–255.
↑ Hirschhorn, 2011 , sid. 61-63.
↑ 1 2 Deshpande, 2002 , sid. 464–466.
↑ Willson, 1976 , sid. 130–131.
↑ Parris, 2007 , sid. 345-355.
↑ MacLeod, 2010 , sid. 149-155.
↑ Goehl, 2012 , sid. 27-28.
↑ 1 2 3 Mitchell, 2008 .
↑ 1 2 MacHale, 1989 , sid. 14-16.
↑ Dickson, 2005 .
↑ Sierpiński, 2003 , sid. 64.
↑ Sastry, 2005 .
↑ Goehl, 2009 , sid. 281–282.

Länkar

Herbert Bailey, Duane DeTemple. Kvadrater inskrivna i vinklar och trianglar // Mathematics Magazine . - 1998. - Utgåva. 71(4) .
T. Barnard, J. Silvester. Cirkelsatser och en egenskap hos (2,3,4) triangeln // Mathematical Gazette. - 2001. - Utgåva. 85, juli .
H.F. Blichfeldt. Om trianglar med rationella sidor och att ha rationella områden // Annals of Mathematics. - 1896-1897. - T. 11 , nej. 1/6 .
Bart De Bruyn. Om ett problem angående n-sektorerna i en triangel // Forum Geometricorum. - 2005. - Utgåva. 5 .
RH Buchholz, JA MacDougall. Heron Quadrilaterals med sidor i aritmetisk eller geometrisk progression // Bull. Austral. Matematik. Soc.. - 1999. - T. 59 .
RH Buchholz, JA MacDougall. Cykliska polygoner med rationella sidor och area. — CiteSeerX Penn State University, 2001.
Bob Burn. Trianglar med 60° vinkel och sidor av heltalslängd // Mathematical Gazette. - 2003. - Utgåva. 87, mars .

John R. Carlson. Bestämning av heroniska trianglar // San Diego State College. — 1970.
RD Carmichael. Talteorin och diofantanalys . — Dover, 1959.
JH Conway, RK Guy. Numbers Book. - Springer-Verlag, 1996. - S. 201, 228-239 Den enda rationella triangeln.
MN Deshpande. Några nya tripplar av heltal och tillhörande trianglar // Mathematical Gazette. - 2002. - Utgåva. 86, november .
L.E. Dickson . Talteorin Historia . - 2005. - T. 2.

J. Gilder. Heltalssidiga trianglar med en vinkel på 60° // Mathematical Gazette. - 1982. - Utgåva. 66, dec.
John F. Jr. Goehl. Fler heltalstrianglar med R/r = N // Forum Geometricorum. - 2012. - Utgåva. 12 .
John F. Jr. Goehl. Pythagoras trianglar med kvadraten på omkretsen lika med en heltalsmultipel av arean // Forum Geometricorum. - 2009. - Utgåva. 9 .

Jan Friche. Om Heron Simplices och Integer Embedding // Ernst-Moritz-Arndt Universät Greiswald Publication. - 2002. - Utgåva. 2 jan.

Michael D. Hirschhorn. Kommensurerbara trianglar // Matematisk tidning. - 2011. - Utgåva. 95, mars .

Ross Honsberger. Matematiska ädelstenar III. - Washington, DC: Mathematical Association of America, 1973. - V. 1. - (Dolciani matematiska utläggningar). — ISBN 0-88385-301-9 .
George Jahnel. När är (Co)sinus för en rationell vinkel lika med ett rationellt tal? — Cornell Univ. arkiv, 2010.
N. Herre. En slående egenskap hos triangeln (2,3,4) // Mathematical Gazette. - 1998. - Utgåva. 82, mars .
D. MacHale. Den där 3,4,5 triangeln igen // Mathematical Gazette. - 1989. - Utgåva. 73, mars .

Allan J. MacLeod. Heltalstrianglar med R/r = N // Forum Geometricorum. - 2010. - Utgåva. 10 .

Susan H. Marshall, Alexander R. Perlis. Heroniska tetraedrar är gittertetraedrar. – University of Arizona, 2012.
Douglas W. Mitchell. Hägertrianglar med ∠B=2∠A // Mathematical Gazette. - 2007. - Utgåva. 91, juli .
Douglas W. Mitchell. Trianglarna 2:3:4, 3:4:5, 4:5:6 och 3:5:7 // Mathematical Gazette. - 2008. - Utgåva. 92, juli .

Douglas W. Mitchell. Vinkelräta bisektorer av triangelsidor // Forum Geometricorum. - 2013. - Utgåva. 13 .
Tom Jenkyns, Eric Muller. Triangulära tredubblar från tak till golv. — American Mathematical Monthly. — 2000.
Richard Parris. College Mathematics Journal. - 2007. - Utgåva. 38(5), november .
Emrys Läs. På heltalssidiga trianglar som innehåller vinklar på 120° eller 60° // Mathematical Gazette. - 2006. - Utgåva. 90, juli .

KRS Sastry. Heltalssidiga trianglar som innehåller en given rationell cosinus // Mathematical Gazette. - 1984. - Utgåva. 68, dec.
KRS Sastry. Konstruktion av Brahmagupta n-gons // Forum Geometricorum. - 2005. - Utgåva. 5 .
K. Selkirk. Heltalssidiga trianglar med en vinkel på 120° // Mathematical Gazette. - 1983. - Utgåva. 67, dec.

Waclaw Sierpinski. Pythagoras trianglar. — ursprung. ed. 1962. - Dover Publications, 2003. - ISBN 978-0-486-43278-6 .

Roger Voles. Heltalslösningar av a −2 + b −2 =d −2 // Mathematical Gazette. - 1999. - Utgåva. 83, jul .
Jennifer Richinick. Pythagoras sats upp och ner // Mathematical Gazette. - 2008. - Utgåva. 92, juli .
William Wynn Willson. En generalisering av egenskapen hos triangeln 4, 5, 6 // Mathematical Gazette. - 1976. - Utgåva. 60, juni .
Paul Yiu. Hägertrianglar som inte kan dekomponeras i två rätvinkliga heltalstrianglar. - 41:a mötet i Floridas sektion av Mathematical Association of America, 2008.