Cylindriskt koordinatsystem

Ett cylindriskt koordinatsystem är ett tredimensionellt koordinatsystem , som är en förlängning av det polära koordinatsystemet genom att lägga till en tredje koordinat (vanligtvis betecknad med ), som anger höjden på en punkt ovanför planet. $z$

Poängen ges som . När det gäller ett rektangulärt koordinatsystem : $P$ $(\rho ,\;\varphi ,\;z)$

$\rho \geqslant 0$ är avståndet från till , den ortogonala projektionen av punkten på planet . Eller samma som avståndet från till axeln . $O$ $P'$ $P$ $XY$ $P$ $Z$
$0\leqslant \varphi <360^{\circ }$ är vinkeln mellan axeln och segmentet . $X$ $OP'$
$z$ är lika med applikatet av en punkt . $P$

När den används inom fysik och ingenjörsvetenskap, rekommenderar den internationella standarden ISO 31-11 användning av beteckningen . $(\rho ,\;\varphi ,\;z)$

Cylindriska koordinater är praktiska när man analyserar ytor som är symmetriska kring någon axel, om axeln tas som symmetriaxel. Till exempel har en oändligt lång rund cylinder (cylindrisk yta) i rektangulära koordinater ekvationen , och i cylindriska koordinater har den en mycket enkel ekvation . Det är härifrån namnet "cylindrisk" kommer för detta koordinatsystem. $Z$ $x^{2}+y^{2}=c^{2}$ $\rho=c$

Övergång till andra koordinatsystem

Eftersom det cylindriska koordinatsystemet bara är ett av många tredimensionella koordinatsystem, finns det lagar för att transformera koordinater mellan det cylindriska koordinatsystemet och andra system.

Kartesiskt koordinatsystem

Orterna i ett cylindriskt koordinatsystem är relaterade till de kartesiska orterna genom följande relationer:

${\begin{cases}{\vec {e}}_{\rho }=\cos \varphi {\vec {e}}_{x}+\sin \varphi {\vec {e}}_ {y},\\{\vec {e}}_{\varphi}=-\sin \varphi {\vec {e}}_{x}+\cos \varphi {\vec {e}}_{y },\\{\vec {e}}_{z}={\vec {e}}_{z},\end{cases}}$

och bildar en högertrippel:

${\begin{cases}{\vec {e}}_{\rho }\times {\vec {e}}_{\varphi }={\vec {e}}_{z},\\ {\vec {e}}_{z}\times {\vec {e}}_{\rho }={\vec {e}}_{\varphi },\\{\vec {e}}_{ \varphi }\times {\vec {e}}_{z}={\vec {e}}_{\rho }.\end{cases}}$

De omvända relationerna tar formen:

${\begin{cases}{\vec {e}}_{x}=\cos \varphi {\vec {e}}_{\rho }-\sin \varphi {\vec {e}}_ {\varphi },\\{\vec {e}}_{y}=\sin \varphi {\vec {e}}_{\rho }+\cos \varphi {\vec {e}}_{\ varphi },\\{\vec {e}}_{z}={\vec {e}}_{z}.\end{cases}}$

Lagen för transformation av koordinater från cylindrisk till kartesisk:

{\begin{cases}x=\rho \cos \varphi ,\\y=\rho \sin \varphi ,\\z=z.\end{cases))

Lagen för transformation av koordinater från kartesisk till cylindrisk:

{\begin{cases}\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\\\varphi ={\mathrm {arctg}}\left({\dfrac {y}{x }}\right),\\z=z.\end{cases}}

Jacobianen är:

J=\rho .

Differentiella egenskaper

Cylindriska koordinater är ortogonala, så den metriska tensorn har en diagonal form i dem:

g_{{ij}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\rho ^{2}&0\\0&0&1\end{pmatrix}},\quad g^{{ij}}={\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&1/\rho ^{2}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}.

Kurvlängdsdifferens kvadrat

ds^{2}=d\rho ^{2}+\rho ^{2}\,d\varphi ^{2}+dz^{2}.

Lame-koefficienterna har formen:

H_{\rho }=1,\quad H_{\varphi }=\rho ,\quad H_{z}=1.

Christoffel symboler : ${\displaystyle \{\rho ,\;\varphi ,\;z\))$

\Gamma _{22}^{1}=-\rho ,\quad \Gamma _{21}^{2}=\Gamma _{12}^{2}={\frac {1}{\ rho }}.

Resten är noll.

Differentialoperatorer

Gradient i cylindriskt koordinatsystem:

{\mathrm {grad}}\,\psi ={\vec e}_{\rho }{\frac {\partial \psi }{\partial \rho }}+{\vec e}_{\varphi }{ \frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \psi }{\partial \varphi }}+{\vec e}_{z}{\frac {\partial \psi }{\partial z} }.

Divergens i ett cylindriskt koordinatsystem:

{\mathrm {div}}\,{\vec a}={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \rho a_{\rho }}{\partial \rho }}+{\ frac {1}{\rho }}{\frac {\partial a_{\varphi }}{\partial \varphi }}+{\frac {\partial a_{z}}{\partial z}}.

Rotor i cylindriskt koordinatsystem:

{\mathrm {rot}}\,{\vec a}={\mathrm {det}}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{\rho }}{\vec e}_{\rho }& {\vec e}_{\varphi }&{\frac {1}{\rho }}{\vec e}_{z}\\{\frac {\partial }{\partial \rho }}&{\ frac {\partial }{\partial \varphi }}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\a_{\rho }&\rho a_{\varphi }&\ a_{z}\end{ pmatrix}}={\vec e}_{\rho }\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial a_{z}}{\partial \varphi }}-{\frac {\partial a_{\varphi }}{\partial z}}\right)+{\vec e}_{\varphi }\left({\frac {\partial a_{\rho }}{\partial z}} -{\frac {\partial a_{z}}{\partial \rho }}\right)+{\vec e}_{z}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac { \partial \rho a_{\varphi }}{\partial \rho }}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial a_{\rho }}{\partial \varphi }}\right ).

Uttryck för radievektorn , hastighet och acceleration i cylindriska koordinater

$r(t)=\rho {\vec {e}}_{\rho }+z{\vec {e}}_{z}$

${\dot {r}}(t)={\dot {\rho }}{\vec {e}}_{\rho }+\rho {\dot {\varphi }}{\vec {e ))_{\varphi }+{\dot {z}}{\vec {e}}_{z}$

${\ddot {r}}(t)=({\ddot {\rho }}-\rho {\dot {\varphi }}^{2}){\vec {e}}_{\rho }+(2{\dot {\rho }}{\dot {\varphi }}+{\ddot {\varphi }}\rho ){\vec {e}}_{\varphi}+{\ddot {z }}{\vec {e}}_{z}$

Se även

Litteratur

Khalilov V.R., Chizhov G.A., Dynamics of classical systems: Proc. ersättning. - M .: Moscow State Universitys förlag, 1993. - 352 s.

Koordinatsystem
Namn på koordinater	Abskissa Ordinera Applikation
Typer av koordinatsystem	Rättlinjigt koordinatsystem Krökt koordinatsystem
2D-koordinater	Biangulära koordinater Bicentriska koordinater Hyperboliska koordinater Polära koordinater Bipolära koordinater Paraboliska koordinater Elliptiska koordinater Tetracykliska koordinater Trilinjära koordinater
3D-koordinater	Cylindriska koordinater Sfäriska koordinater Bisfäriska koordinater Toroidformade koordinater Cylindriska paraboliska koordinater Bicylindriska koordinater Ellipsoidala koordinater Koniska koordinater Pentasfäriska koordinater Dipolärt koordinatsystem
$n$ -dimensionella koordinater	kartesiska koordinater Affina koordinater Projektiva koordinater Plücker-koordinater barycentriska koordinater
Fysiska koordinater	Rindler koordinater Födda koordinater Himmelskt koordinatsystem Geografiska koordinater Huvudortodromt koordinatsystem
Relaterade definitioner	Koordinatmetod Ursprung Koordinataxel Vektor Orth referenssystem Benchmark Lama koefficienter Metrisk tensor