Boll

Bollen är en geometrisk kropp ; uppsättningen av alla punkter i rymden ligger på ett avstånd från centrum , inte mer än en given. Detta avstånd kallas bollens radie . En kula bildas genom att en halvcirkel roteras runt dess fasta diameter . Denna diameter kallas kulans axel , och båda ändarna av den angivna diametern kallas kulans poler . Ytan på en boll kallas en sfär : en sluten boll inkluderar denna sfär , en öppen boll utesluter den.

Relaterade definitioner

Om skärplanet passerar genom kulans mitt, kallas kulans sektion storcirkel . Andra plana delar av bollen kallas små cirklar . Arean av dessa sektioner beräknas med formeln πR².

Grundläggande geometriska formler

Ytan och volymen av en boll med radie (och diameter ) bestäms av formlerna: $S$ $V$ $r$ $d = 2r$

$S=\ 4\pi r^{2}$

$S=\ \pi d^{2}$

$V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$

Bevis

Låt oss ta en kvartscirkel med radien R centrerad vid punkten . Ekvationen för omkretsen av denna cirkel är: , varifrån . $\left(0;0\right)$ $x^{2}+y^{2}=R^{2}$ $y^{2}=R^{2}-x^{2}$

Funktionen är kontinuerlig, avtagande, icke-negativ. När en fjärdedel av en cirkel roterar runt Ox-axeln bildas en halvklot, därför: $y={\sqrt {R^{2}-x^{2}}},x\in (0;R)$

${1 \over 2}V=\pi \int \limits _{0}^{R}(R^{2}-x^{2})dx=\pi \cdot {\Bigl .}\left(R ^{2}x-{\frac {x^{3}}{3}}\right){\Bigr |}_{0}^{R}=\pi \cdot (R^{3}-{\ frac {R^{3}}{3}})={\frac {2}{3}}\pi R^{3}$

Var kommer Ch. t. $V={\frac {4}{3}}\pi R^{3}$

$V={\frac {\pi d^{3}}{6}}$

Bevis

$d=2r, V={4 \over 3} \pi r^3 = {4 \over 3} \pi \left ( {d \over 2} \right )^3 = {4 \over 3} \pi \ frac {d^3} {8} = \frac {\pi d^3} {6}$ H. t. d.

Begreppet en boll i ett metriskt utrymme generaliserar naturligtvis begreppet en boll i euklidisk geometri .

Definitioner

Låt ett metriskt utrymme ges . Sedan $(X,\rho)$

En boll (eller öppen boll ) med ett centrum vid en punkt och en radie är en uppsättning $x_{0}\i X$ $r>0$

B_{r}(x_{0})=\{x\in X\mid \rho (x,x_{0})<r\}.

En sluten boll med centrum vid och radie är en uppsättning $x_{0}$ $r$

D_{r}(x_{0})=\{x\in X\mid \rho (x,x_{0})\leqslant r\}.

Anteckningar

En boll med radie centrerad kallas också en -grannskap av en punkt . $r$ $x_{0}$ $r$ $x_{0}$

Egenskaper

Bollen är en öppen uppsättning i topologin som genereras av metriken . $\rho$
En sluten boll är en sluten uppsättning i topologin som genereras av metriken . $\rho$
Enligt definitionen av en sådan topologi är öppna bollar med centra vid vilken punkt som helst dess bas . $X$
Uppenbarligen . Men i allmänhet får stängningen av en öppen boll inte sammanfalla med en stängd boll: $B_{r}(x_{0})\delmängd D_{r}(x_{0})$ $\overline {B_{r}(x_{0})}\neq D_{r}(x_{0}).$
- Till exempel: låt vara ett
diskret metriskt utrymme och bestå av mer än två punkter. Sedan för alla vi har: $(X,\rho)$ $X$ $x\i X$

B_{1}(x)=\{x\},\;\overline {B_{1}(x)}=\{x\},\;D_{1}(x)=X.

Volym

Volym av en n-dimensionell boll med radien R i n - dimensionell euklidisk rymd: [1]

V_{n}(R)={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)))R^{n},

där Γ är Eulers gammafunktion (som är förlängningen av faktorial till fältet av reella och komplexa tal ). Genom att använda speciella representationer av gammafunktionen för heltals- och halvheltalsvärden kan man få formler för volymen av en n-dimensionell boll som inte kräver en gammafunktion:

V_{2k}(R)={\frac {\pi ^{k}}{k!)}}R^{2k}

V_{2k+1}(R)={\frac {2^{k+1}\pi ^{k}}{(2k+1)!!}}R^{2k+1}={ \frac {2(k!)(4\pi )^{k}}{(2k+1)!}}R^{2k+1}

Bekant !! här betecknas dubbelfaktorialet .

Dessa formler kan också reduceras till en allmän:

V_{n}(R)={\frac {2^{\left[{\frac {n+1}{2}}\right]}\pi ^{\left[{\frac {n} {2}}\right]}}{n!!}}R^{n}

Invers funktion för att uttrycka radiens beroende av volymen:

{\displaystyle R_{n}(V)={\frac {\Gamma (n/2+1)^{1/n)){\sqrt {\pi ))}V^{1/n))

Denna formel kan också delas upp i två, för utrymmen med ett jämnt och ett udda antal dimensioner, med hjälp av faktoriell och dubbel faktor i stället för gammafunktionen:

{\displaystyle R_{2k}(V)={\frac {(k!V)^{1/2k)){\sqrt {\pi ))))

R_{2k+1}(V)=\left({\frac {(2k+1)!!V}{2^{k+1}\pi ^{k))}\right)^{ 1/(2k+1)}

. Rekursion

Volymformeln kan också uttryckas som en rekursiv funktion . Dessa formler kan bevisas direkt eller härledas från grundformeln ovan. Det enklaste sättet att uttrycka volymen av en n -dimensionell boll är i termer av volymen av en dimensionell boll (förutsatt att de har samma radie): $n-2$

V_{n}(R)={\frac {2\pi R^{2}}{n}}V_{n-2}(R)

Det finns också en formel för volymen av en n -dimensionell boll beroende på volymen av en ( n − 1)-dimensionell boll med samma radie:

V_{n}(R)=R{\sqrt {\pi )){\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2)))}{\Gamma ({\frac {n }{2}}+1)}}V_{n-1}(R)

Samma utan gammafunktionen:

{\begin{aligned}V_{2k}(R)&=R\pi {\frac {(2k-1)!!}{2^{k}k!}}V_{2k-1}( R)=R\pi {\frac {(2k-1)(2k-3)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}{(2k)(2k-2)\cdots 6\cdot 4\cdot 2)) V_{2k-1}(R),\\V_{2k+1}(R)&=2R{\frac {2^{k}k!}{(2k+1)!!}}V_{2k} (R)=2R{\frac {(2k)(2k-2)\cdots 6\cdot 4\cdot 2}{(2k+1)(2k-1)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}}V_ {2k}(R).\end{aligned}}

Utrymmen med lägre dimensioner

Volymformler för vissa utrymmen med lägre dimensioner:

Antal mätningar	Volymen av en sfär med radien R	Volymkulradie V
ett	$2R$	$V/2$
2	$\pi R^{2}$	${\frac {V^{1/2}}{\sqrt {\pi }}}$
3	${\frac {4\pi }{3}}R^{3}$	$\left({\frac {3V}{4\pi }}\right)^{1/3}$
fyra	${\frac {\pi ^{2}}{2}}R^{4}$	${\frac {(2V)^{1/4}}{\sqrt {\pi }}}$
5	${\frac {8\pi ^{2}}{15}}R^{5}$	$\left({\frac {15V}{8\pi ^{2}}}\right)^{1/5}$
6	${\frac {\pi ^{3}}{6}}R^{6}$	${\frac {(6V)^{1/6}}{\sqrt {\pi }}}$
7	${\frac {16\pi ^{3}}{105}}R^{7}$	$\left({\frac {105V}{16\pi ^{3}}}\right)^{1/7}$
åtta	${\frac {\pi ^{4}}{24}}R^{8}$	${\frac {(24V)^{1/8}}{\sqrt {\pi }}}$
9	${\frac {32\pi ^{4}}{945}}R^{9}$	$\left({\frac {945V}{32\pi ^{4}}}\right)^{1/9}$
tio	${\frac {\pi ^{5}}{120}}R^{10}$	${\frac {(120V)^{1/10}}{\sqrt {\pi }}}$

Utrymmen med högre dimensioner

Eftersom antalet dimensioner tenderar till oändlighet, tenderar volymen av en sfär med enhetsradie till noll. Detta kan härledas från den rekursiva representationen av volymformeln.

Exempel

Låt vara ett euklidiskt utrymme med det vanliga euklidiska avståndet. Sedan $\mathbb{R}^d$

om (mellanrum är en rät linje ), då $d=1$

B_{r}(x_{0})=\{x\in \mathbb {R} \mid |x-x_{0}|<r\}=\left(x_{0}-{r} ,x_{0}+{r}\right),

D_{r}(x_{0})=\{x\in \mathbb {R} \mid |x-x_{0}|\leq r\}=\left[x_{0}-{r },x_{0}+{r}\höger].

är öppna respektive stängda segment .

om (rymd - plan ), då $d=2$ $B_{r}((x_{0},y_{0}))=\left\{(x,y)\in {\mathbb {R}}^{2}\mid {\sqrt {(x-x_ {0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}<r\right\},$ $D_{r}((x_{0},y_{0}))=\left\{(x,y)\in {\mathbb {R}}^{2}\mid {\sqrt {(x-x_ {0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}\leq r\right\}$

är öppna respektive stängda skivor .

om , då $d=3$ $B_{r}((x_{0},y_{0},z_{0}))=\left\{(x,y,z)\in {\mathbb {R}}^{3}\mid { \sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}}}<r\right\},$ $D_{r}((x_{0},y_{0},z_{0}))=\left\{(x,y,z)\in {\mathbb {R}}^{3}\mid { \sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}}}\leq r\right\}$

är en öppen respektive en sluten stereometrisk sfär .

I andra mått kan bollen ha en annan geometrisk form. Låt oss till exempel definiera ett mått i euklidiskt utrymme enligt följande: $\mathbb{R}^d$ $\rho (x,y)=\summa \limits _{{i=1}}^{d}\|x_{i}-y_{i}\|,\quad x=(x_{1},\ldots ,x_{d})^{{\top }},y=(y_{1},\ldots,y_{d})^{{\top }}\in {\mathbb {R}}^{d} .$

Sedan

om , då är en öppen kvadrat med ett centrum i en punkt och längdsidor som ligger diagonalt mot koordinataxlarna. $d=2$ $U_{r}(x_{0})$ $x_{0}$ ${\sqrt {2}}$
om , då är en öppen tredimensionell oktaeder . $d=3$ $U_{r}(x_{0})$

Se även

Anteckningar

↑ Ekvation 5.19.4, NIST Digital Library of Mathematical Functions. http://dlmf.nist.gov/ , Release 1.0.6 av 2013-05-06.

Litteratur

Ball, geometric body // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : i 86 volymer (82 volymer och ytterligare 4). - St Petersburg. 1890-1907.

Länkar till onlineräknare

Beräkning av volymen och arean av en sfär (otillgänglig länk) . Hämtad 12 mars 2012. Arkiverad från originalet 8 augusti 2011. (obestämd)
Onlineräknare (inte tillgänglig länk) . Hämtad 2 juli 2019. Arkiverad från originalet 9 januari 2019. (obestämd)
Matematiska etuder (otillgänglig länk) . Hämtad 20 oktober 2011. Arkiverad från originalet 18 oktober 2011. (obestämd) Tecknad film för sfärvolym