Affin transformation

Affin transformation , ibland affin transformation [1] (från latin affinis "sammanhängande, nära, angränsande") är en kartläggning av ett plan eller utrymme in i sig själv, där parallella linjer blir parallella linjer, skärande linjer blir skärande, skärande linjer blir skärande [ 2 ] .

Definitioner

Geometrisk

En bijektion av ett euklidiskt utrymme eller plan i sig själv som mappar parallella linjer till parallella linjer kallas en affin transformation.

Algebraisk

En affin transformation är en transformation av formen ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n))$

f(x)=M\cdot x+v,

var är en inverterbar matris och . $M$ $v\in {\mathbb {R}}^{{n}}$

Kommentarer

Observera att kontinuitet inte antas i den geometriska definitionen. Kontinuitet följer dock av definitionen på ett inte helt trivialt sätt. Dessutom är båda definitionerna ekvivalenta med den så kallade fundamentalsatsen för affin geometri .

Observera att en transformation är affin om den kan erhållas enligt följande:
1. Välj ett "nytt" utrymme med ett "nytt" ursprung ; $v$
2. Associera varje punkt i rymden med en punkt som har samma koordinater i förhållande till det "nya" koordinatsystemet som i det "gamla". $x$ $f(x)$ $x$

Exempel

Exempel på affina transformationer är

Egenskaper

Under en affin transformation blir en rät linje en rät linje.
- Om utrymmets dimension ${n}\geqslant 2$ , då är varje transformation av rymden (det vill säga en bijektion av rymden på sig själv), som tar linjer till linjer, affin. Denna definition används i den axiomatiska konstruktionen av affin geometri
Affina transformationer bildar en grupp med avseende på sammansättning .
Alla tre punkter som inte ligger på samma linje respektive deras bilder (som inte ligger på samma linje) definierar unikt en affin transformation av planet.

Typer av affina transformationer

En ekviaffin transformation är en affin transformation som bevarar området (den affina längden bevaras också ).
En centro -affin transformation är en affin transformation som bevarar ursprunget.

Matrisrepresentation

Liksom andra projektiva transformationer kan en affin transformation skrivas som en övergångsmatris i homogena koordinater : $f(x)=M\cdot x+v$

${\begin{pmatrix}f(x)\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}M&v\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\1\end{pmatrix }}$

Matrisrepresentationen används i synnerhet för att skriva affina transformationer i datorgrafik. Ovanstående formulär används i OpenGL [3] ; i DirectX (där koordinater representeras som 1×4-matriser) transponeras det [4] .

Variationer och generaliseringar

I ovanstående definition av en affin transformation kan vilket fält som helst användas , inte bara fältet med reella tal . $\mathbb {R}$
En kartläggning mellan metriska utrymmen kallas affin om den mappar geodesik till geodesik (med hänsyn till parametriseringen).
Affina transformationer av ett utrymme är ett specialfall av projektiva transformationer av samma utrymme. I sin tur kan projektiva transformationer av rymden representeras som affina transformationer av rymden . ${\mathbb {R}}^{{n}}$ ${\mathbb {R}}^{{n}}$ $\mathbb {R} ^{n+1}$

Se även

Gummiarkmetod (lokal affin transformation)

Anteckningar

↑ Kagan V.F. Grunderna i teorin om ytor i tensorpresentation. - Ripol-klassiker , 2013. - 518 sid. — ISBN 9785458491099 .
↑ I. M. Vinogradov. Affin transformation // Matematisk uppslagsverk. — M.: Sovjetiskt uppslagsverk . - 1977-1985. (ryska)
↑ OpenGL Transformation . Hämtad 4 augusti 2010. Arkiverad från originalet 23 augusti 2011.
↑ Transformers (Direct3D 9 ) . Hämtad 4 augusti 2010. Arkiverad från originalet 23 augusti 2011.

Länkar

Affin plantransformation och dess matrisrepresentation Arkiverad 24 november 2007 på Wayback Machine
Ershov A.V. Linjära och affina utrymmen och mappningar Arkiverade 3 december 2021 på Wayback Machine . M.: MIPT, 2016. 69 sid.

Ordböcker och uppslagsverk	Stor dansk Stor katalanska Stor ryss Universalis
I bibliografiska kataloger	GND : 4141560-7