Veronese yta

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 10 september 2018; verifiering kräver 1 redigering .

En Veronese-yta är en algebraisk yta i ett femdimensionellt projektivt utrymme som realiseras som en bild av Veronese-inbäddningen . Det finns också en generalisering av den veronesiska inbäddningen till godtyckliga dimensioner av projektiva utrymmen. Uppkallad efter den italienske matematikern Giuseppe Veronese .

Definition

Veronese-ytan är bilden av Veronese-inbäddningen, det vill säga kartläggningen

{\displaystyle \nu :\mathbb {P} ^{2}\to \mathbb {P} ^{5))

ges av formler

\nu :[x:y:z]\mapsto [x^{2}:y^{2}:z^{2}:yz:xz:xy]

där anger de homogena koordinaterna för en punkt på det projektiva planet. $[x:\ldots ]$

Motiv för definitionen

Den Veronese ytan uppstår naturligt i studien av koner , särskilt när man bevisar påståendet "fem punkter definierar unikt en konisk". En konisk är en plan kurva som ges av ekvationen

Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dxz+Eyz+Fz^{2}=0,

som är kvadratisk med avseende på variablerna. Men kompositionen med Veronese-inbäddningen gör det möjligt för oss att göra denna ekvation linjär (mer exakt, för att få en godtycklig kon, räcker det att skära Veronese-ytan med ett hyperplan och ta den omvända bilden av korsningen). Omvänt är villkoret att könen innehåller en punkt linjärt med avseende på koefficienterna och reducerar därför utrymmets dimension med en. Ett mer exakt uttalande är att fem punkter i allmän position definierar fem oberoende linjära ekvationer, detta följer av det faktum att under Veronese-inbäddningen går punkter i allmän position till punkter i allmän position. $x,y,z.$ $[x:y:z]$ $(A,B,C,D,E,F)$

Veronese yta och koner

Veronesiska ytan kan relateras till konikernas geometri på ett annat sätt, på ett sätt som är dubbelt med det som beskrivits ovan. Vi har sett att koniken på definieras som , det vill säga en vektor som inte är noll är associerad med den (för enkelhetens skull kommer vi att anta att basfältet är fältet av komplexa tal). De proportionella vektorerna definierar samma koniska, så i själva verket parametriseras käglarna av dess projektivisering, . Med andra ord kan koner i planet representeras som punkter i ett femdimensionellt projektivt utrymme; i detta fall kommer pennan av koniska linjer att representeras av punkter som ligger på en rät linje osv. Som bekant kan platta koner vara degenererade och icke-degenererade, dessutom kan degenererade vara antingen ett par linjer eller en dubbel linje. Vilka geometriska objekt parameriserar degenererade koner? $\mathbb {P} ^{2}$ $Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dxz+Eyz+Fz^{2}=0$ $(A,B,C,D,E,F)\in \mathbb {C} ^{6}$ $\mathbb {P} ^{5}$ $\mathbb {P} ^{5}$

Den dubbla linjen är en konisk med ekvationen . Enkla, enkla linjer parametriseras av det dubbla projektiva planet; "dubblering" av den räta linjen kommer att definiera en mappning från till utrymmet som parametriserar konikerna. När vi expanderar parenteserna ser vi hur man skriver det explicit: , wherece we have , vilket motsvarar Veronese-mappningen upp till en linjär transformation. $(Lx+My+Nz)^{2}=0$ $\mathbb {P} ^{2}$ $\left(\mathbb {P} ^{2}\right)^{*}$ $\mathbb {P} ^{5}$ $(Lx+My+Nz)^{2}=L^{2}x^{2}+2LMxy+M^{2}y^{2}+2LNxz+2MNyz+N^{2}z^ {2}$ $(A,B,C,D,E,F)=(L^{2},2LM,M^{2},2LN,2MN,N^{2})$

Om Veronese-ytan parametriserar dubbla linjer, vad parametriserar då resten av de degenererade konikerna? Det är lätt att skriva en ekvation för en sådan mångfald: i själva verket kan könen betraktas som en kvadratisk form som ges av matrisen . Försvinnandet av dess determinant betyder att den motsvarande könen inte är slät; tredje gradens ekvation i matriskoefficienter, och den definierar en kubisk hyperyta i . $Q={\begin{pmatrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{pmatrix)).$ $\det Q=0$ $\mathbb {P} ^{5}$

Denna hyperyta har också en geometrisk utföringsform. Som vi vet representerar linjerna skivor av platta koner. Det är lätt att visa att linjerna som tangerar Veronese-ytan definierar en penna av koner av följande form: vi fixar en linje och en punkt och roterar den andra linjen runt denna punkt. Därför är variationen av degenererade quadrics föreningen av alla tangentplan till Veronese-ytan. $\mathbb {P} ^{5}$ $\aln$ $p\in \ell$

Det finns två intressanta geometriska fakta kopplade till detta. Som bekant har två slumpmässigt tagna plan inte gemensamma punkter i det femdimensionella rummet (precis som i det tredimensionella rymden skär två slumpmässigt tagna räta linjer). Men två plan som tangerar Veronese-ytan har en skärningspunkt: nämligen om vi tar punkterna på Veronese-ytan som motsvarar dubbla linjer med ekvationerna och , då har tangentplanen i dem en gemensam punkt - som representerar en quadric med ekvationen . Detta är desto mer anmärkningsvärt eftersom Verones yta inte ligger i något hyperplan (och i fyradimensionellt projektivt utrymme skär vilka två plan som helst). Som jämförelse, om en kurva i har egenskapen att två av dess tangenter skär varandra, så ligger denna kurva i något plan. $L_{1}(x,y,z)^{2}=0$ $L_{2}(x,y,z)^{2}=0$ $L_{1}L_{2}=0$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{4}\subset \mathbb {P} ^{5))$ $\mathbb {P} ^{3}$

Ett annat faktum, till viss del, är en omformulering av den första. I princip skulle vi inte kunna betrakta föreningen av alla dess tangentlinjer, utan föreningen av alla dess sekanter. Den skulle innehålla en mängd olika tangenter, eftersom en tangent är gränsläget för en sekant, men den kan vara större. Faktum är att om två punkter på Veronese-ytan är dubbla linjer med ekvationer och , då konikerna från pennan som genereras av dem kommer att ha ekvationer av formen , och har därför en singularitet vid skärningspunkten mellan linjerna och . Således är variationen av sekanter av en Veronese-yta uttömd av variationen av tangenter. Detta är en ovanlig händelse. En naiv dimensionskalkyl skulle visa att sekantsgrenröret är femdimensionellt: fyra parametrar krävs för att bestämma två punkter på ytan, och en till för att bestämma positionen för en punkt på ackordet som understryker dem. När det gäller en allmän yta fungerar denna naiva dimensionskalkyl, och därför kommer dess sekantvariation att vara all . Till exempel, en vriden kub (även kallad Veronese-kurvan) beter sig på ett liknande sätt : genom valfri punkt i rymden kan du rita en rät linje som skär den två gånger (eller vidrör den vid en punkt, men med en multiplicitet av två) . När det gäller Veronese-ytan misslyckas beräkningen av dimensioner, eftersom genom varje punkt genom vilken sekanten passerar, i själva verket passerar inte en, utan en hel enparameterfamilj av sekanter. Detta fenomen kallas sekantinsufficiens . $L_{1}(x,y,z)^{2}=0$ $L_{2}(x,y,z)^{2}=0$ $aL_{1}^{2}+bL_{2}^{2}=0$ $L_{1}=0$ $L_{2}=0$ $\mathbb {P} ^{5}$ $\mathbb {P} ^{5}$ $\mathbb {P} ^{3}$

Denna fantastiska yta hemsöker geometrar till denna dag, dessutom i de mest oväntade skepnader. Så vi kan överväga ett dubbelt omslag som är förgrenat i en kurva av släktet sex - detta kommer att vara en K3-yta , betecknad med bokstaven . Den omvända bilden av en rät linje kommer att vara en kurva på denna yta, nämligen ett dubbelt omslag som är förgrenat i sex punkter, det vill säga en kurva av släktet 2 . Följaktligen kommer en konisk i allmänt läge att stiga till ett tvåplåtsskikt som är förgrenat i punkter. Från kalkylen för Euler-karaktäristiken har vi . Det linjära systemet för en kurva av släktet på en K3-yta är alltid -dimensionell, det vill säga hur vi än deformerar den lyfta kurvan på , kommer det fortfarande att förbli ett lyft av någon konisk (eftersom koner på planet också ges av fem parametrar). Med detta linjära system kan man associera modulvarianten av skivor på med stöd i sådana kurvor; det kommer att vara ett holomorft symplektiskt grenrör med en lagrangisk fibration (kartläggningen av en projektion är tilldelningen till en bunt av dess stöd, eller, mer exakt, av den quadric från vilken stödet lyfts). Det är intressant eftersom dess Mukai-vektor inte är primitiv, och därför är den inte slät. Dess speciella lager motsvarar speciella kurvor. Ibland reser sig speciella kurvor från släta kvadriker - i det enklaste fallet de som har en enkel tangens med den förgrenande sextiken. Men alla speciella kvadriker, naturligtvis, stiger till speciella kurvor. I det här fallet kommer de singulära fibrerna över punkterna som motsvarar linjeparen också att vara reducerbara - en komponent kommer att parametrisera skivorna på förbilden av en linje och den andra på förbilden av den andra. Sålunda, i det diskriminerande stället för en sådan lagrangisk fibrering kommer det att finnas en komponent anordnad som en mångfald av sekanter av Veronese-ytan; skikten ovanför kommer att vara reducerbara och delas upp i två komponenter. Dessutom kommer monodromin runt Veronese-ytan att permutera ett par linjer, och därmed två irreducerbara komponenter i fibern; om en sådan bunt hade åtminstone en homologisk sektion, så skulle den nödvändigtvis skära båda irreducerbara komponenterna, och därför skulle den skära ett jämnt skikt med multiplicitet 2, och inte 1. En sådan lagrangisk bunt tillåter alltså inte en topologisk sektion, vilket ger ett motexempel till en hypotes om Bogomolov . Å andra sidan kan man genom att modifiera specialskikten uppnå att monodromin försvinner och ett avsnitt uppstår; men detta ändrar den topologiska typen av grenröret - från Hilbert-schemat blir det ett exceptionellt 10-dimensionellt O'Grady -grenrör . $\mathbb {P} ^{2}$ $S$ $\mathbb {P} ^{1}$ $2\cdot 6=12$ $2-2g=2(2-12)+12$ $g=5$ $g$ $g$ $S$ $S$

Kartläggning av Veronese

En veronesisk kartläggning av grad d från ett n -dimensionellt projektivt utrymme är en kartläggning

{\displaystyle \nu _{d}\colon \mathbb {P} ^{n}\to \mathbb {P} ^{m))

där m ges av binomialkoefficienten :

m={n+d \choose d}-1.

Kartan skickar punkten till alla möjliga monomialer från den fulla styrkan av d . Uppsättningen av sådana monomialer kallas Veronese grenröret . $[x_{0}:\ldots :x_{n}]$ ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n))$

För låg d är mappningen trivial: för d = 0 får vi en mappning till en enda punkt , för d = 1, identitetskartläggningen; därför övervägs vanligtvis fallet med d minst två. $\mathbb {P} _{0}$

Man kan definiera Veronese-mappningen på ett koordinatoberoende sätt, nämligen

\nu _{d}:\mathbb {P} V\to \mathbb {P} ({\rm {{Sym}^{d}V)))

där V är ett ändligt dimensionellt vektorrum , och är dess symmetriska grad . ${\rm {{Sym}^{d}V))$

Rationella normalkurvor

Vid är bilden av Veronese-inbäddningen känd som den rationella normalkurvan . Låt oss ge exempel på rationella normalkurvor med små dimensioner: $n=1$

När den Veronese inbäddningen är identitetskartläggningen av den projektiva linjen på sig själv. $n=1,d=1$
När en veronesisk manifold är en parabel i affina koordinater $n=1,d=2$ $[x^{2}:xy:y^{2}],$ $(x,x^{2}).$
När en veronesisk sort är en vriden kubisk , i affina koordinater $n=1,d=3$ $[x^{3}:x^{2}y:xy^{2}:y^{3}],$ $(x,x^{2},x^{3}).$

Biregelbundenhet hos inbäddningen i Veronese

Bilden av ett grenrör under den Veronesiska inbäddningen är återigen ett grenrör, och isomorf till den första (detta betyder att det finns en omvänd mappning, som också är regelbunden ). Således är Veronese-inbäddningen tvåregelbunden .

Framför allt följer av oregelbundenhet att punkter i allmän ställning går över till punkter i allmän ställning. I själva verket, om bilderna av punkterna skulle uppfylla en icke-trivial ekvation, skulle denna ekvation definiera en submanifold vars omvända bild skulle vara submanifolden som innehåller de ursprungliga punkterna. Det kan också användas för att visa att varje projektiv varietet är skärningspunkten mellan en veronesisk variant och ett linjärt utrymme, det vill säga en skärningspunkt mellan kvadriker .

Litteratur

Harris J. Algebraisk geometri. Inledande kurs. — M.: MTsNMO, 2005. ISBN 5-94057-084-4