Euler identitet (komplex analys)

Euler-identiteten är ett specialfall av Euler-formeln för , en välkänd identitet som förbinder fem grundläggande matematiska konstanter : $x=\pi$

e^{i\pi }+1=0,

var

e

- talet e , eller basen för den naturliga logaritmen ,

i

är den imaginära enheten ,

\pi

- pi , förhållandet mellan en cirkels omkrets och längden på dess diameter ,

ett

— enhet , neutralt element genom multiplikation ,

0

— noll , neutralt element genom additionsoperationen .

Eulers identitet är uppkallad efter den schweiziske , tyska och ryske matematikern Leonhard Euler . Identiteten anses vara ett mönster av matematisk skönhet , eftersom den visar det djupa sambandet mellan de mest grundläggande talen i matematik.

Slutsats

Euler-identiteten är ett specialfall av Euler-formeln från komplex analys :

e^{ix}=\cos x+i\sin x

för någon riktig . (Observera att argumenten för de trigonometriska funktionerna och tas i radianer ). Särskilt $x$ $\synd$ $\cos$

e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi .

Och från vad

\cos \pi =-1

och

\sin \pi =0,

skall

e^{i\pi }=-1

som ger identiteten:

e^{i\pi }+1=0.

Generaliseringar

Eulers identitet är också ett specialfall av en mer allmän identitet: summan av rötterna till enhet i den e graden vid är lika med : $n$ $n>1$ $0$

\sum _{k=0}^{n-1}e^{2\pi i{\frac {k}{n))}=0.

Eulers identitet är fallet när . $n=2$

Inom ett annat område av matematiken, med hjälp av quaternion exponentiation , kan det visas att en liknande identitet även gäller quaternions. Låt { i , j , k } vara grundelement; sedan

e^{{\frac {1}{\sqrt {3}}}(i\pm j\pm k)\pi }+1=0.

I allmänhet, om verklig a 1 , a 2 och a 3 ges så att a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 = 1 , då

e^{\left(a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k\right)\pi }+1=0.

För oktonioner , med reellt a n så att a 1 2 + a 2 2 + ... + a 7 2 = 1 , och med grundläggande element av oktonioner { i 1 , i 2 , ..., i 7 },

e^{\left(a_{1}i_{1}+a_{2}i_{2}+\dots +a_{7}i_{7}\right)\pi }+1=0.

Matematisk skönhet

Eulers identitet, som kombinerar tre grundläggande matematiska operationer ( addition , multiplikation och exponentiering ) och fem grundläggande matematiska konstanter som hör till matematikens fyra klassiska områden (talen och tillhör aritmetiken , den imaginära enheten till algebra , talet till geometrin och nummer e - till matematisk analys [1] ), gjorde ett djupt intryck på den vetenskapliga världen, tolkades mystiskt som en symbol för matematikens enhet och nämns ofta som ett exempel på djup matematisk skönhet . $0$ $ett$ $i$ $\pi$

Eulers identitet orsakade många strålande recensioner.

Carl Friedrich Gauss sa att om denna formel inte är omedelbart uppenbar för en elev, då kommer han aldrig att förvandlas till en förstklassig matematiker [2] .
Professor i matematik, naturfilosofi och astronomi vid Harvard University, Benjamin Pierce , sa efter att ha bevisat Euler-identiteten vid en föreläsning att "det här är förmodligen sant, men det är absolut paradoxalt; vi kan inte förstå det, och vi vet inte vad det betyder, men vi har bevisat det, och därför vet vi att det måste vara sant” [3] .
Fysikern Richard Feynman kallade (1977) Eulers identitet "vår skatt" och "den mest anmärkningsvärda formeln i matematik" [4] .
Stanford University Mathematics Professor Keith Devlini sin essä "The Most Beautiful Equation" (2002) sa: "Som en Shakespeares sonett fångar själva kärnan av kärlek, eller en målning avslöjar skönheten i den mänskliga formen, mycket djupare än bara huden, penetrerar Eulers ekvation själva djupet av existens" [5] .
University of New Hampshire Professor emeritus Paul Nahini sin bok om Eulers formel och dess tillämpning i Fourieranalys beskriver Eulers identitet som "förfinad skönhet" [5] .
Enligt populariseraren av matematik Constance Read är denna identitet "den mest kända formeln i hela matematiken" [6] .

En läsarundersökning gjord av The Mathematical Intelligencer 1990 kallade Eulers identitet "den vackraste teoremet i matematik" [7] . I en annan läsarundersökning gjord av fysiktidskriften PhysicsWorld 2004 kallades Eulers identitet (tillsammans med Maxwells ekvationer ) "den största ekvationen i historien" [8] .

En studie av hjärnorna hos sexton matematiker visade att den "emotionella hjärnan" (i synnerhet den mediala orbitofrontala cortex , som svarar på vacker musik, poesi, målningar etc.) aktiverades mer konsekvent i fallet med Euler-identiteten än i förhållande till någon annan formel [9] .

Historik

Eulers formel , från vilken Eulers identitet omedelbart följer, citerades först i en artikel av den engelske matematikern Roger Cotes ( Newtons assistent) "Logometria" ( lat. Logometria ), publicerad iPhilosophical Transactions of the Royal Society 1714 [10] ( när Euler var 7 år gammal), och omtryckt i boken "Harmony of Measures" ( lat. Harmonia mensurarum ) 1722 [11] .

Euler publicerade Eulers formel i sin vanliga form i en artikel från 1740 och i boken "Introduktion till analysen av infinitesimals" ( lat. Introductio in analysin infinitorum ) ( 1748 ) [12] .

Emellertid förekommer inte Eulers identitet (i dess nuvarande klassiska form) i Eulers tidningar från 1740 och 1748, där det är möjligt att han aldrig härledde den. Det finns en möjlighet att Euler kunde ha fått information om Eulers formel genom sin schweiziske landsman Johann Bernoulli [13] .

Enligt Robin Wilson[14] :

Vi har sett hur det [Eulers identitet] lätt kan härledas från resultaten av Johann Bernoulli och Roger Kotes, men ingen av dem verkar ha gjort det. Inte ens Euler verkar ha skrivit detta uttryckligen – och det förekommer naturligtvis inte i någon av hans publikationer – även om han utan tvekan insåg att det följer omedelbart av hans identitet [i det här fallet Eulers formel ], e ix \u003d cos x + i sin x . Dessutom verkar det som att det inte är känt vem som var först med att formulera resultatet explicit...

I kulturen

Filmen av Takashi Koizumi " Professor's Favorite Equation " är tillägnad Eulers identitet .

Anteckningar

↑ Danzig, Tobias. Siffror är vetenskapens språk . - M . : Technosfera, 2008. - S. 111 . - ISBN 978-5-94836-172-7 .
↑ Derbyshire, John . Simpelt beroende. Bernhard Riemann och det största olösta problemet i matematik. Astrel, 2010. 464 sid. ISBN 978-5-271-25422-2 .
↑ Kasner, E. och Newman, J. (1940), Mathematics and the Imagination, Simon & Schuster , Maor, Eli (1998), e: The Story of a number, Princeton University Press ISBN 0-691-05854-7 .
↑ Feynman, Richard P. Feynman-föreläsningarna om fysik (på ryska) . - Addison-Wesley , 1977. - T. I. - S. 22-10. — ISBN 0-201-02010-6 .
↑ 1 2 Nahin, Paul J. (2006), Dr. Euler's Fabulous Formula: Cures Many Mathematical Ills, Princeton University Press ISBN 978-0-691-11822-2 .
↑ Reid, Constance (olika upplagor), From Zero to Infinity, Mathematical Association of America
↑ Wells, David (1990), "Är dessa de vackraste?", The Mathematical Intelligencer, 12: 37–41, doi:10.1007/BF03024015
↑ Crease, Robert P. (10 maj 2004), "De största ekvationerna någonsin", Physics World
↑ Zeki, S .; Romaya, JP ; Benincasa, DMT ; Atiyah, MF (2014), "The experience of matematic beauty and its neural correlates", Frontiers in Human Neuroscience, 8, doi:10.3389/fnhum.2014.00068, PMC 3923150
↑ Cotes R. Logometria // Philosophical Transactions of the Royal Society of London : tidskrift. - 1714-1716. — Vol. 29 . — S. 32 . - doi : 10.1098/rstl.1714.0002 . Arkiverad från originalet den 6 juli 2017.
↑ Cotes R. Harmonia mensurarum . - 1722. - s. 28. Arkivexemplar av 7 juni 2020 på Wayback Machine
↑ Euler L. Cap.VIII. De quantitatibus transcendentibus ex Circulo ortis // Introductio in analysin infinitorum (neopr.) . - 1748. - T. 1. - S. 104.
↑ Sandifer, C. Edward. Eulers största hits. - Mathematical Association of America, 2007. - ISBN 978-0-88385-563-8 .
↑ Wilson, Robin. Eulers banbrytande ekvation: Den vackraste satsen i matematik (engelska) . — Oxford University Press, 2018.