Kon

En kotte (genom tyska Konus och latin cōnus , från andra grekiska κώνος [1] - "kotte" [2] ) är en yta som bildas i rymden av en uppsättning strålar (som bildar en kotte) som förbinder alla punkter i en viss platt kurva (konens styrning) med en given punkt i rymden (konens spets) [3] .

Om konens styrning är en stängd kurva, fungerar den koniska ytan som gränsen för en rumslig kropp , som också kallas "konen" (se figur), och det inre av denna kurva kallas "basen av konen" kon", om konens bas är en polygon , är en sådan kon en pyramid .

Ibland, istället för strålar, övervägs raka linjer, då erhålls en dubbel kon, bestående av två delar symmetriska med avseende på toppen.

Konen och relaterade koniska sektioner spelar en stor roll inom matematik, astronomi och andra vetenskaper.

Relaterade definitioner

Den laterala ytan av konen är föreningen av konens generatorer; en kons generatris är en konisk yta .
Höjden på en kon är ett segment som faller vinkelrätt från toppen till basens plan (liksom längden på ett sådant segment).
Konens öppningsvinkel är vinkeln mellan två motsatta generatriser (vinkeln i toppen av könen, inuti könen).
Taper - förhållandet mellan höjden och diametern på konens bas.

Typer av koner

Rak cirkulär kon
Raka och sneda cirkulära koner med lika bas och höjd: deras volym är densamma
Stympad höger cirkulär kon

En höger kon är en kon vars bas har ett symmetricentrum (till exempel är en cirkel eller ellips ) och den ortogonala projektionen av toppen av konen på basplanet sammanfaller med detta centrum; medan den raka linjen som förbinder toppen och mitten av basen kallas konens axel .
Sned (eller sned ) kon - en kon där den ortogonala projektionen av vertexet till basen inte sammanfaller med dess symmetricentrum.
En cirkulär kon är en kon vars bas är en cirkel.
Rotationskon , eller en rät cirkulär kon (ofta menar de exakt det med en kon) - en kon som kan erhållas genom att rotera (det vill säga en rotationskropp ) av en rätvinklig triangel runt en linje som innehåller triangelns ben (denna linje är konens axel).
En kon baserad på en ellips , parabel eller hyperbel kallas respektive elliptisk , parabolisk och hyperbolisk kon : de två sista har oändlig volym.
En stympad kon eller koniskt lager är en del av en kon som ligger mellan basen och ett plan parallellt med basen och placerat mellan toppen och basen.
En liksidig kon är en rotationskon, vars generatris är lika med diametern på basen [4] .

Egenskaper

Om basens yta är ändlig, är konens volym också ändlig och är lika med en tredjedel av produkten av höjden och basens yta.

V={1\över 3}SH,

där S är basarean, H är höjden. Således har alla koner baserade på en given bas (med ändlig area) och som har en vertex placerad på ett givet plan parallellt med basen samma volym, eftersom deras höjder är lika.

Tyngdpunkten för varje kon med ändlig volym ligger på en fjärdedel av höjden från basen.
Rymdvinkeln vid spetsen av en rät cirkulär kon är lika med

2\pi \left(1-\cos {\alpha \över 2}\höger),

där α är konens öppningsvinkel.

Den laterala ytan av en rätt cirkulär kon är lika med

S=\pi Rt,

men generellt

S={\frac {tl}{2)),

där R är basens radie, är längden på generatrisen, är längden på basgränsen.

{\displaystyle t={\sqrt {R^{2}+H^{2))))

l

Den totala ytan (det vill säga summan av ytorna på sidoytan och basen) är lika med

S=\pi R(t+R),

för en rätt cirkulär kon och

S={\frac {tl}{2}}+S_{\text{oc)),

för godtycklig, var är arean av basen.

S_{\text{oc))

Volymen av en cirkulär (inte nödvändigtvis rak) kon är lika med

V={1 \över 3}\pi R^{2}H.

För en stympad cirkulär kon (inte nödvändigtvis rak) är volymen:

V={1 \over 3}\pi H(R^{2}+Rr+r^{2}),

där och är radierna för den nedre respektive övre basen, är höjden från planet för den nedre basen till den övre basen.

R

r

H

För en godtycklig stympad kon (inte nödvändigtvis rak och cirkulär) är volymen:

V={1 \over 3}(H_{2}S_{2}-H_{1}S_{1}),

där och är områdena för den övre (närmast toppen) respektive nedre basen, och är avstånden från planet för de övre respektive nedre baserna till toppen.

S_{1}

S_{2}

H_1

H_2

Skärningen av ett plan med en rät cirkulär kon är en av de koniska sektionerna (i icke-degenererade fall, en ellips , parabel eller hyperbel , beroende på skärplanets position).

Höger cirkulär kon ekvation

Ekvationer som definierar den laterala ytan av en rät cirkulär kon med en öppningsvinkel på 2Θ , en vertex vid utgångspunkten för koordinater och en axel som sammanfaller med Oz- axeln :

I ett sfäriskt koordinatsystem med koordinater ( r , φ, θ) :

\theta =\Theta .

I ett cylindriskt koordinatsystem med koordinater ( r , φ, z ) :

z=r\cdot \operatörsnamn {ctg}\Theta

eller

r=z\cdot \operatörsnamn {tg}\Theta .

I ett kartesiskt koordinatsystem med koordinater ( x , y , z ) :

z=\pm {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\cdot \operatörsnamn {ctg}\Theta .

Denna ekvation i kanonisk form skrivs som

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c ^{2}}}=0,

där konstanterna a , c bestäms av proportionen . Detta visar att sidoytan på en rät cirkulär kon är en andra ordningens yta (den kallas en konisk yta ). I allmänhet vilar en konisk yta av andra ordningen på en ellips; i ett lämpligt kartesiskt koordinatsystem (axlarna Ox och Oy är parallella med ellipsens axlar, konens spets sammanfaller med origo, ellipsens centrum ligger på axeln Oz ) har dess ekvation formen

c/a=\cos \Theta /\sin \Theta .

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c ^{2}}}=0,

dessutom är a/c och b/c lika med ellipsens halvaxlar. I det mest allmänna fallet, när könen vilar på en godtycklig plan yta, kan det visas att ekvationen för könens laterala yta (med vertex i origo) ges av ekvationen där funktionen är homogen , att är, uppfyller villkoret för ett reellt tal α .

f(x,y,z)=0,

f(x,y,z)

f(\alpha x,\alpha y,\alpha z)=\alpha ^{n}f(x,y,z)

Utveckling

En rät cirkulär kon som en rotationskropp bildas av en rätvinklig triangel som roterar runt ett av benen, där h - konens höjd från mitten av basen till toppen - är benet på den räta triangeln runt vilken rotation sker. Det andra benet i en rätvinklig triangel r är radien vid konens bas. Hypotenusan för en rätvinklig triangel är l , konens generatris.

Endast två värden r och l kan användas för att skapa ett konsvep . Basradien r bestämmer konbasens cirkel i avsökningen, och sektorn för könens sidoyta bestämmer generatrisen för sidoytan l , som är radien för sidoytsektorn. Sektorvinkeln i utvecklingen av konens laterala yta bestäms av formeln: $\varphi$

φ = 360°·( r / l ) .

Variationer och generaliseringar

I algebraisk geometri är en kon en godtycklig delmängd av ett vektorrum över ett fält för vilket $K$ $V$ $F$ $\lambda \i F$ $\lambda K=K.$
I topologi är en kon över ett topologiskt utrymme X ett kvotutrymme genom ekvivalensrelationen $X\ gånger [0,\infty )$ $(x,0)\sim (y,0).$
I linjär algebra finns begreppet en konvex kon .

Se även

Anteckningar

↑ Etymologisk ordbok för det ryska språket av Max Fasmer
↑ "Jag κῶνος"
↑ Mathematical Encyclopedic Dictionary, 1988 , sid. 288.
↑ Matematisk handbok . Hämtad 22 maj 2020. Arkiverad från originalet 2 december 2020. (obestämd)

Litteratur

Korn G., Korn T. Handbok i matematik (för forskare och ingenjörer) . - 2:a uppl. — M .: Nauka, 1970. — 720 sid.
Cone // Mathematical Encyclopedic Dictionary . - M . : Soviet Encyclopedia, 1988. - S. 288 . — 847 sid.

Ordböcker och uppslagsverk	Stor dansk Stor norsk Stor ryss Brockhaus och Efron Litet Brockhaus och Efron V. Dahl
I bibliografiska kataloger	NKC : ph973161