Rektangelmetod

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 17 maj 2021; kontroller kräver 3 redigeringar .

Metoden för rektanglar är en metod för numerisk integration av en funktion av en variabel, som består i att ersätta integranden med ett polynom med grad noll, det vill säga en konstant, på varje elementärt segment. Om vi betraktar grafen för integranden, kommer metoden att bestå av en ungefärlig beräkning av arean under grafen genom att summera areorna för ett ändligt antal rektanglar, vars bredd kommer att bestämmas av avståndet mellan motsvarande närliggande integration noder och höjden med värdet av integranden vid dessa noder. Den algebraiska noggrannhetsordningen är 0. (För formeln för mellersta rektanglar är den 1).

Om segmentet är elementärt och inte genomgår ytterligare partitionering, kan värdet på integralen hittas från $\left[a,b\right]$

Formel för vänster rektanglar : $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx f(a)(ba).$
Formel för räta rektanglar : $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx f(b)(ba).$
Formel för rektanglar (medium): $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx f\left({\frac {a+b}{2}}\right)(ba).$

Sammansatta kvadraturformler

I fallet med uppdelning av integrationssegmentet i elementära segment, appliceras ovanstående formler på vart och ett av dessa elementära segment mellan två angränsande noder. Som ett resultat erhålls sammansatta kvadraturformler $n$

För vänster rektanglar : $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{{i=0}}^{{n-1}}f(x_{i})(x_{{i+ 1 }}-x_{i}).$
För räta rektanglar : $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{{i=1}}^{n}f(x_{i})(x_{i}-x_{{i -ett}}).$
För medelstora rektanglar : $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{{i=0}}^{{n-1}}f\left({\frac {x_{i}+ x_{{i+1}}}{2}}\right)(x_{{i+1}}-x_{i})=\summa _{{i=1}}^{n}f\left( {\frac {x_{{i-1}}+x_{i}}{2}}\right)(x_{i}-x_{{i-1}}).$

Formeln med beräkning av värdet i mittpunkten mellan två noder kan endast användas när integranden specificeras analytiskt, eller på annat sätt som tillåter beräkning av värdet vid en godtycklig punkt. I uppgifter där funktionen ges av en värdetabell återstår det bara att beräkna medelvärdet mellan integralerna beräknade med formlerna för vänster respektive höger rektanglar, vilket leder till den sammansatta kvadraturtrapetsformeln .

Eftersom de sammansatta kvadraturformlerna inte är något annat än de summor som ingår i definitionen av Riemann-integralen , konvergerar de till det exakta värdet av integralen. Följaktligen, med ökande noggrannhet av resultatet som erhålls med ungefärliga formler ökar. $n\till\infty$ $n$

Sammansatta formler för enhetliga rutnät

Ett enhetligt rutnät kan beskrivas med följande formler:

x_{i}=a+ih,\qquad h={\frac {ba}{n)),

var är rutnätssteget. $h$

För enhetliga rutnät kan rektangelformlerna skrivas som följande Cotes-formler :

Sammansatt formel för vänster rektanglar : $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx h\summa _{{i=0}}^{{n-1}}f_{i}=h(f_{0}+ f_{1}+\ldots +f_{{n-1}}).$
Sammansatt formel för räta rektanglar : $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx h\sum _{{i=1}}^{{n}}f_{i}=h(f_{1}+f_{ 2}+\ldots +f_{{n}}).$
Sammansatt formel för mellersta rektanglar : Dvs. motsvarar trapetsformeln. $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx h({\frac {f_{0}}{2}}+f_{1}+\ldots +f_{{n-1} }+{\frac {f_{{n}}}{2}}).$

Metodfel

För formler för höger och vänster rektanglar är felet

E(f)={\frac {f'(\xi )}{2}}h^{2}.

För formeln för rektanglar (medium)

E(f)={\frac {f''(\xi )}{24}}h^{3}.

För sammansatta formler för höger och vänster rektanglar på ett enhetligt rutnät:

E(f)={\frac {f'(\xi )}{2}}h^{2}\cdot n={\frac {f'(\xi )}{2}}(ba) h.

För den sammansatta formeln för rektanglar:

E(f)={\frac {f''(\xi )}{24}}h^{3}\cdot n={\frac {f''(\xi )}{24}}( ba)h^{2}.

Implementeringsexempel

Formel för medelrektanglar för en analytiskt given funktion, skriven i C

double InFunction ( double x ) { //Integralfunktion returnera sin ( x ); } dubbel CalcIntegral ( dubbel a , dubbel b , int n ) { dubbelt resultat = 0 , h = ( b - a ) / n ; for ( int i = 0 ; i < n ; i ++ ) { resultat += InFunction ( a + h / 2 + i * h ); } resultat *= h ; returnera resultat ; }

Se även

Integralkalkyl

Main

Generaliseringar
av Riemann-integralen

Integrerade
transformationer

Numerisk
integration

måttteori

Relaterade ämnen

Listor över integraler