Massans centrum (även tröghetscentrum ) är en geometrisk punkt, vars position bestäms av massans fördelning i kroppen, och förskjutningen kännetecknar kroppens eller det mekaniska systemets rörelse som helhet [1] . Radievektorn för en given punkt ges av formeln
var är den koordinatberoende tätheten, och integrationen utförs över kroppens volym. Massans centrum kan vara antingen inuti eller utanför kroppen.
Användningen av begreppet masscentrum, såväl som koordinatsystemet förknippat med masscentrum, är praktiskt i många mekaniktillämpningar och förenklar beräkningar. Om yttre krafter inte verkar på ett mekaniskt system, så rör sig dess masscentrum med konstant hastighet i storlek och riktning.
Giovanni Ceva tillämpade övervägandet av masscentra för att lösa geometriska problem, som ett resultat av detta formulerades Menelaos satser och Cevas satser [2] .
När det gäller system av materialpunkter och kroppar i ett homogent gravitationsfält sammanfaller masscentrum med tyngdpunkten, även om det i det allmänna fallet är olika begrepp.
Positionen för masscentrum (tröghetscentrum) för ett system av materialpunkter i klassisk mekanik bestäms enligt följande [3] :
där är radievektorn för masscentrum, är radievektorn för systemets i -:e punkt, är massan för den i -:e punkten.
För fallet med kontinuerlig massfördelning:
där är systemets totala massa, är volymen, är densiteten. Masscentrum kännetecknar alltså fördelningen av massa över en kropp eller ett system av partiklar.
Om systemet inte består av materiella punkter, utan av utsträckta kroppar med massor , då är radievektorn för ett sådant systems masscentrum relaterad till radievektorerna för kropparnas masscentra genom förhållandet [4] :
Låt faktiskt flera system av materialpunkter med massor av radie-vektorsystemet ges:
Vid övergång till utökade kroppar med en kontinuerlig densitetsfördelning kommer formlerna att innehålla integraler istället för summor, vilket ger samma resultat.
Med andra ord, i fallet med utökade kroppar är en formel giltig, som i sin struktur sammanfaller med den som används för materialpunkter.
Koordinaterna för massacentrum för en homogen platt figur kan beräknas med formlerna (en konsekvens av Papp-Guldins satser ):
och där är kroppens volym som erhålls genom att rotera figuren runt motsvarande axel, är figurens yta. Masscentra av omkretsar av homogena figurerBegreppet masscentrum används i stor utsträckning inom fysiken, i synnerhet inom mekaniken.
En stel kropps rörelse kan betraktas som en överlagring av masscentrumets rörelse och kroppens rotationsrörelse runt dess masscentrum. I det här fallet rör sig masscentrum på samma sätt som en kropp med samma massa, men oändligt små dimensioner ( materialpunkt ) skulle röra sig. Det senare betyder i synnerhet att alla Newtons lagar är tillämpliga för att beskriva denna rörelse . I många fall kan man ignorera kroppens dimensioner och form helt och hållet och bara överväga rörelsen av dess masscentrum.
Det är ofta bekvämt att betrakta rörelsen hos ett slutet system i en referensram som är associerad med masscentrum. Ett sådant referenssystem kallas masscentrumsystemet (C-system), eller systemet för tröghetscentrum . I den förblir den totala rörelsemängden för ett slutet system alltid lika med noll, vilket gör att vi kan förenkla ekvationerna för dess rörelse.
I fallet med höga hastigheter (i storleksordningen ljusets hastighet ) (till exempel i elementär partikelfysik ) används SRT- apparaten för att beskriva systemets dynamik . Inom relativistisk mekanik (SRT) är begreppen masscentrum och masscentrumsystem också de viktigaste begreppen, dock ändras definitionen av begreppet:
där är masscentrums radievektor, är radievektorn för den i: te partikeln i systemet, är den i: te partikelns totala energi .
Denna definition gäller endast system av icke-interagerande partiklar. När det gäller interagerande partiklar måste definitionen uttryckligen ta hänsyn till rörelsemängden och energin i fältet som skapas av partiklarna [5] .
För att undvika misstag bör det förstås att i SRT kännetecknas masscentrum inte av massfördelningen utan av energifördelningen. I loppet av teoretisk fysik av Landau och Lifshitz föredras termen "tröghetscentrum". I den västerländska litteraturen om elementarpartiklar används termen "massacentrum" ( engelska center-of-mass ): båda termerna är likvärdiga.
Hastigheten för masscentrum i relativistisk mekanik kan hittas med formeln:
Termen "massacentrum" är synonymt med en av betydelserna av begreppet barycenter (från antikgrekiska βαρύς - tung + κέντρον - centrum), men det senare används främst i problem med astrofysik och himlamekanik. Med barycenter menas det masscentrum som är gemensamt för flera himlakroppar, runt vilket dessa kroppar rör sig. Ett exempel skulle vara den gemensamma rörelsen av en planet och en stjärna (se figur) eller en komponent av binära stjärnor . Massans centrum (barycenter) i detta fall ligger på längdsegmentet som förbinder kropparna med massor och , på avstånd från kroppen .
En annan betydelse av ordet barycenter syftar på geometri snarare än fysik; i detta värde skiljer sig uttrycket för barycentrumkoordinaten från formeln för masscentrum genom frånvaron av densitet (som om det alltid vore konst).
Kroppens massacentrum ska inte förväxlas med tyngdpunkten.
Tyngdpunkten för ett mekaniskt system är den punkt med avseende på vilken det totala momentet för tyngdkrafterna (som verkar på systemet) är lika med noll. Till exempel, i ett system som består av två identiska massor förbundna med en oflexibel stav och placerade i ett inhomogent gravitationsfält (till exempel planeter), kommer masscentrum att vara i mitten av staven, medan tyngdpunkten för systemet kommer att flyttas till den ände av staven, som är närmare planeten (eftersom vikten P = m g beror på gravitationsfältsparametern g ), och generellt sett till och med är placerad utanför staven.
I ett enhetligt gravitationsfält sammanfaller alltid tyngdpunkten med masscentrum. I icke-kosmiska problem kan gravitationsfältet vanligtvis anses vara konstant inom kroppens volym, så i praktiken sammanfaller dessa två centra nästan.
Av samma anledning sammanfaller begreppen masscentrum och tyngdpunkt när dessa termer används inom geometri, statik och liknande områden, där dess tillämpning i jämförelse med fysik kan kallas metaforisk och där situationen för deras ekvivalens är implicit. antas (eftersom det inte finns något riktigt gravitationsfält, är det inte meningsfullt att ta hänsyn till dess heterogenitet). I dessa användningar är de två termerna traditionellt synonyma, och ofta föredras den andra bara för att den är äldre.