4-vektor

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 7 september 2021; kontroller kräver 7 redigeringar .

En 4-vektor ( fyr-vektor , fyra -vektor ) är en vektor i fyrdimensionell Minkowski-rymd , och i ett mer allmänt fall, en vektor i en krökt fyrdimensionell rum-tid. Komponenterna i vilken 4-vektor som helst som beskriver ett fysiskt system, när referenssystemet flyttas eller roteras , såväl som när man flyttar från ett referenssystem till ett annat, transformeras enligt samma lag som specificeras av transformationen av referenssystemet. 4-vektorn har en tidskomponent och tre rumsliga. De rumsliga komponenterna utgör en vanlig tredimensionell rumslig vektor , vars komponenter kan uttryckas i kartesiska, cylindriska, sfäriska och andra rumsliga koordinater.

I modern notation motsvarar tidskomponenten vanligtvis indexet 0 (det vill säga den anses vara nollkomponenten), den rumsliga komponenten - 1, 2, 3 (sammanfaller med x, y, z ; vanligtvis som standard, och om möjligt, dessa är vanliga rektangulära kartesiska koordinater ). I den gamla litteraturen används ofta en konvention (som går tillbaka till Minkowski ) , enligt vilken tidskomponenten ansågs inte vara noll, utan den fjärde.
Ibland är det bekvämt att tillskriva en rent imaginär karaktär till tidskomponenten i en 4-vektor (multiplicera alltid realtidskomponenten med den imaginära enheten ). Denna representation av 4-vektorer var historiskt sett den första som introducerades och används ibland även i modern litteratur.
4-vektorer (deras komponentrepresentation) kan skrivas i kontravarianta och (eller) kovarianta former (se nedan), som inte alltid sammanfaller, och i fallet med en reell representation (utan en imaginär enhet) skiljer de sig alltid från varandra , även om denna distinktion i de flesta fall är föremål för en mycket enkel regel.

Exempel på 4-vektorer

Här och nedan används signaturen . $(+,~-,~-,~-)$

4-rörelse: $dx^{i}=(cdt,~dx,~dy,~dz),$
4-växlad: $u^{i}={\frac {dx^{i}}{ds}}={\frac {1}{c}}{\frac {dx^{i}}{d\tau }} ,$ var är " rätt tid ", lika med intervallet , dividerat med ljusets hastighet , uppmätt längs världslinjen . Geometriskt är 4-hastigheten enhetsvektorn som tangerar partikelns världslinje. $\tau$ $\tau ={\frac {1}{c}}\int {ds}$
4-acceleration : $a^{i}={\frac {du^{i}}{ds}}={\frac {1}{c}}{\frac {du^{i}}{d\tau }} ,$ var - se ovan. Geometriskt är 4-accelerationen krökningsvektorn för partikelns världslinje. $\tau$
4-energimomentvektor ( fyramomentum ): $p^{i}=\left({\frac {\varepsilon }{c)),~p_{x},~p_{y},~p_{z}\höger)$ . För en partikel med massa som inte är noll i frånvaro av yttre fält . $p^{i}=c\,mu^{i}$
fyrdimensionell strömtäthet ( 4-ström ): $j^{i}=(c\rho ,~j_{x},~j_{y},~j_{z});$
våg 4-vektor: $k_{i}=\vänster({\frac {\omega}{c)),-k_{x},-k_{y},-k_{z}\höger);$
Elektromagnetisk potential : $A_{i}=(\varphi ,~{-A}_{x},~{-A}_{y},~{-A}_{z}).$

Egenskaper

Fyrvektors transformationslag:

{\tilde {A}}^{i}=\sum _{j}S_{j}^{i}\ A^{j},

där - en matris från Lorentz-gruppen - en övergångsmatris till nya koordinater (till en ny referensram). $S_{j}^{i}$

Punktprodukter (särskilt kvadrater) av 4-vektorer beräknas med hjälp av Lorentz-metriken (se även nedan).
- De är invarianta under Lorentz-transformationer. De kallas skalärer (i den fyrdimensionella - rum-tid - mening).
- Till exempel är detta ett intervall (kvadraten på intervallet är kvadraten på förskjutningsvektorn i Lorentz-metriken), massan (vilomassa) - dess kvadrat är, upp till en konstant faktor, kvadraten på 4-momentet : osv. $m^{2}=E^{2}/c^{4}-p^{2}/c^{2}$

Notation

Traditionellt betecknas en 4-vektor som en uppsättning av dess komponenter. Således betecknas en 4-vektor som (förväxla inte denna notation med exponentiering!) eller $a$ $a^{i}$ $a_{i}.$

Koordinater, 3 rumsliga och tidsmässiga, betecknas vanligtvis som $x^{i}.$

Vad betyder användningen av det övre ( ) eller nedre ( ) indexet i det här fallet är specifikt specificerat, men som standard, om båda (eller åtminstone det första) alternativen används, det vill säga om upphöjda texter alls används, kontravarianta koordinater 4- vektor, och de lägre är de kovarianta koordinaterna . Således, i det här fallet, kan samma vektor ha två olika representationer - kontravariant och kovariant . $a^{i}$ $a_{i}$

När det gäller platt rymd och tröghetsreferensramar , som i elektrodynamik , speciell relativitet , och i allmänhet i fall där gravitationen kan försummas, skiljer sig de kovarianta och kontravarianta representationerna endast i tidens tecken (eller vice versa, beroende på de konventionellt accepterade signatur - rumsliga) komponenterna. I detta fall kan den skalära produkten representeras som en enkel summa av produkterna av motsvarande komponenter endast för produkten av en kovariant vektor med en kontravariant, till exempel:

(a,b)=a^{i}b_{i}\equiv \sum _{i}a^{i}b_{i}=a^{1}b_{1}+a^{2}b_{ 2}+a^{3}b_{3}+a^{4}b_{4}=a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}- a_{4}b_{4}

och i synnerhet

(a)^{2}=(a,a)=a^{i}a_{i}\equiv \sum _{i}a^{i}a_{i}=a^{1}a_{1} +a^{2}a_{2}+a^{3}a_{3}+a^{4}a_{4}=(a_{1})^{2}-(a_{2})^{ 2}-(a_{3})^{2}-(a_{4})^{2}

(Här och nedan används summationsregeln över det upprepade Einstein-indexet och kvadrering betecknas som (...)²).

Om de vill skriva en skalär produkt med endast kovarianta eller endast kontravarianta komponenter, använder de vanligtvis notationen med Lorentz-måttet (eller ): $\eta _{{ij}}$ $\eta ^{{ij}}$

(a,b)=\eta _{{ij}}a^{i}b^{j}\equiv \sum _{{i,j}}\eta _{{ij}}a^{i}b ^{i}=a^{1}b^{1}-a^{2}b^{2}-a^{3}b^{3}-a^{4}b^{4}

eller

(a,b)=\eta ^{{ij}}a_{i}b_{j}\equiv \sum _{{i,j}}\eta ^{{ij}}a_{i}b_{i} =a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4}

(båda metoderna är likvärdiga med varandra och med metoden som beskrivs ovan med båda typerna av koordinater).

Men i ett mer allmänt fall av icke-lorentziska referenssystem, inklusive när gravitationen beaktas i enlighet med allmän relativitet , istället för en mycket enkel och konstant Lorentzisk metrik , måste man överväga ett godtyckligt mått , inklusive en som beror på rumsliga koordinater och tid (I alla formler skrivna i detta stycke ovan, i det allmänna fallet är det nödvändigt att ersätta med , och med ). Samtidigt upphör den enkla regeln att de kovarianta och kontravarianta representationerna av en 4-vektor endast skiljer sig i tecknet för de rumsliga komponenterna att gälla, de börjar uttryckas genom varandra även genom att använda ett allmänt mått (se Metrisk tensor# Isomorfism mellan tangent och cotangent utrymme ): $\eta _{{ij}}$ $g_{ij}.$ $\eta _{{ij}}$ $g_{ij}$ $\eta ^{{ij}}$ $g^{ij}$ $g_{ij}$

a^{i}=g^{{ij}}a_{j}\equiv \sum _{j}g^{{ij}}a_{j},

a_{i}=g_{{ij}}a^{j}\equiv \sum _{j}g_{{ij}}a^{j}.

(Som vi ser gällde dessa formler också men i så fall reducerades de till en enkel regel för att ändra tecknet för vissa komponenter, men här, i det allmänna fallet, reduceras de inte längre). $\eta_{{ij}},$

Observera också att i ett rum-tid med krökning (som redan korrekt betraktas som ett grenrör och inte ett vektorrum), är uppsättningen koordinater inte längre en vektor. Emellertid representerar oändliga förskjutningar i koordinater en vektor (vektorn för tangentrymden till grenröret vid punkten ). $x^i$ $dx^{i}$ $x^i$

Och slutligen, i fallet med den Lorentzianska metriken som betraktas ovan, används ofta bara sänkningar , eftersom de kovarianta och kontravarianta komponenterna endast skiljer sig åt i tecken, och man kan begränsa sig till att bara nämna en av dem (vanligtvis kontravarierande, även om man använder en sänkning ). Denna metod för det här fallet är relativt bekväm, eftersom frånvaron av upphöjda texter är något mer bekant för icke-specialister, och dessutom kan den inte skapa förvirring med notationen av exponentiering. Men den har också fallgropar, eftersom till exempel 4-gradientvektorn, skriven i kontravariant form, helt oväntat har ett minustecken för de rumsliga komponenterna: eftersom den totala differentialen måste vara invariant, och i den skalära produktformeln, om båda vektorerna representeras i samma kontravarianta form, går in, som vi vet, en teckenförändring pga $(\partial _{0},-\partial _{1},-\partial _{2},-\partial _{3}),$ $df=\partial _{0}fdx^{0}+\partial _{1}fdx^{1}+\partial _{2}fdx^{2}+\partial _{3}fdx^{3}$ $\eta _{{ij}}.$

Intressant nog har metoden som endast använder sänkningar och en imaginär tidskomponent inte dessa nackdelar (främst inom tillämpningsområdet begränsat till det platta utrymmet, men inte bara). Faktum är att när du använder den här metoden erhålls de nödvändiga tecknen automatiskt (uppmärksamhet: med hänsyn till signaturen ; valet av signatur är dock fortfarande en fråga om överenskommelse). Det vill säga, du behöver inte tänka på tecken alls, du behöver inte uttryckligen använda matrisen för den metriska tensorn, även det vill säga, metriken representeras formellt av en enda matris ("formellt euklidisk", vilket , naturligtvis, ändrar inte dess verkliga pseudo-euklidiska karaktär, men förenklar skrivning), och representationen av alla 4-vektorer enkelt och enhetligt: $\eta_{{ij}},$

4-drag $dx_{\mu }=(ic~dt,dx,dy,dz),$
4-impuls $p_{\mu }=(iE/c,p_{x},p_{y},p_{z}),$
fyrdimensionell strömtäthet $j_{\mu }=(ic\rho ,j_{x},j_{y},j_{z}),$
våg 4-vektor $k_{\mu }=(i\omega /c,k_{x},k_{y},k_{z}),$
elektromagnetisk potential $A_{\mu }=(i\phi ,A_{x},A_{y},A_{z}),$

och så vidare, där i är den imaginära enheten .

4-vektor i matematik

En punkt i Minkowskirymden kallas en händelse och ges av fyra koordinater:

{\mathbf {x}}:=\left(ct,x,y,z\right),

var är ljusets hastighet , är tidpunkten för händelsen och är dess rumsliga koordinater. En sådan 4-vektor kallas en 4-radievektor. $c$ $t$ $x,y,z$

Många andra 4-vektorer kan konstrueras från den och längre från varandra genom att addera, subtrahera, multiplicera eller dividera med en skalär, samt differentiera med avseende på en skalär, etc. Alltså, från en 4-radius vektor, genom att differentiering med avseende på rätt tid , en 4-hastighet erhålls, etc.

De skalära produkterna av 4-vektorer är Lorentz-invarianta kvantiteter (invarianter av Lorentz-gruppen), skalärer av Minkowski-rummet.

Historik

4-vektorer övervägdes först av Poincare ( 1905 ) och sedan av Minkowski . De ansåg att tidskomponenten i 4-vektorn var rent imaginär, vilket automatiskt genererade den nödvändiga regeln för att beräkna skalärprodukten i den vanliga summeringen av komponenternas produkter. Termen "4-vektor" föreslogs av Arnold Sommerfeld 1910 .

Litteratur

Landau L. D. , Lifshits E. M. § 2. Intervall. § 3. Rätt tid. § 6. Fyrdimensionella vektorer. § 7. Fyrdimensionell hastighet. // Fältteori. - 7:e upplagan, reviderad. — M .: Nauka , 1988. — 512 sid. - (" Teoretisk fysik ", volym II). — ISBN 5-02-014420-7 . .
Feynman R., Layton R., Sands M. Feynman Föreläsningar i fysik. Volym 6: Elektrodynamik. Översättning från engelska (Vol. 3). — Redaktionell URSS. - ISBN 5-354-00704-6 . - kap. 25. "Elektrodynamik i relativistisk notation". (Detta är en enkel introduktion för studenter, för att undvika förvirring, observera att endast prenumerationer används i den här boken, men de hänvisar till de motsatta komponenterna i 4-vektorer.)