Borsuks hypotes

Borsuks gissning (Borsuks problem ) är en vederlagd gissning inom kombinatorisk geometri :

Är det möjligt att dela en godtycklig kropp med ändlig enhetsdiameter i -dimensionellt euklidiskt utrymme i högst en del så att diametern på varje del är mindre än 1?

n

n+1

Nominerad av Karol Borsuk 1933 . Hon spelade en betydande roll i utvecklingen av kombinatorisk geometri på 1900-talet: under en lång period bekräftades hypotesen för ett antal specialfall och huvudansträngningarna var inriktade på att hitta ett bevis i det allmänna fallet, eftersom det fanns inga tungt vägande tvivel om dess giltighet [1] . Men 1993 hittades ett motexempel .

Från och med 2021 har hypotesen visat sig vara sann för , och falsk för , statusen för påståendet för är fortfarande oklart. $n\leqslant 3$ $n\geqslant 64$ $4\leqslant n<64$

Positiva beslut

Fallet är uppenbart. Fallet bevisades av Borsuk själv 1933, han använde resultatet av Gyula Pál ( Hung. Pál Gyula ) 1929, enligt vilket vilken figur som helst med diameter 1 kan placeras i en vanlig hexagon med bredd 1, och en sådan hexagon, i sin tur kan skäras till tre femhörningar med diameter . Dessutom bevisade Borsuk att en dimensionell kula inte kan delas upp i delar med mindre diameter, och därigenom etablera en nedre gräns för antalet delar (beviset är baserat på Borsuk–Ulam-satsen ). $n=1$ $n=2$ ${\tfrac {\sqrt {3}}{2}}<1$ $n$ $n$

1946 bevisade Hadwiger giltigheten av gissningen för alla för konvexa kroppar med en slät gräns [2] . $n$

År 1947 bevisade Julian Perkal ( polska: Julian Perkal ) fallet för alla avgränsade kroppar [3] , oberoende av honom fick den brittiske matematikern Eggleston samma resultat 1955 ; ett enkelt bevis liknande Borsuks hittades något senare av Branko Grünbaum och Aldar Heppesch ; de bevisar att vilken kropp som helst med diameter 1 kan placeras i en viss oktaeder med avskurna tre hörn, som i sin tur kan delas in i 4 delar med diameter mindre än 0,9888. $n=3$

Sedan åtminstone början av 1970-talet har hypotesen bekräftats för centralt symmetriska kroppar. 1971 bevisade Claude Rogers gissningen för varje uppsättning som är oföränderlig under verkan av en grupp transformationer som lämnar en vanlig dimensionell simplex på plats . $n$

1993 fastställde Boris Dexter giltigheten av hypotesen för konvexa kroppar med ett bälte av regelbundna punkter [4] , och 1995 löste han positivt problemet för alla revolutionskroppar i godtyckliga dimensioner [5] .

Borsuks nummer

Borsuk-talet är det minsta antalet möjliga delar med mindre diameter i vilka varje avgränsad kropp idimensionellt utrymme kan delas in. Parallellt med bekräftelsen av hypoteseni speciella fall, de nedre och övre gränserna för. Uppskattningaroch. 1983 fann Marshall Lassack att. $f(n)$ $n$ $f(n)=n+1$ $f(n)$ $f(n)\leqslant (2{\sqrt {n}}+1)^{n}$ ${\displaystyle f(n)\leqslant 2^{n))$ $f(n)\leqslant 2^{n-1}+1$

Bland de asymptotiska övre gränserna var Claude Ambrose Rogers ( 1965 ; 1965 ) uppskattning den bästa på länge : ; 1988 fann Oded Schramm att: $f(n)\leqslant {\big (}{\sqrt {2}}+o(1){\big )}^{n}$

{\displaystyle f(n)\leqslant {\Big (}{\sqrt {\tfrac {3}{2))}+o(1){\Big )}^{n))

Negativa beslut

En negativ lösning på problemet i det allmänna fallet upptäcktes 1993 av Gil Kalai och Jeff Kahn [ 6 ] , som konstruerade ett motexempel i dimension och bevisade att gissningen inte gäller för alla . Dessutom visade de att det för tillräckligt stora kroppar finns dimensionella kroppar som inte kan brytas ner till delar med mindre diameter. Under efterföljande år minskade dimensionen, över vilken hypotesen inte uppfylldes, konsekvent: $n=1325$ $n>2014$ $n$ $n$ ${\big (}1{,}203+o(1){\big )}^{\sqrt {n))$

1993 - (Kalai - Kan), $n\geqslant 2015$
1994 - (Neally), $n\geqslant 946$
1997 - (Weissbach - Grey), $n\geqslant 903$
1997 - (Raigorodsky) [7] , $n\geqslant 561$
2000 - (Weissbach), $n\geqslant 560$
2001 - (Hinrichs), $n\geqslant 324$
2002 - (Pikhurko), $n\geqslant 323$
2003 - (Hinrichs - Richter) [8] , $n\geqslant 298$
2013 - (Bondarenko) [9] , $n\geqslant 65$
2013 - (Jenrich) [10] . $n\geqslant 64$

För att konstruera motexempel användes finita uppsättningar i alla fall och fina kombinatoriska resultat [11] användes . De nedre gränserna för det minsta antalet delar med mindre diameter i de flesta motexempel är , i ett av resultaten av Raigorodsky (1999) är denna gräns förbättrad till . ${\big (}1{,}203+o(1){\big )}^{\sqrt {n))$ ${\big (}1{,}2255+o(1){\big )}^{\sqrt {n))$

Variationer och generaliseringar

1953 lade David Gale fram hypotesen att varje kropp med enhetsdiameter i tredimensionellt rymden kan delas in i fyra delar med en diameter:

{\sqrt {\frac {3+{\sqrt {3}}}{6}}}\approx 0{,}888

det vill säga bollen är den "sämsta" kroppen i denna mening [12] .

1971 bekräftades Borsuks gissning för sfäriska och hyperboliska utrymmen vid [13] . $n=2.3$

1991 generaliserades detta resultat till godtyckliga dimensioner för centralt symmetriska konvexa hyperytor [14] .

2012 studerades analoger av Borsuk-problemet i rymden med den euklidiska metriken och med metriken [15] . ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{n))$ $l_p$

Under 2019 övervägdes frågan om att dela upp godtyckligt avgränsade metriska utrymmen i ett givet antal delmängder med mindre diameter, och kriterier identifierades för genomförbarheten och omöjligheten av en sådan partition, beroende på avståndet enligt Gromov-Hausdorff-måttet från en givet utrymme till simpliceringar av en given potens , där en simplex förstås som ett metriskt utrymme, där alla avstånd som inte är noll är desamma [16] .

Anteckningar

↑ Raygorodsky, 2006 , sid. 27.
↑ Boltjanskij - Gokhberg, 1965 , sid. 34.
↑ Grünbaum, 1971 , sid. 62.
↑ BV Dexter. Borsuk-förmodan gäller för konvexa kroppar med ett bälte av regelbundna punkter // Geometriae Dedicata. - 1993. - T. 45 . — S. 301–306 .
↑ BV Dexter. Borsuk-förmodan gäller för revolutionskroppar // Journal of Geometry. - 1995. - T. 52 . — S. 64–73 .
↑ J. Kahn, G. Kalai. Ett motexempel till Borsuks gissning (engelska) // Bull. amer. Matematik. soc. (NS). - 1993. - Vol. 29 , nr. 1 . - S. 60-62 . - arXiv : math.MG/9307229 .
↑ A. M. Raigorodsky. Om dimension i Borsuk-problemet // Uspekhi Mat. - 1997. - T. 52 , nr 6 (318) . - S. 181-182 .
↑ A. Hinrichs, C. Richter. Nya uppsättningar med stora Borsuk-tal // Diskret matematik. - 2003. - T. 270 . - S. 137-147 .
↑ Andriy V. Bondarenko. På Borsuks gissning för tvådistansset. - 2013. - arXiv : 1305.2584 .
↑ Thomas Jenrich. Ett 64-dimensionellt motexempel på två avstånd till Borsuks gissning. - 2013. - arXiv : 1308.0206 .
↑ Raygorodsky, 2006 .
↑ Raygorodsky, 2006 , sid. 16.
↑ A. S. Riessling. Borsuks problem i utrymmen med konstant krökning // Ukrainian Geometric Collection . - Charkiv. - T. 11 . - S. 78-83 .
↑ A. D. Milka . En analog till Borsuk-problemet // Izvestiya vuzov. Matematisk serie. - 1992. - Nr 5 . - S. 58-63 .
↑ A. B. Kupavsky, E. I. Ponomarenko, A. M. Raigorodsky. Om några analoger av Borsuk-problemet i rymden // Proceedings of the Moscow Institute of Physics and Technology. - 2012. - T. 12 , nr 1 . - S. 81-90 . ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{n))$
↑ A. O. Ivanov , A. A. Tuzhilin . Lösning på generaliserat Borsuk-problem när det gäller avstånden Gromov–Hausdorff till Simplexes. - arXiv : 1906.10574v1 .

Litteratur

V. G. Boltyansky , I. Ts. Gokhberg . Kombinatorisk geometris satser och problem . — M .: Nauka, 1965. — 108 sid. — (Matematiskt bibliotek). (innehåller beviset på gissningen i dimensionerna 2 och 3)
V. G. Boltyansky, I. Ts. Gokhberg. Dela upp figurer i mindre delar/serier = Populära föreläsningar om matematik, nummer 50 . — M .: Nauka, 1971. — 88 sid.
B. Grünbaum . Etuder om kombinatorisk geometri och teorin om konvexa kroppar. — M .: Nauka, 1971.
A.M. Raigorodsky . Borsuks problem. — M. : MTsNMO , 2006. — 56 sid.
A. B. Skopenkov. -dimensionell kub, polynom och lösning av Borsuk-problemet // Matematisk utbildning. - M. : MTSNMO, 1999. - Utgåva. 3(3) . $n$