Legendre hypotes

Legendres gissning (Landaus 3:e problem) är en matematisk gissning från en familj av resultat och hypoteser om intervall mellan primtal , enligt vilka det för alla naturliga finns ett primtal mellan och . Det är ett av Landaus problem . Formulerades av Legendre 1808, [1] från och med 2022 varken bevisat eller vederlagt. $n$ $n^{2}$ $(n+1)^2$

Prime ranges

Det följer av satsen om fördelningen av primtal att antalet primtal mellan och [2] asymptotiskt tenderar att . Eftersom detta antal ökar med ökande ger detta skäl för Legendres hypotes. $n^{2}$ $(n+1)^2$ $n/\ln n$ $n$

Om gissningen är sann måste intervallet mellan valfritt primtal och nästa primtal alltid vara av ordning [3] , och i notation är intervallet . Två starkare hypoteser, Andritz gissningar och Oppermans gissningar, antar samma beteende av intervaller. Hypotesen ger ingen lösning på Riemann-hypotesen , men förstärker en av konsekvenserna om hypotesen är sann. $sid$ $\sqrt{p}$ $O$ $O(\sqrtp)$

Om Cramers gissning är sann (att intervallen har ordning ), kommer Legendres gissningar att följa av den för tillräckligt stor . Cramer visade också att en svagare gräns för storleken på det största intervallet mellan primtal följer av Riemann-hypotesen [4] . $(\log p)^{2}$ $n$ $O({\sqrt {p}}\log p)$

Ett motexempel runt 10 18 skulle behöva ha ett intervall 50 miljoner gånger medelintervallet.

Det följer av Legendres gissningar att minst ett primtal kan hittas i varje halvvarv av Ulam-spiralen .

Delresultat

I början av 2000-talet konstaterades att det finns ett primtal i intervallet för alla stora [5] . $[x,\,x+O(x^{21/40})]$ $x$

Tabellen över maximala intervall av primtal visar [6] att hypotesen håller upp till . $n^{2}=4\cdot 10^{18}$

Det har bevisats att för ett oändligt antal siffror , $n \in \mathbb N$

\left\lfloor {\frac {1}{2}}\left({\frac {(n+1)^{2}}{\log(n+1)))-{\frac {n ^{2}}{\log n}}\höger)-{\frac {(\log n)^{2}}{\log \log n}}\höger\rgolv \leq \pi \left((n +1)^{2}\höger)-\pi \left(n^{2}\höger),

var är fördelningsfunktionen för primtal [7] . $\pi$

Se även

Anteckningar

↑ BEVIS OCH UTFÖRANDE AV LEGANDRE-HYPOTESEN I PRIMTALTEORIN
↑ OEIS -sekvens A014085 . _
↑ Detta är en följd av det faktum att skillnaden mellan två på varandra följande kvadrater är av storleksordningen deras kvadratrötter.
↑ Stewart, 2013 , sid. 164.
↑ Baker, Harman, Pintz, Pintz, 2001 , sid. 532-562.
↑ Oliveira e Silva, Herzog, Pardi, 2014 , sid. 2033-2060.
↑ Hassani, Mehdi (2006), Räkna primtal i intervallet ( n 2 , ( n + 1) 2 ), arΧiv : math/0607096 .

Litteratur

Baker RC, Harman G., Pintz G., Pintz J. Skillnaden mellan på varandra följande primtal, II // Proceedings of the London Mathematical Society. - 2001. - Vol. 83 , iss. 3 . - s. 532-562 . - doi : 10.1112/plms/83.3.532 .
Tomás Oliveira e Silva, Siegfried Herzog, Silvio Pardi. Empirisk verifiering av den jämna Goldbach-förmodan och beräkning av primtalsluckor upp till // Mathematics of Computation. - 2014. - Vol. 83 , iss. 288 . - P. 2033-2060 . - doi : 10.1090/S0025-5718-2013-02787-1 . $4\cdot 10^{18}$
Ian Stewart. Visions of Infinity: The Great Mathematical Problems (engelska) . - Grundböcker, 2013. - ISBN 9780465022403 . .

Länkar

Weisstein, Eric W. Legendres förmodan (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
Hashimoto, Tsutomu (2008), Om en viss relation mellan Legendres gissningar och Bertrands postulat, arΧiv : 0807.3690 .
Mitra, Adway; Paul, Goutam & Sarkar, Ushnish (2009), Några gissningar om antalet primtal i vissa intervall, arΧiv : 0906.0104 .
Paz, German (2013), Om Legendres, Brocards, Andircas och Oppermanns gissningar, arΧiv : 1310.1323 .

Hypoteser om primtal
Hypoteser	Hardy - Littlewood Sedan - Jugi Andritsy Artina Bateman-Horns hypotes Brocard Bunyakovsky kinesisk hypotes Kramer Dixon Elliot-Halberstam Firuzbekht Gilbraith Grimm Landau problem Goldbach Legendre Tvillingnummer Legendre konstant Lemoine Mersenne Opperman Polignac Poyi Redmond – Sunya Hypotes H Waringa