Arkimedes tjurproblem

Arkimedes problem om tjurar är en avhandling om Arkimedes (287-212 f.Kr.). En forntida forskare ställer ett matematiskt problem, vars fullständiga lösning hittades först på 1900-talet med hjälp av datorteknik.

Upplaga

Tjurproblemet upptäcktes av Gotthold Ephraim Lessing i ett grekiskt manuskript av en dikt på 44 rader i hertig Augustus bibliotek i Wolfenbüttel i Tyskland. Problemtexten publicerades i publikationen "Beiträge zur Geschichte und Litteratur" i Braunschweig 1773. Arkimedes författarskap råder inget tvivel bland antikvarier, eftersom avhandlingen både till stil och natur motsvarar de matematiska epigrammen från den tiden. Problemet med tjurar av Arkimedes nämns i en av de gamla scholierna till Platons dialog " Charmides eller om försiktighet " [1] [2] .

Kärnan i problemet

Arkimedes uppmanar läsaren att hitta antalet tjurar av solguden Helios under följande förhållanden:

Helios hade fyra besättningar, som var och en skilde sig i färg [till 1]
antalet vita tjurar var lika med mörka + röda tjurar [till 2] $=\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}\right)$
mörka brokiga tjurar + röda tjurar [till 3] $=\left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}\right)$
brokiga vita tjurar + röda tjurar [till 4] $=\left({\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}\right)$
vita kor från den mörka besättningen [till 5] $=\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\right)$
mörka kor av en brokig flock [till 6] $=\left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}\right)$
brokiga kor av den röda besättningen [till 7] $=\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}\right)$
röda kor från den vita besättningen [till 8] $=\left({\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}\right)$

Därefter föreslår Arkimedes att hitta antalet tjurar och kor i olika färger, vilket indikerar att den som lyckas med detta inte är en okunnig [11] .

Den andra delen av uppgiften innehåller ytterligare villkor:

antal vita och mörka tjurar - kvadratnummer
antalet brokiga och röda tjurar är ett triangulärt tal

Den som under dessa förhållanden kan bestämma antalet boskap i Helios besättningar är enligt Arkimedes en vis [12] .

Lösning

Lösningen av den första delen av problemet reduceras till ett system av linjära algebraiska ekvationer . Om vi betecknar antalet tjurar i motsvarande färg med symbolerna B , T , P och R , och kor - b , t , p och p , så kan de första ekvationerna visas enligt följande [1] :

B T + R -> 6B = 5T + 6R $=\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}\right)$
TP + R → 20T = 9P + 20R $=\left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}\right)$
P B + R → 42P = 13B + 42R $=\left({\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}\right)$

Genom att sekventiellt lösa alla sju ekvationerna kommer följande värden att erhållas:

B - 10 366 482
T - 7 460 514
P - 7 358 060
R - 4 149 387
b - 7 206 360
t — 4 893 246
n — 3 515 820
s — 5 439 213

Det totala antalet boskap vid Helios uppgick således till 50 389 082 [13] .

Den andra delen av problemet, det vill säga sökandet efter en lösning som skulle uppfylla villkoren för den första och andra delen, reduceras till Pell-ekvationen . Hennes lösning publicerades 1880 [14] . Det totala antalet tjurar är ungefär lika med . För att skriva ner alla 206 545 siffror behöver du 660 sidor med 2 500 tecken vardera. För första gången skrevs det exakta numeriska värdet av lösningen på problemet med tjurar ut 1965 med hjälp av datorteknik [15] . $7.76\times 10^{206544}$

Anteckningar

Kommentarer

↑ Det var en gång många av dem i fyra flockar som betade.
Färgen på besättningarna skilde sig: den ena lyste mjölkvit, färgen på den
mörka havsvågen på den andra var färgen,
den tredje var röd. Sista brokiga [3]
↑ Antalet vita tjurar var exakt lika med de
mörka tjurarna, hälften och en tredjedel och helt röda; [fyra]
↑ Antalet mörka tjurar i kvartalet var lika med
de Pied med en tillagd femtedel och även helt röda; [5]
↑ Den brokiga ullen av tjurar överväger så antalet:
Delar av den sjätte och sjunde från flocken silvertjurar;
På samma sätt utjämnar du antalet alla rödhåriga [6]
↑ Det fanns så många kor i samma besättningar: antalet vithåriga kor var
Exakt lika med den mörka besättningen i hela
delarna fyra och tre, om du lägger dem båda tillsammans: [7]
↑ Det mörka antalet kor i den fjärde delen av den
brokiga besättningen var återigen lika, om man lägger till en femte del [8]
↑ De vars brokiga ull var en lika stor mängd av den
röda hjorden som delar av den femte och med den den sjätte [9]
↑ Antalet gula kor ansågs vara lika med en halv tredjedel av den
vita besättningen totalt, med en del av den sjunde tagen [10]

Källor

↑ 1 2 Veselovsky, 1962 , sid. 373.
↑ Shchetnikov Problem om tjurar, 2004 , sid. 36-40.
↑ Veselovsky, 1962 , sid. 372, rad 4-7.
↑ Veselovsky, 1962 , sid. 372, rad 9-10.
↑ Veselovsky, 1962 , sid. 372, rad 11-12.
↑ Veselovsky, 1962 , sid. 372, rad 14-16.
↑ Veselovsky, 1962 , sid. 372, rad 17-19.
↑ Veselovsky, 1962 , sid. 372, rad 20-21.
↑ Veselovsky, 1962 , sid. 372, rad 23-24.
↑ Veselovsky, 1962 , sid. 372, rad 25-26.
↑ Veselovsky, 1962 , sid. 372, rad 30.
↑ Veselovsky, 1962 , sid. 373, rad 43-44.
↑ Lenstra, 2002 , sid. 187.
↑ Krumbiegel, 1880 .
↑ Harold Alkema och Kenneth McLaughlin. Unbundling Computing vid University of Waterloo . University of Waterloo (2007). Hämtad 5 april 2011. Arkiverad från originalet 4 april 2011. (obestämd) (inkludera bilder)

Litteratur

Arkimedes. Verk / Översättning, inledande artikel och kommentarer av I. N. Veselovsky . Översättning av arabiska texter av B. A. Rosenfeld. - M. : Statens förlag för fysisk och matematisk litteratur, 1962. - 640 sid. - 4000 exemplar. (ryska)
Shchetnikov A.I. Archimedes' Bulls Problem, Euclid's Algorithm and Pell's Equation // Mathematics in Higher Education. - 2004. - Nr 2 . - S. 27-40 .
B. Krumbiegel, A. Amthor. Das Problema Bovinum des Archimedes // Historisch-literarische Abteilung der Zeitschrift für Mathematik und Physik. - 1880. - T. 25 . — S. 121–136, 153–171 .
Lenstra HW Jr. Lösa Pell-ekvationen // Notices of the American Mathematical Society . - 2002. - Vol. 49 , nr. 2 . - S. 182-192 .
Dorrie, Heinrich. Archimedes' Problema Bovinum // 100 Great Problems of Elementary Mathematics (engelska) . - Dover Publications , 1965. - S. 3-7.
Williams, H.C.; German, R.A.; Zarnke, CR Lösning av Arkimedes boskapsproblem // Mathematics of Computation : journal. - American Mathematical Society , 1965. - Vol. 19 , nr. 92 . -P . s . 671–674 . doi : 10.2307 / 2003954 . — .
Vardi, I. Archimedes' boskapsproblem // American Mathematical Monthly : journal . - Mathematical Association of America, 1998. - Vol. 105 , nr. 4 . -P . s . 305–319 . - doi : 10.2307/2589706 .
Benson, G. Archimedes the Poet: Generic Innovation and Mathematical Fantasy in the Cattle Problem // Arethusa: journal. — Johns Hopkins University Press, 2014. - Vol. 47 , nr. 2 . -P . s . 169–196 . - doi : 10.1353/are.2014.0008 .

Länkar

Bell, A. H. (1895), "Boskapsproblemet". Av Archimedies 251 f.Kr. , The American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America). — V. 2 (5): 140–141 , DOI 10.2307/2968125

Ordböcker och uppslagsverk	Britannica (online)

Matematik i antikens Grekland
Matematiker	Autolycus Anaxagoras Anfimy Apollonius Aristark Aristaeus Arkimedes arkitektur bion Boethius Bryson av Herakles Gemin Häger Hypatia Hipparchus flodhästar Hippies Hippokrates Hypsikel Demokrit Dicaearchus Dinostrat Diocles Diophantus Domnin Evdem Eudoxus Euklid Evtokii Zenodor Zeno av Sidon Zeno av Elea Isidore Callippus Karp Cleomedes Conon Xenokrates Ctesibius Lev matematiker Marin Menelaos Menechmus Nicomachus nycomedes Papp Perseus Pythagoras Porfiry Posidonius Proclus Ptolemaios Lugn Symplicius Sosigen Theon av Alexandria Theon av Smyrna Theaetetus Timarid Thales Theano Theodor Theodosius Philolaus Chrysippus enopid Eratosthenes
Avhandlingar	Almagest Introduktion till aritmetik Aritmetisk Arkimedes tjurproblem Kalkyl av sandkorn Början Om den rörliga sfären Om kulan och cylindern Arkimedes palimpsest Arbeta med koniska sektioner
Under påverkan	Babylonisk matematik forntida egyptisk matematik
Inflytande	Europeisk matematik Indisk matematik Medeltida islamisk matematik
tabeller	Kronologisk tabell över grekiska matematiker
Uppgifter	Apollonius problem Kvadrera cirkeln Vinkel tresektion Fördubbling av kuben