Kategori av metriska utrymmen

Kategorien metriska utrymmen eller Met är en kategori vars objekt är metriska utrymmen och vars morfismer är korta mappningar . (Eftersom sammansättningen av två korta mappningar är kort, utgör dessa objekt och morfismer en kategori.)

Början av studien av denna kategori gavs av John Isbell .

Pilar

Monomorfismer i Met är injektiva korta avbildningar. Epimorfismer är korta avbildningar med en överallt tät bild. Isomorfismer - isometrier .

Till exempel är inkluderingen av rationella tal i de reella talen en monomorfism och en epimorfism, men inte en isomorfism.

Det tomma metriska utrymmet är det initiala Met- objektet ; alla enpunktsmetriska utrymmen är ett terminalobjekt . Eftersom startobjektet och slutobjektet är olika, finns det inga null-objekt i Met .

Injektiva objekt i Met kallas injektiva metriska utrymmen . Injektiva metriska utrymmen introducerades och studerades först av Aronszajn & Panitchpakdi (1956 ), innan studien av Met som kategori; de kan också definieras internt i termer av Helly-egenskapen för deras metriska kulor, och på grund av denna alternativa definition har de kallats hyperkonvexa rum. Varje metriskt utrymme har det minsta injektiva metriska utrymmet i vilket det kan bäddas in isometriskt, kallat dess injektiviska skrov .

Fungerar

Produkten av en ändlig uppsättning metriska utrymmen i Met är den direkta produkten av avståndsutrymmen i produktrymden definierad som summan av avstånden i koordinatutrymmen.

Produkten av en oändlig uppsättning metriska utrymmen kanske inte existerar, eftersom avstånd i basutrymmen kanske inte har ett högsta värde. Det vill säga, Met är inte en komplett kategori , men den är ändligt stängd. Det finns ingen biprodukt i Met .

Variationer och generaliseringar

Met är inte den enda kategorin vars objekt är metriska utrymmen; andra inkluderar kategorin likformigt kontinuerliga funktioner , kategorin Lipschitz-funktioner och kategorin kvasi-Lipschitz-mappningar. Korta avbildningar är både enhetligt kontinuerliga och Lipschitz, med en Lipschitz-konstant som mest en.

Det visar sig också vara bekvämt att utöka kategorin metriska utrymmen, vilket gör att till exempel avstånd kan anta ett värde eller övergå till premetriska utrymmen, det vill säga att överge triangelolikheten och symmetrin för metriken.

Länkar