Kvadrera cirkeln

Kvadreringen av en cirkel är en uppgift som består i att hitta ett sätt att konstruera med hjälp av en kompass och en linjal (utan en skala med divisioner) en kvadrat , lika i area som en given cirkel . Tillsammans med tresektionen av en vinkel och fördubblingen av en kub är det ett av de mest kända olösliga konstruktionsproblemen med kompass och rätlina.

Om vi betecknar radien för en given cirkel, längden på sidan av den önskade kvadraten, så reduceras, i modern mening, problemet till att lösa ekvationen: varifrån vi kommer: Det är bevisat att det är omöjligt att exakt konstruera ett sådant värde med hjälp av en kompass och linjal. $R$ $x$ $x^{2}=\pi R^{2},$ $x={\sqrt {\pi }}R\approx 1{,}77245R.$

Historik

Det kan ses från formuleringen av problemet att det är nära relaterat till det praktiskt viktiga problemet att hitta arean av en cirkel . I det forntida Egypten var det redan känt att denna area är proportionell mot kvadraten på cirkelns diameter.I Rhinda papyrus används formeln [1] för beräkningar $S$ $d.$

S=\left({\frac {8}{9}}d\right)^{2}.

Från denna formel kan man se att arean av en cirkel med diameter ansågs lika med arean av en kvadrat med en sida . I modern terminologi betyder detta att egyptierna tog värdet lika med $d$ ${\frac {8}{9}}d.$ $\pi$ $\left({\frac {16}{9}}\right)^{2}\approx 3{,}16.$

Forntida grekiska matematiker ansåg sin uppgift att inte beräkna, utan att noggrant konstruera den önskade kvadraten (" kvadrering "), dessutom, i enlighet med tidens principer, endast med hjälp av en kompass och linjal . Problemet togs upp av de största forntida forskarna - Anaxagoras , Antiphon , Bryson från Herakles , Archimedes , Sporer och andra.

Hippokrates från Chios på 300-talet f.Kr e. upptäckte först att några kurvlinjära figurer ( Hippokratiska lunulae ) medger exakt kvadratur. De gamla matematikerna misslyckades med att utöka klassen av sådana figurer. Hans samtida Dinostratus tog en annan väg och visade att kvadreringen av en cirkel strikt kan utföras med hjälp av en speciell kurva - en kvadratrix [2] .

I Euklids " principer " ( 3:e århundradet f.Kr.) behandlas inte frågan om cirkelns område. Ett viktigt steg i studien av problemet var arbetet med Archimedes "Measuring the Circle", där satsen för första gången bevisades strikt: arean av en cirkel är lika med arean av en höger- vinklad triangel, där ett ben är lika med cirkelns radie och det andra är cirkelns längd. Detta innebar att om det var möjligt att utföra en " uträtning av cirkeln ", det vill säga att konstruera ett segment av samma längd, så skulle problemet vara helt löst. Arkimedes gav också en uppskattning [3] av antalet : $\pi$

{\frac {223}{71}}<\pi <{\frac {22}{7));\quad

i decimalnotation:

3{,}1408<\pi <3{,}1429.

Ytterligare forskning av indiska , islamiska och europeiska matematiker i detta ämne under lång tid gällde främst förfining av betydelsen av numret och valet av ungefärliga formler för att kvadrera cirkeln. I det medeltida Europa skötte Fibonacci , Nicholas av Cusa och Leonardo da Vinci uppgiften . Senare omfattande studier publicerades av Kepler och Huygens . Så småningom stärktes tron på att talet inte kunde uttryckas exakt med ett ändligt antal aritmetiska operationer (inklusive att extrahera roten ), varför omöjligheten att kvadrera cirkeln [4] skulle följa . År 1775 beslutade vetenskapsakademin i Paris (följt av ett antal andra akademier i världen) att inte ta hänsyn till försök att kvadrera cirkeln och andra olösliga problem. $\pi$ $\pi$

Numrets irrationalitet bevisades av Lambert 1766 i hans arbete "Tidigare information för dem som söker cirkelns kvadrat och rättelse." Lamberts arbete innehöll luckor, snart korrigerade av Legendre (1794). Det sista beviset på olösligheten av att kvadrera cirkeln gavs 1882 av Lindemann (se nästa avsnitt) [5] . Matematiker har också kommit på många praktiska sätt att approximera cirkelkvadrering med god noggrannhet [6] . $\pi$

Oavgörbarhet

Om vi tar cirkelns radie som en måttenhet och betecknar x längden på sidan av den önskade kvadraten, så reduceras problemet till att lösa ekvationen: , varifrån: . Med kompass och rätsida kan alla 4 räkneoperationer och kvadratrot utföras ; därav följer att kvadreringen av en cirkel är möjlig om och endast om det med hjälp av ett ändligt antal sådana operationer är möjligt att konstruera ett längdsegment . Således följer olösbarheten av detta problem från den icke-algebraiska naturen ( transcendens ) av numret , vilket bevisades 1882 av Lindemann . $x^{2}=\pi$ $x={\sqrt {\pi ))$ $\pi$ $\pi$

Denna obestämbarhet bör dock förstås som obestämbarheten när man endast använder kompass och raksträcka . Problemet med att kvadrera en cirkel blir lösbart om, förutom en kompass och en linjal, andra medel används (till exempel quadratrix ). Den enklaste mekaniska metoden föreslogs av Leonardo da Vinci [7] . Låt oss göra en cirkulär cylinder med en basradie och höjd , smeta ut sidoytan på denna cylinder med bläck och rulla den längs planet. I ett helt varv trycker cylindern en rektangel på planet med area . Med en sådan rektangel är det redan lätt att konstruera en kvadrat med lika stor yta. $R$ ${\frac {R}{2))$ $\pi R^{2}$

Det följer också av Lindemanns teorem att det är omöjligt att kvadraturera en cirkel inte bara med en kompass och en linjal, det vill säga med hjälp av räta linjer och cirklar, utan också med hjälp av andra algebraiska kurvor och ytor (t.ex. , ellipser , hyperbler , kubiska paraboler , etc.) [8] .

Ungefärlig lösning

Låt vara sidan på kvadraten, vara diagonalen på kvadraten och vara cirkelns radie. Lika stora arealer av en kvadrat och en cirkel: . Enligt Pythagoras sats , varifrån , . Genom att ersätta till jämlikhet får vi . Uttrycker , vi får . Diagonalen för den önskade kvadraten är ungefär lika med 2,5 cirkelradier. Konstruerar en kvadrat med en sida av den angivna längden och tar hälften av dess diagonal, får vi sidan av den önskade ungefärliga kvadraten [9] . Med denna konstruktion blir felet 0,016592653. Med en initialradie på 1 meter kommer du att få en "brist i area" i mängden drygt 10 tändsticksaskar. $a$ $D$ $r$ $\pi r^{2}=a^{2}$ $D^{2}=a^{2}+a^{2}$ $D=a{\sqrt {2}}$ ${\displaystyle a={\frac {D}{\sqrt {2))))$ $a$ $\pi r^{2}=\left({\frac {D}{\sqrt {2}}}\right)^{2}$ $D$ $D=r{\sqrt {2\pi }}\approx 2{,}506628275\cdot r$

Metaforen om "squaring the circle"

Det matematiska beviset på omöjligheten att kvadrera en cirkel har inte hindrat många entusiaster från att ägna år åt att lösa detta problem. Det meningslösa i forskning för att lösa problemet med att kvadrera cirkeln har överfört denna omsättning till många andra områden, där den helt enkelt betecknar ett hopplöst, meningslöst eller meningslöst företag . Se även evighetsmaskin .

Se även

Anteckningar

↑ Fem berömda problem från antiken, 1975 , sid. 10-11.
↑ Fem berömda problem från antiken, 1975 , sid. 24-27.
↑ Fem berömda problem från antiken, 1975 , sid. 30-34.
↑ Fem berömda problem från antiken, 1975 , sid. 97-98.
↑ Fem berömda problem från antiken, 1975 , sid. 144-168.
↑ Fem berömda problem från antiken, 1975 , sid. 188-191.
↑ Alexandrova N. V. Historia om matematiska termer, begrepp, notation: Ordbok-referensbok, ed. 3:a . - St Petersburg. : LKI, 2008. - S. 71 . — 248 sid. - ISBN 978-5-382-00839-4 .
↑ Rudio F., 1936 , sid. 87.
↑ Är det möjligt att kvadratisera en cirkel? . Hämtad 20 april 2012. Arkiverad från originalet 19 januari 2012. (obestämd)

Litteratur

Belozerov S.E. Fem berömda problem från antiken. Historia och modern teori. - Rostov: Rostovs universitets förlag, 1975. - 320 s.
Manin Yu. I. Om lösbarheten av konstruktionsproblem med hjälp av en kompass och rätlina. Encyklopedi av elementär matematik. Bok fyra (Geometry) Arkivexemplar daterad 18 september 2011 på Wayback Machine , M., Fizmatgiz, 1963. - 568 sid.
Perelman Ya. I. Kvaddra cirkeln . L .: House of entertaining science, 1941.
Prasolov V. V. . Tre klassiska byggnadsproblem. Dubbla en kub, dela en vinkel i tre delar, kvadrera en cirkel. Arkivexemplar daterad 9 december 2008 på Wayback Machine M.: Nauka, 1992. 80 sid. Serien "Populära föreläsningar i matematik", nummer 62.
Rudio F. Om att kvadrera cirkeln (Archimedes, Huygens, Lambert, Legendre). - Ed. 3:a. - M. - L .: OGIZ, 1936. - 237 sid. - ( Naturvetenskapens klassiker ).
Hal Hellman. Stora konfrontationer inom vetenskapen. Tio mest spännande tvister. Kapitel 2. Wallis vs. Hobbes: Squaring the Circle = Great Feuds in Science: Tio av de livligaste disputerna någonsin. - M . : "Dialektik" , 2007. - 320 sid. - ISBN 0-471-35066-4 .
Chistyakov V.D. Tre kända problem från antiken. - M . : Stat. uch.-ped. Förlag för utbildningsministeriet i RSFSR, 1963. - 96 sid. .
Shchetnikov A. I. Hur hittade man några lösningar på tre klassiska problem från antiken? // Matematisk utbildning. - 2008. - Nr 4 (48) . - S. 3-15 .

Matematik i antikens Grekland
Matematiker	Autolycus Anaxagoras Anfimy Apollonius Aristark Aristaeus Arkimedes arkitektur bion Boethius Bryson av Herakles Gemin Häger Hypatia Hipparchus flodhästar Hippies Hippokrates Hypsikel Demokrit Dicaearchus Dinostrat Diocles Diophantus Domnin Evdem Eudoxus Euklid Evtokii Zenodor Zeno av Sidon Zeno av Elea Isidore Callippus Karp Cleomedes Conon Xenokrates Ctesibius Lev matematiker Marin Menelaos Menechmus Nicomachus nycomedes Papp Perseus Pythagoras Porfiry Posidonius Proclus Ptolemaios Lugn Symplicius Sosigen Theon av Alexandria Theon av Smyrna Theaetetus Timarid Thales Theano Theodor Theodosius Philolaus Chrysippus enopid Eratosthenes
Avhandlingar	Almagest Introduktion till aritmetik Aritmetisk Arkimedes tjurproblem Kalkyl av sandkorn Början Om den rörliga sfären Om kulan och cylindern Arkimedes palimpsest Arbeta med koniska sektioner
Under påverkan	Babylonisk matematik forntida egyptisk matematik
Inflytande	Europeisk matematik Indisk matematik Medeltida islamisk matematik
tabeller	Kronologisk tabell över grekiska matematiker
Uppgifter	Apollonius problem Kvadrera cirkeln Vinkel tresektion Fördubbling av kuben