Matematik i det antika Egypten

Den här artikeln är en del av recensionen History of Mathematics .

Artikeln ägnas åt matematikens tillstånd och utveckling i det antika Egypten under perioden ungefär från 30- till 300-talet f.Kr. e.

De äldsta forntida egyptiska matematiska texterna går tillbaka till början av det andra årtusendet f.Kr. e. Matematik användes sedan inom astronomi, navigation, lantmäteri, vid uppförande av byggnader, dammar, kanaler och militära befästningar. Det fanns inga monetära uppgörelser, som själva pengarna, i Egypten. Egyptierna skrev på papyrus , som är dåligt bevarad, och därför är vår kunskap om Egyptens matematik mycket mindre än matematiken i Babylon eller Grekland . Det var förmodligen bättre utvecklat än vad man kan föreställa sig från de dokument som har kommit till oss - det är känt [1] att grekiska matematiker studerade med egyptierna [2] .

Vi vet ingenting om utvecklingen av matematisk kunskap i Egypten, vare sig i äldre eller senare tider. Efter Ptoleméernas anslutning börjar en extremt fruktbar syntes av egyptiska och grekiska kulturer .

Källor

De viktigaste bevarade källorna härstammar från perioden av Mellanriket , den antika egyptiska kulturens storhetstid:

Ahmes papyrus eller Rindas papyrus är det mest omfattande manuskriptet som innehåller 84 matematiska problem. Skriven omkring 1650 f.Kr. e.
Moscow Mathematical Papyrus (25 problem), cirka 1850 f.Kr t.ex. 544 × 8 cm.
Den så kallade " läderrullen ", 25 × 43 cm.
Papyri från Lahuna (Kahuna) , som innehåller ett antal stycken om matematiska ämnen.
Berlin Papyrus , cirka 1300 f.Kr. e.
Kairo trätavlor (Akhmimtavlor).
Reisner Papyrus , cirka 1800-talet f.Kr e.

Flera fragment av beräkningskaraktär har kommit ner till oss från Nya Riket .

Författarna till alla dessa texter är okända för oss. De kopior som kommit till oss är till största delen kopior som kopierats under Hyksostiden . Bärarna av vetenskaplig kunskap kallades då skriftlärda och var i själva verket stats- eller tempeltjänstemän.

Alla uppgifter från Ahmes papyrus (upptecknad ca 1650 f.Kr.) är av tillämpad karaktär och är relaterade till konstruktionspraktiken, avgränsning av tomter etc. Uppgifterna är grupperade inte efter metoder, utan efter ämne. För det mesta handlar det om uppgifter för att hitta arean av en triangel, fyrkanter och en cirkel, olika operationer med heltal och alikvotbråk , proportionell division, hitta förhållanden, höja till olika potenser, bestämma det aritmetiska medelvärdet , aritmetiska progressioner , lösa ekvationer av första och andra graden med en okänd [3] .

Det finns absolut ingen förklaring eller bevis alls. Det önskade resultatet ges antingen direkt eller så ges en kort algoritm för dess beräkning.

Denna presentationsmetod, typisk för vetenskapen i länderna i det forntida östern, antyder att matematiken där utvecklades genom induktiva generaliseringar och geniala gissningar som inte bildade någon allmän teori. Ändå finns det ett antal bevis i papyrusen för att matematiken i det gamla Egypten under dessa år hade eller åtminstone började få en teoretisk karaktär. Således kunde egyptiska matematiker extrahera rötter (heltal) och höja till en potens [4] , lösa ekvationer, var bekanta med aritmetisk och geometrisk progression och till och med behärskade algebras rudiment : när man löser ekvationer, en speciell hieroglyf "hög" betecknade det okända.

Numrering (skriva siffror)

Forntida egyptisk numrering , det vill säga att skriva siffror, liknade romersk : först fanns det separata ikoner för 1, 10, 100, ... 10 000 000, kombinerade additivt (lägga ihop). Egyptierna skrev vanligtvis från höger till vänster och de minst signifikanta siffrorna i numret skrevs först, så att siffrornas ordning i slutändan motsvarade vår. I hieratisk skrift finns det redan separata symboler för siffrorna 1-9 och förkortningar för olika tiotal, hundratals och tusentals [5] .

Alla tal i det forntida Egypten kunde skrivas på två sätt: ord och siffror. Till exempel, för att skriva siffran 30, kan man använda vanliga hieroglyfer:

eller skriv samma med siffror (tre tiotal tecken):

Hieroglyfer för att avbilda siffror

ett

tio

100

1000

10 000

100 000

1 000 000

Egyptierna multiplicerade genom att kombinera dubblering och addering. Divisionen bestod i valet av en divisor, det vill säga som en åtgärd invers till multiplikation.

Särskilda ikoner betecknade bråkdelar av formen och . De hade dock inte ett allmänt koncept för en bråkdel , och alla icke-kanoniska bråkdelar representerades som summan av alikvotbråk . Typiska expansioner sammanfattades i krångliga tabeller. ${\frac {1}{n}}$ ${\frac {2}{3))$ ${\frac {m}{n}}$

Exempel på bilder av vanliga bråk

1/2

1/3

2/3

1/4

1/5

Ett exempel på att skriva bråk från Rhinda Papyrus [6]

5 + 1 ⁄ 2 + 1 ⁄ 7 + 1 ⁄ 14 (= 5 5 ⁄ 7 )

Aritmetik

Tecken på addition och subtraktion

Ahmes papyrus (ca 1550 f.Kr.) använde hieroglyfen för addition eller subtraktion

eller

Om riktningen för denna hieroglyfs "fötter" sammanföll med riktningen för skrivning (som redan nämnts skrev egyptierna vanligtvis från höger till vänster), så betydde det "tillägg", annars - "subtraktion". Men i Moskvas matematiska papyrus (ca 1850 f.Kr.) innebar ett par ben som pekade mot slutet av en linje att kvadrera en siffra [7] [8] .

Tillägg

Om tillägget resulterar i ett tal större än tio, så skrivs tio med en stigande hieroglyf.

Till exempel : 2343 + 1671

Vi samlar alla samma typ av hieroglyfer och får:

Låt oss omvandla:

Slutresultatet ser ut så här:

Multiplikation

Forntida egyptisk multiplikation är en sekventiell metod för att multiplicera två tal. För att multiplicera tal behövde de inte kunna multiplikationstabeller, utan det räckte bara för att kunna dekomponera tal till flera baser, multiplicera dessa multipler och addera.

Den egyptiska metoden går ut på att sönderdela den minsta av två faktorer till multiplar och sedan multiplicera dem i följd med den andra faktorn

Nedbrytning

Egyptierna använde ett system för att expandera den minsta faktorn till multiplar, vars summa skulle vara det ursprungliga talet.

För att välja en multipel korrekt var du tvungen att känna till följande värdetabell:

1 x 2 = 2

2 x 2 = 4

4 x 2 = 8

8 x 2 = 16

16 x 2 = 32

Ett exempel på expansionen av siffran 25:

Multiplikatorn för talet "25" är 16.
25 - 16 = 9,
Multiplikatorn för talet "9" är 8,
9 - 8 = 1,
Multiplikatorn för talet "1" är 1,
1 - 1 = 0

Således är "25" summan av tre termer: 16, 8 och 1.

Exempel: multiplicera "13" med "238":

✔	1 x 238	= 238
✔	4 x 238	= 952
✔	8 x 238	= 1904

	13 x 238	= 3094

Det är känt att 13 = 8 + 4 + 1. Var och en av dessa termer måste multipliceras med 238. Vi får: 13 × 238 = (8 + 4 + 1) × 238 = 8 x 238 + 4 × 238 + 1 × 238 = 3094.

De forntida egyptierna skiljde division med två från division med andra tal eftersom deras multiplikationsalgoritm använde division med två som ett av de mellanliggande stegen [9] .

Ekvationer

Ett exempel på en uppgift från Papyrus Ahmes :

Hitta ett tal om det är känt att genom att lägga till 2/3 av det och subtrahera från resultatet av dess tredje får du 10 .

Geometri

Beräkna ytor

Inom geometriområdet kände egyptierna de exakta formlerna för arean av en rektangel, en triangel och en trapets. Arean av en godtycklig fyrhörning med sidorna a, b, c, d beräknades ungefär som ; denna grova formel ger acceptabel noggrannhet om figuren är nära en rektangel. $S={\frac {a+c}{2}}\cdot {\frac {b+d}{2}}$

Egyptierna antog att arean av en cirkel S med diametern d är lika med arean av en kvadrat vars sida är 8/9 av diametern: Denna regel motsvarar approximationen ≈ 3,1605 (mindre än 1% fel ) [10] .. $S=\left(d-{\frac {d}{9}}\right)^{2}=\left({\frac {8}{9}}d\right)^{2}.$ $\pi \approx 4\cdot \left({\frac {8}{9}}\right)^{2}$

Vissa forskare [11] på grundval av det 10:e problemet med Moskvas matematiska papyrus trodde att egyptierna visste den exakta formeln för att beräkna arean av en sfär, men andra forskare håller inte med om detta [12] [13] .

Beräkna volymer

Egyptierna kunde beräkna volymerna av en parallellepiped, en cylinder, en kon och pyramider. För att beräkna volymen av en stympad pyramid använde egyptierna följande regel (Problem nr. M14 av Moscow Mathematical Papyrus ): låt oss ha en vanlig stympad pyramid med en sida av den nedre basen a , övre b och höjd h ; sedan beräknades volymen med följande (korrekta) formel:

V=(a^{2}+ab+b^{2})\cdot {\frac {h}{3)).

En gammal papyrusrulle som hittades vid Oxyrhynchus indikerar att egyptierna också kunde beräkna volymen av en stympad kon. Denna kunskap använde de för att bygga en vattenklocka . Till exempel är det känt att under Amenhotep III byggdes en vattenklocka i Karnak .

Egyptisk triangel

Den egyptiska triangeln är en rätvinklig triangel med ett bildförhållande på 3:4:5. Plutarchus skrev under det första århundradet om denna triangel i sin essä "Om Isis och Osiris ": "uppenbarligen jämför egyptierna Universalitetens natur med den vackraste av trianglarna." Kanske är det på grund av detta som denna triangel kallades egyptisk [14] . Faktum är att grekiska forskare rapporterade att i Egypten användes ett rep delat i 12 delar för att konstruera en rät vinkel.

Den egyptiska triangeln användes aktivt för att bygga räta vinklar av egyptiska lantmätare och arkitekter, till exempel när de byggde pyramiderna. Historikern Van der Waerden försökte ifrågasätta detta faktum, men senare studier bekräftade det [15] . Det finns i alla fall inga bevis för att Pythagoras sats i det allmänna fallet var känd i det antika Egypten (till skillnad från det antika Babylon ) [16] .

Se även

Anteckningar

↑ Van der Waerden B.L. Awakening Science. Matematik i det antika Egypten, Babylon och Grekland. Dekret. cit., s. 125: "Thales reste till Egypten och förde geometri till Hellas" (från Procluss kommentar till Euklid).
↑ "Enligt de flesta åsikter upptäcktes geometri först i Egypten och uppstod från mätning av områden" // Proclus Diadochus. I primum Euclidis Elementorum. - Leipzig, 1873. - S. 64.
↑ History of Mathematics, volym I, 1970 , sid. 21-33..
↑ History of Mathematics, volym I, 1970 , sid. 24..
↑ History of Mathematics, volym I, 1970 , sid. trettio.
↑ Gardiner Alan H. Egyptisk grammatik: att vara en introduktion till studiet av hieroglyfer 3:e upplagan, rev. London: 1957, sid. 197.
↑ Florian Cajori . En historia av matematiska notationer. - Dover Publications , 1993. - S. pp. 229-230. — ISBN 0486677664 .
↑ Karpinski, Louis C. Algebraisk utveckling bland egyptierna och babylonierna // The American Mathematical Monthly : journal. - 1917. - Vol. 24 , nr. 6 . — S. 259 . - doi : 10.2307/2973180 . — .
↑ Jean-Luc Chabert. En historia av algoritmer: från stenen till mikrochippet . - Springer Berlin Heidelberg, 1999. - 524 s. — ISBN 9783540633693 . Arkiverad 21 februari 2019 på Wayback Machine
↑ History of Mathematics, volym I, 1970 , sid. 30-32..
↑ W. W. Struve. Mathematischer Papyrus des Museum i Moskva. - Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik, Abteilung A. - Berlin: Springer, 1930. - S. 157.
↑ History of Mathematics, volym I, 1970 , sid. 31-32..
↑ Van der Waerden B.L. Awakening Science. Matematik i det antika Egypten, Babylon och Grekland, s. 44-45
↑ Prasolov V. V. Kapitel 1. Forntida Egypten och Babylon // Mathematics historia . - (ej publicerad), 2013. - s. 5. Arkivexemplar daterad 18 april 2015 på Wayback Machine
↑ Van der Waerden B.L. Awakening Science. Matematik i det antika Egypten, Babylon och Grekland . Moskva: Fizmatlit, 1959, s. 13, fotnot
↑ History of Mathematics, volym I, 1970 , sid. 31..

Litteratur

Van der Waerden. Uppvaknande vetenskap. Matematik i det antika Egypten, Babylon och Grekland . — M .: Nauka, 1959. — 456 sid.
Veselovsky I. N. Egyptisk vetenskap och Grekland. Trudy IIE, 2, 1948, sid. 426-498.
Vygodsky M. Ya. Aritmetik och algebra i den antika världen. - M . : Nauka, 1967.
Depman I. Ya. Aritmetikens historia. En guide för lärare . - Ed. andra. - M . : Utbildning, 1965. - 416 sid.
Matematikens historia. Från antiken till början av den nya tiden // Mathematics historia / Redigerad av A.P. Yushkevich , i tre volymer. - M . : Nauka, 1970. - T. I.
Neugebauer O. Föreläsningar om de antika matematiska vetenskapernas historia . - Moskva-Leningrad, 1937.
Raik A.E. Två föreläsningar om egyptisk och babylonisk matematik // Historisk och matematisk forskning . - M .: Fizmatgiz , 1959. - Nr 12 . - S. 271-320 .
Raik A.E. Essäer om matematikens historia i antiken. Saransk: Mordovisk stat. förlag, 1977.
Gillings RJ Matematik på faraonernas tid. Cambridge: MIT Press, 1972.
Rossi C. Arkitektur och matematik i det antika Egypten. Cambridge (Storbritannien): Cambridge UP, 2004.
Vogel K. Vorgriechische Mathematik I, Vorgeschichte und Ägypten. Hannover: Schrodel, 1958.

Länkar

Mathematics // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : i 86 volymer (82 volymer och ytterligare 4). - St Petersburg. 1890-1907.

Matematikens historia
Länder och epoker	förhistorisk period Forntida Egypten Babylon Gamla Kina Antikens Grekland Indien Armenien Inkariket islamiska länder Ryssland
Tematiska avsnitt	Algebra Analytisk geometri Aritmetisk Variationskalkyl Geometri Differentialgeometri och topologi Kombinatorik Kryptografi Linjär algebra Logaritmer Matematisk analys Icke-euklidisk geometri Sannolikhetsteori mängdteori Topologi Trigonometri funktionell analys
se även	oändligt liten Riktiga nummer Irrationella siffror Komplexa tal Matematisk notation Fortsättning bråk Negativa tal Funktioner