Figuryta

Arean av en platt figur är en additiv numerisk egenskap hos en figur som helt tillhör ett plan . I det enklaste fallet, när figuren kan delas upp i en ändlig uppsättning enhetsrutor , är arean lika med antalet rutor.

Om definitionen

En formell introduktion av begreppet area och volym finns i artikeln Jordan mått , här ger vi bara en översikt över definitionen med kommentarer.

Area är en funktion med reellt värde definierad på en viss klass av figurer på det euklidiska planet och som uppfyller fyra villkor:

Positivt - området är icke-negativt;
Normalisering - en kvadrat med en sida av enhet har en area på 1;
Kongruens - kongruenta figurer har lika stor yta;
Additivitet - arean av föreningen av två figurer utan gemensamma inre punkter är lika med summan av områdena.

I det här fallet måste en viss klass vara stängd med avseende på korsning och förening, såväl som med avseende på planrörelser, och inkludera alla polygoner . Av dessa axiom följer områdets monotonitet , dvs.

Om en figur tillhör en annan figur, överstiger arean av den första inte arean av den andra:

Oftast tas en uppsättning kvadratfigurer för en "viss klass" . En figur sägs vara kvadraterbar om det för någon finns ett par polygoner och , sådan att och , där betecknar området . $F$ $\varepsilon >0$ $P$ $F$ $P\delmängd F\delmängd Q$ $S(Q)-S(P)<\varepsilon$ $S(P)$ $P$

Exempel på kvadratiska figurer

polygoner;
vilken figur som helst som begränsas av en likriktbar kurva , särskilt en cirkel;
en figur avgränsad av en Koch-snöflinga , även om dess gräns inte är korrigerbar.

Relaterade definitioner

Två figurer kallas lika om de har samma area.

Kommentarer

Det finns ett matematiskt rigoröst men tvetydigt sätt att bestämma arean för alla avgränsade delmängder av planet. Det vill säga, på uppsättningen av alla avgränsade delmängder av planet, finns det olika areafunktioner som uppfyller ovanstående axiom, och uppsättningen av kvadratiska figurer är den maximala uppsättningen av figurer på vilken arean är unikt bestämd.
- Detsamma kan göras för längden på en rak linje, men inte för volymen i det euklidiska rymden och inte heller för arean på en enhetssfär i det euklidiska rymden (se respektive bollfördubblingsparadoxen och Hausdorffs paradox ).

Formler

Figur	Formel	Kommentar
rät triangel	${\tfrac {\sqrt {3}}{4}}{\cdot }a^{2}$	$a$ är längden på sidan av triangeln.
Triangel	${\sqrt {p{\cdot }(pa){\cdot }(pb){\cdot }(pc)))$	Herons formel . är semiperimetern , , och är längderna på triangelns sidor. $sid$ $a$ $b$ $c$
Triangel	${\tfrac {1}{2}}{\cdot }a{\cdot }b{\cdot }\sin \gamma$	$a$ och är de två sidorna av triangeln, och är vinkeln mellan dem. $b$ $\gamma$
Triangel	${\tfrac {1}{2}}{\cdot }b{\cdot }h$	$b$ och - triangelns sida och höjden ritad till denna sida. $h$
Fyrkant	$a^2$	$a$ är längden på sidan av kvadraten.
Rektangel	$a{\cdot }b$	$a$ och är längden på rektangelns sidor. $b$
Romb	$a^{2}{\cdot }\sin \alpha ,{\tfrac {1}{2}}bc$	$a$ - sidan av romben, - inre vinkel, - diagonaler . $\alfa$ $b,c$
Parallellogram	$b{\cdot }h$	$b$ - längden på en av parallellogrammets sidor, och - höjden dragen till denna sida. $h$
Trapets	${\tfrac {1}{2}}{\cdot }(a+b){\cdot }h$	$a$ och är längderna av parallella sidor, och är avståndet mellan dem (höjd). $b$ $h$
Fyrsidig	${\tfrac {1}{2}}{\cdot }m{\cdot }n{\cdot }\sin \phi$	$n$ och är längden på diagonalerna, och är vinkeln mellan dem. $m$ $\phi$
Vanlig hexagon	${\tfrac {3{\cdot }{\sqrt {3}}}{2}}{\cdot }a^{2}$	$a$ är längden på sidan av hexagonen.
Vanlig oktagon	$2{\cdot }(1+{\sqrt {2))){\cdot }a^{2}$	$a$ är längden på sidan av oktagonen.
vanlig polygon	${\frac {n{\cdot}a^{2}}{4{\cdot }\tan(\pi /n)))$	$a$ är längden på polygonens sida och är antalet sidor på polygonen. $n$
vanlig polygon	${\tfrac {1}{2}}{\cdot }a{\cdot }p$	$a$ är apotem (eller radien för cirkeln inskriven i polygonen), och är polygonens omkrets. $sid$
Godtycklig polygon	${1 \over 2}\left\|\sum _{i=0}^{n-1}\det {\begin{pmatrix}x_{i}&x_{i+1}\\y_{i} &y_{i+1}\end{pmatrix}}\right\|$	Gauss area formel . är koordinaterna för -gonens hörn , $(x_{i},y_{i})$ $n$ $(x_{n},y_{n})=(x_{0},y_{0})$
En cirkel	${\displaystyle \pi {\cdot }r^{2))$ eller ${\frac {\pi {\cdot }d^{2}}{4}}$	$r$ är cirkelns radie och är dess diameter. $d$
cirkelsektor	${\tfrac {1}{2}}{\cdot }r^{2}{\cdot }\theta$	$r$ och är sektorns radie respektive vinkel (i radianer ). $\theta$
Ellips	$\pi {\cdot }a{\cdot }b$	$a$ och är ellipsens stora och mindre halvaxlar. $b$

Se även

Cellens försvinnande
Borel mått
Jordan mått
Lebesgue mått
Orienterat område
Fyrkant
Ytarea
Bolyai-Gerwins sats om ekvikonstituensen för polygoner med lika yta
Triangel om arean av trianglar
Fyrkant om arean av fyrhörningar

Litteratur

V. Boltyansky , Om begreppen yta och volym. Arkiverad 5 maj 2017 på Wayback Machine Kvant , nr 5, 1977
B. P. Heidman , Areas of polygons Arkiverad 10 juni 2017 på Wayback Machine , Mathematical Education Library , Issue 16, (2002).
§§ 244-276 i A. P. Kiselev, Geometri enligt Kiselev , arΧiv : 1806.06942 [math.HO].
Merzon G. A., Yashchenko I. V. Längd, area, volym. - MTSNMO, 2011. - ISBN 9785940577409 .
V. A. Rokhlin , Area and Volume Archived April 11, 2021 at the Wayback Machine , Encyclopedia of Elementary Mathematics, Book 5, Geometry, redigerad av P. S. Aleksandrov, A. I. Markushevich och A. Ya. Khinchin.