Sväng

Vrid (rotation) - rörelsen av ett plan eller utrymme , där minst en punkt förblir orörlig.

Relaterade definitioner

Den fasta punkten när planet roterar kallas rotationscentrum .
En fast rät linje när man roterar tredimensionellt utrymme kallas rotationsaxeln .

Korrekta och felaktiga rotationer

Definitioner

En rotation kallas korrekt om den bevarar rymdens orientering .

En annan definition av korrekt rotation för ett plan är möjlig: korrekt rotation av ett plan är en rörelse där alla strålar som emanerar från en given punkt roterar med samma vinkel i samma riktning (medurs eller moturs).

En rotation kallas otillbörlig om den inte är korrekt.

Ofta hänvisar termen rotation endast till korrekt rotation .

Egenskaper

Felaktig rotation är en sammansättning av någon riktig rotation och spegelreflektion (på en plan - axiell symmetri , i ett udda dimensionellt utrymme - centralt ).

För vilket begränsat område av rymden som helst kan dess korrekta rotation i förhållande till vilken punkt som helst göras så att alla punkter i området inte förskjuts mer än ett visst förbestämt avstånd, men för en felaktig rotation upphör detta påstående att vara sant.

Rotation i 2D-rymden

I analytisk geometri på ett plan uttrycks korrekt rotation i rektangulära kartesiska koordinater med formlerna:

x'=x\cos \varphi -y\sin\varphi ,

y'=x\sin \varphi +y\cos \varphi ,

där är rotationsvinkeln, och rotationscentrum väljs vid origo. Under samma förhållanden uttrycks den felaktiga rotationen av planet med formeln $\varphi$

x'=x\cos \varphi +y\sin \varphi ,

y'=x\sin \varphi -y\cos \varphi .

Inom planimetri betecknas rotation kring en punkt [centrum] med en rotationsvinkel också med , där Rotation med en vinkel där och identifieras med en rotation (rotationsvinkeln med en hel vinkel kallas ofta också för en rotation ). Om rotationsvinklarna och deras summa ligger inom intervallet från till , läggs deras vinklar till vid sekventiell ( sammansättning ) av rotationer (se även #Composition of rotations on a plan (complex view) ): $O$ $\alfa$ $R_{{O}}^{{\alpha }}$ $\alpha \in (-\pi ;\pi ].$
$\beta '=\alpha +2\pi \cdot n,$ $n\in \mathbb{Z }$ $\alpha \in (-\pi ;\pi ]$ $R_{{O}}^{{\alpha }}$ $2\pi ~(360^{\cirkel })$
$\alfa ,\beta$ $\alfa +\beta$ $-\pi$ $\pi ,$

R_{{O}}^{{\beta }}\circ R_{{O}}^{{\alpha }}=R_{{O}}^{{\alpha +\beta }},

Dessutom har sammansättningen av två rotationer kommutativitetsegenskapen:

R_{{O}}^{{\beta }}\circ R_{{O}}^({\alpha }}=R_{{O}}^{{\alpha }}\circ R_{{O}} ^{{\beta }}.

Se även Isometri (matematik)

Matrix View

När du använder matrismetoden skrivs punkten som en vektor och multipliceras sedan med matrisen: $(x,y)$

{\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix }}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}

$(x',y')$ punktkoordinater erhållna genom punktrotation . $(x,y)$

Vektorerna och har samma dimension. ${\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix))$

Komplex vy

Rotationen av ett plan kan representeras med hjälp av komplexa tal . Uppsättningen av alla dessa siffror är geometriskt sett ett tvådimensionellt komplext plan . En punkt i planet representeras av ett komplext tal . $(x,y)$ $z=x+iy$

Rotation av en punkt med en vinkel kan göras genom att multiplicera med Eulers formel $\theta$ $e^{{i\theta}}$

{\begin{aligned}e^{{i\theta }}z&=(\cos \theta +i\sin \theta )(x+iy)\\&=(x\cos \theta +iy\cos \theta +ix\sin \theta -y\sin \theta )\\&=(x\cos \theta -y\sin \theta )+i(x\sin \theta +y\cos \theta )\\&=x '+iy',\end{aligned}}

vilket ger samma resultat

{\begin{aligned}x'&=x\cos \theta -y\sin \theta \\y'&=x\sin \theta +y\cos \theta .\end{aligned))

Sammansättning av svängar på ett plan (komplex vy)

Låt först rotera runt punkten med en vinkel och sedan rotera runt punkten med en vinkel . Och låt punkterna och representeras som komplexa tal i formen . En moturs rotation anses vara positiv. En sådan sammansättning av rotationer är ekvivalent med rotation med en vinkel runt punkten , som beräknas med formeln , $a$ $\alfa$ $b$ $\beta$ $a$ $b$ $x+iy$ $\gamma ~=\alfa +\beta$ $c$ $c=a+(ba)e^{i{\alpha '}}{\frac {\sin \alpha '}{\sin \gamma '}}$

var , a $\alpha '={\frac \alpha 2}$ $\gamma '={\frac \gamma 2}$

Om , då är sammansättningen av rotationer ekvivalent med en parallellförskjutning av planet av vektorn $\alfa +\beta =0$ $r=(ba)(e^{{i\alpha }}-1)$

Egenskaper

Om ramen är bunden till rotationscentrum, realiseras den av en ortogonal matris .
- Rotationerna i det tredimensionella euklidiska rummet (med ett fast centrum) bildar O (3)-gruppen (riktiga bildar SO(3) -gruppen ).
- Rotationer av ett tvådimensionellt utrymme ( plan ) bildar grupperna O(2) respektive SO(2) (isomorft till U(1) ).

Anteckningar

Se även

Rotationsrörelse är en process av kontinuerlig rotation inom mekanik.
Rotationsgrupp
Rotationsmatris
Ortogonal grupp
Ortogonal transformation
Särskild ortogonal grupp
Vinkelhastighet