Hilbert-Schmidts sats

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 8 oktober 2016; verifiering kräver 1 redigering .

Hilbert -Schmidt-satsen sträcker sig till helt kontinuerliga symmetriska operatorer i ett Hilbert - rum det välkända faktumet om reduktionen av matrisen för en självadjoint operator i ett finitdimensionellt euklidiskt rum till en diagonal form på någon ortonormal basis .

Uttalande av satsen

För varje helt kontinuerlig symmetrisk operator i ett Hilbert-rum finns det ett ortonormalt system av egenelement som motsvarar operatorns egenvärden så att det för alla finns en representation $A$ $H$ $\{x_i\}$ $\{\lambda_n\}$ $A$ $x\i H$

x=\sum_k\xi_k x_k+x_0,\ x_0\in\operatörsnamn{Ker}\,A,\ Ax=\sum_k\lambda_k \xi_k x_k,

dessutom kan summeringen vara antingen en finit eller en oändlig serie, beroende på antalet egenelement för operatorn . Om det finns ett oändligt antal av dem, då . $A$ $\lim_{n\rightarrow\infty}\lambda_n=0$

Hilbert-Schmidts sats för integraloperatorer

Hilbert-Schmidt-satsen kan användas för att lösa en icke-homogen integralekvation med en kontinuerlig (och även svagt polär) hermitisk kärna .

För integraloperatorn omformuleras satsen enligt följande: om en funktion är källvis representerad i termer av en hermitisk kontinuerlig kärna (dvs. sådan att ), då konvergerar dess Fourier-serie i termer av kärnans egenfunktioner absolut och enhetligt till till denna funktion: $(Kg)(x)=\int\limits_G\!K(x,y)g(y)\,dy$ $f(x)$ $K(x,y)$ $\finns g(x)\i L^2(G)$ $f(x)=(Kg)(x)$ $K(x,y)$ $G$

f(x)=\sum_{k=1}^\infty(f,\varphi_k)\varphi_k(x)=\sum_{k=1}^\infty\frac{(g,\varphi_k)}{\lambda_k }\varphi_k(x),

var och är kärnans egenfunktioner som motsvarar egenvärdena . $\varphi_k$ $\lambda_k$

Litteratur

Vladimirov V. S. , Zharinov V. V. Ekvationer av matematisk fysik. — M.: Fizmatlit, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5 .
Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. Element i teorin om funktioner och funktionell analys. - 7:e upplagan - M . : FIZMATLIT, 2004. - S. 263-266. — 572 sid. — ISBN 5-9221-0266-4 .

Se även

Hilbert-Schmidt-operatör

David Hilberts bidrag till vetenskapen
mellanslag	Hilbert utrymme Pre-Hilbert utrymme Gilbert tegel
axiomatik	Hilberts axiomatik
Satser	Hilberts sats 90 Hilberts grundsats Hilberts nollsats Hilbert-Schmidts sats
Operatörer	Hilbert förvandla Hilbert-Schmidt-operatör
Allmän relativitetsteori	Einstein-Hilberts ekvationer " Hilbert och gravitationsfältsekvationerna "
Övrig	Hilbert problem Hilbert kurva Hilbert matris Hilbert-Arnold problem Hilbertserien och Hilbertpolynomet Paradox "Grand Hotel"